単体近似定理

数学において、単体近似定理は代数位相幾何学の基本的な結果であり、連続写像は（わずかな変形によって）区分的に最も単純な種類の写像で近似できることを保証する。これは、単体、つまり有限単体複合体から構成される空間間の写像に適用される。そのような空間間の一般的な連続写像は、（i）領域の単体を十分に重心的に細分化し、（ii）実際の写像をホモトピック写像に置き換えるというコストをかけて、各単体上で別の単体に（アフィン）線型である写像のタイプで近似的に表すことができる。

この定理は、ルベーグ被覆定理（コンパクト性に基づく結果）を用いて、LEJ Brouwerによって初めて証明されました。^[要出典]この定理は、連続写像の（ホモロジー群に対する）位相的効果は、与えられたケースでは有限の方法で表現できることを示したため、当時（20 世紀最初の 10 年間）のホモロジー理論を厳密な基礎の上に置くのに役立ちました。これは、連続性が他のいくつかの分野では一般に病的なと両立するという当時の認識を背景にして見なければなりません。これは、組合せ論的位相幾何学の時代の幕開けと言えるでしょう。

ホモトピーに対するさらなる単体近似定理があり、連続写像間のホモトピーも同様に組み合わせバージョンによって近似できること を述べています。

と を2 つの単体複体とします。単体写像は、任意の点 に対して、点 を含むの極小閉単体に属する場合、連続関数の単体^近似と呼ばれます。 が連続写像 の単体近似である場合、 の幾何学的実現は に必ず同型です。^{[説明が必要}]${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:K\to L}$${\displaystyle F:|K|\to |L|}$${\displaystyle x\in |K|}$${\displaystyle |f|(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle F}$

単体近似定理は、任意の連続写像が与えられたとき、自然数が存在し、すべての に対してへの単体近似が存在することを述べています(ここで はの重心細分を表し、 は重心細分を何回も適用した結果を表します)。言い換えると、と が単体複体で が連続関数である場合、の細分と にホモトピックな単体写像が存在します。さらに、 が正の連続写像である場合、の細分と がに -ホモトピックな単体写像が存在します。つまり、すべての に対してとなるような、からへのホモトピーが存在します。したがって、単体近似定理は、ホイットニー近似定理の区分線型類似物と見なすことができます。 ${\displaystyle F:|K|\to |L|}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle f:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {Bd} \;K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f:|K|\to |L|}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle g:K'\to L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon :|L|\to {\mathbb {R}}}$${\displaystyle K',L'}$${\displaystyle K,L}$${\displaystyle g:K'\to L'}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle H:|K|\times [0,1]\to |L|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {diam} (H(x\times [0,1]))<\epsilon (f(x))}$${\displaystyle x\in |K|}$

• 「単体複体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]