モジュラーフォームのリング

数学において、特殊線型群SL(2, Z )の部分群Γに関連付けられたモジュラー形式の環は、 Γのモジュラー形式によって生成される次数付き環です。モジュラー形式の環の研究は、モジュラー形式の空間の代数構造を記述します。

Γ を有限指数のSL(2, Z )の部分群とし、M k (Γ) を重み k のモジュラー形式の全体にわたるベクトル空間とする。Γ_のモジュラー形式の全体にわたる環は次数付き環である。^[1]${\textstyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$

完全モジュラー群 SL(2, Z )のモジュラー形式の環は、アイゼンシュタイン級数E ₄とE ₆によって自由に生成される。言い換えれば、M _k (Γ) は、複素数上の2変数の多項式環である の-代数として同型である。^[1] ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} [E_{4},E_{6}]}$

モジュラー形式の環は次数付きリー代数である。なぜなら、それぞれの重みがkとℓであるモジュラー形式fとgのリー括弧は、重みがk + ℓ + 2であるモジュラー形式だからである。^{[1]モジュラー形式の}n次導関数に対して括弧を定義することができ、そのような括弧はRankin–Cohen 括弧と呼ばれる。^[1]${\displaystyle [f,g]=kfg'-\ell f'g}$

1973年、ピエール・ドリーニュとマイケル・ラポポートは、ΓがSL(2, Z )の合同部分群であるとき、モジュラー形式環M(Γ)は有限生成であることを示した。^[2]

2003 年、レフ・ボリソフとポール・グネルズは、トーリック・モジュラー形式の理論を用いて、がSL(2, Z )における素数レベルNの合同部分群であるとき、モジュラー形式環M(Γ)は最大でも重み 3 で生成されることを示した。^[3] 2014 年、ナディム・ラストムは、ボリソフとグネルズの結果をすべてのレベルNに拡張し、合同部分群のモジュラー形式環が、いくつかのレベルNに対して重み 6 で生成されることも実証した。^[4]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)}$${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$

2015年、ジョン・ボイトとデイヴィッド・ズレイク・ブラウンはこれらの結果を一般化し、SL(2, Z )の任意の合同部分群Γに対する偶数重みのモジュラー形式の次数付き環は、重みが最大6で生成され、重みが最大12の関係が生成されることを証明した^{。[5]この研究を基に、2016年にアーロン・ランデスマン、ピーター・ルーム、ロビン・チャンは、} Γが非ゼロの奇数重みモジュラー形式を持つ 場合は、5と10に改善された境界で、完全な環（すべての重み）に対して同じ境界が成り立つことを示しました。^[6]

フックス群 Γは、上半平面の商から得られるオービフォールドに対応する。リーマンの存在定理のスタック一般化により、 Γのモジュラー形式の環と、スタック曲線の標準環に密接に関連する特定の切断環との間に対応関係がある。^[5]${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Voight と Zureick-Brown の研究および Landesman、Ruhm、Zhang の研究により、生成元の重みとモジュラー形式の環の関係に対する一般的な公式が存在する。 をΓに関連付けられたスタック曲線のスタック点 (オービフォールド のカスプと同等)の安定化順序とします。Γに非ゼロの奇重みモジュラー形式がない場合、モジュラー形式の環の重みは最大で生成され、重みで生成される関係は最大でしかありません。^[5] Γに非ゼロの奇重みモジュラー形式がある 場合、モジュラー形式の環の重みは最大で生成され、重みで生成される関係は最大でしかありません。^[6]${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle 6\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$${\displaystyle 12\max(1,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$${\displaystyle \max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$${\displaystyle 2\max(5,e_{1},e_{2},\ldots ,e_{r})}$

弦理論と超対称ゲージ理論では、モジュラー形式の環の代数構造を用いて、N = 1超対称性を持つ4 次元ゲージ理論のヒッグス真空の構造を研究することができる。^[7] N = 4 超対称ヤン＝ミルズ理論における超ポテンシャルの安定化因子は、 SL(2, Z )の合同部分群Γ(2)のモジュラー形式の環である。^{[7] [8]}