オリエンティフォールド

理論物理学 において、オリエンティフォールドはオービフォールドの概念を一般化したもので、 1987 年にアウグスト サニョッティによって提唱されました。弦理論の場合、オービフォールド群の非自明な要素には弦の向きの反転が含まれるという点が新しい点です。したがって、オリエンティフォールド化によって、向きのない弦、つまり「矢印」を持たず、2 つの反対の向きが等しい弦が生成されます。タイプ I 弦理論は、このような理論の最も単純な例であり、タイプ IIB 弦理論をオリエンティフォールド化することで得られます。

数学的に言えば、滑らかな多様体 、2 つの離散的な自由に作用する群、および世界面パリティ演算子( となる) が与えられた場合、オリエンティフォールドは商空間 として表現されます。 が空の場合、商空間はオリエンティフォールドです。が空でない場合、オリエンティフォールドです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \Omega_{p}}$${\displaystyle \Omega _{p}:\sigma \to 2\pi -\sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}/(G_{1}\cup \Omega G_{2})}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

弦理論では、理論の余分な次元をまとめることで形成されるコンパクト空間、具体的には 6 次元のカラビ・ヤウ空間です。最も単純な実行可能なコンパクト空間は、トーラスを変更することで形成されるものです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

6 次元は、弦理論の超対称性を部分的に破って現象的に実現可能にするため、カラビ・ヤウの形をとります。タイプ II 弦理論には 32 個の実数超電荷があり、6 次元トーラスにコンパクト化すると、それらはすべて破られずに残ります。より一般的なカラビ・ヤウ 6 次元でコンパクト化すると、超対称性の 3/4 が削除され、8 個の実数超電荷 (N=2) を持つ 4 次元理論が生成されます。これをさらに破って、唯一の非自明な現象的に実現可能な超対称性 N=1 にするには、超対称性生成子の半分を射影する必要があり、これはオリエンティフォルド射影を適用することで実現されます。

Calabi-Yaus を使って N=2 を破るより簡単な方法は、もともとトーラスから形成されたオービフォールドを使うことです。このような場合、対称群は空間の定義で与えられているので、空間に関連付けられた対称群を調べる方が簡単です。

オービフォールド群は、トーラス格子上で結晶学的に作用する群、^つまり格子保存群に限定されます。は反転によって生成されますが、弦の長さに沿った位置を表すパラメータと混同しないでください。反転は、使用されている特定の弦の定式化に応じて、さまざまな方法で正則3形式（これも上記のパリティ演算子と混同しないでください）に作用します。^[2]${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \オメガ}$

• タイプIIB:または${\displaystyle \sigma (\Omega )=\Omega }$${\displaystyle \sigma (\Omega )=-\Omega }$
• タイプIIA:${\displaystyle \sigma (\Omega )={\bar {\Omega }}}$

オリエンティフォルド作用が弦の向きの変化に還元される場所は、オリエンティフォルド平面と呼ばれます。反転によって時空の大きな次元が影響を受けないため、オリエンティフォルドは少なくとも次元 3 の O 平面を持つことができます。この場合、すべての空間次元が変更されず、O9 平面が存在する可能性があります。タイプ I 弦理論のオリエンティフォルド平面は、時空を満たす O9 平面です。 ${\displaystyle \sigma (\Omega )=\Omega }$

より一般的には、次元p がD pブレーンと同様に数えられる、オリエンティフォールド O p平面を考えることができます。O 平面と D ブレーンは同じ構成内で使用でき、一般的に互いに反対の張力がかかります。

しかし、D ブレーンとは異なり、O 平面は動的ではありません。D ブレーンのように弦境界条件によって定義されるのではなく、完全に反転の作用によって定義されます。オタマジャクシ制約を計算するときは、O 平面と D ブレーンの両方を考慮する必要があります。

この反転は、複素構造（1,1）型Jにも作用する。

• タイプIIB:${\displaystyle \sigma (J)=J}$
• タイプIIA:${\displaystyle \sigma (J)=-J}$

この結果、空間をパラメータ化するモジュライの数が削減されます。は反転なので、固有値 を持ちます。次元(オリエンティフォールドのコホモロジー のホッジダイヤモンドで定義される) を持つ(1,1) 形式の基底 は、各基底形式が の下で明確な符号を持つように記述されます。モジュライは によって定義され、J はの下で上記のように変換する必要があるため、 の下で正しいパリティの 2 形式基底要素とペアになっているモジュライのみが生き残ります。したがって、はコホモロジーの として分割を作成し、オリエンティフォールドを記述するために使用されるモジュライの数は、一般に、オリエンティフォールドを構築するために使用されるオービフォールドを記述するために使用されるモジュライの数よりも少なくなります。^[3]オリエンティフォールドは超対称性生成子の半分を投影しますが、投影されるモジュライの数は空間ごとに異なる可能性があることに注意することが重要です。いくつかのケースでは、すべての (1-1) 形式がオリエンティフォールド射影の下で同じパリティを持ちます。そのようなケースでは、異なる超対称性の内容がモジュライの挙動に入る方法は、モジュライが経験するフラックス依存のスカラーポテンシャルを通じてであり、N=1 の場合と N=2 の場合が異なります。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \omega_{i}}$${\displaystyle h^{1,1}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle J=A_{i}\omega _{i}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle h^{1,1}=h_{+}^{1,1}+h_{-}^{1,1}}$${\displaystyle h^{1,1}=h_{\pm}^{1,1}}$

• A. Dabholkar (1998). 「オリエンティフォールドと双対性に関する講義」.高エネルギー物理学と宇宙論. 14 : 128. arXiv : hep-th/9804208 . Bibcode :1998hepc.conf..128D.
• C. Angelantonj & A. Sagnotti (2002). 「開いた弦」. Physics Reports . 371 (1–2): 1–150. arXiv : hep-th/0204089 . Bibcode :2002PhR...371....1A. doi :10.1016/S0370-1573(02)00273-9. S2CID  119334893.

• 訂正: C. Angelantonj & A. Sagnotti (2003). 「「開いた弦」の訂正: [Phys. Rep. 371 (2002) 1–150]」(PDF) . Physics Reports . 376 (6): 407. Bibcode :2003PhR...376..407A. doi :10.1016/S0370-1573(03)00006-1.