重力インスタントン

数理物理学と微分幾何学において、重力インスタントンは、真空アインシュタイン方程式を満たす4次元の完全な リーマン多様体である。これらは、ヤン＝ミルズ理論におけるインスタントンの重力の量子理論における類似物であるため、このように呼ばれる。自己双対ヤン＝ミルズインスタントンとのこの類似性に従って、重力インスタントンは、通常、遠距離では4次元ユークリッド空間のように見え、自己双対リーマンテンソルを持つと想定される。数学的には、これは、それらが漸近的に局所的にユークリッド（またはおそらく漸近的に局所的に平坦）な超ケーラー4次元多様体であることを意味し、この意味で、それらはアインシュタイン多様体の特別な例である。物理的な観点からは、重力インスタントンは、ローレンツ計量ではなく正定値計量を持つ真空アインシュタイン方程式の非特異解である。

重力インスタントンの元の概念には、多くの一般化の可能性があります。たとえば、重力インスタントンがゼロ以外の宇宙定数や自己双対ではないリーマンテンソルを持つことを許可できます。また、計量が漸近的にユークリッドであるという境界条件を緩和することもできます。

重力インスタントンを構築する方法は数多くあり、ギボンズ・ホーキング仮説、ツイスター理論、ハイパーケーラー商構成などがある。

重力インスタントンは、重力の量子化についての洞察を提供するため興味深いものです。たとえば、正定値漸近局所ユークリッド計量は、正作用予想に従うため必要です。以下で無制限の作用は、量子経路積分に発散を引き起こします。

• 4 次元のリッチ平坦ケーラー多様体は、複素方向に関して反自己双対リーマンテンソルを持ちます。
• その結果、単連結反自己双対重力インスタントンは4次元完全ハイパーケーラー多様体となる。
• 重力インスタントンは自己双対ヤン＝ミルズインスタントンに類似しています。

リーマン曲率テンソルの構造に関しては、平坦性と自己双対性に関していくつかの区別が可能である。これには以下が含まれる。

• アインシュタイン（宇宙定数はゼロではない）
• リッチ平坦性（リッチテンソルの消失）
• 共形平坦性（ワイルテンソルの消失）
• 自己二重性
• 反自己二元性
• 共形的に自己双対
• 共形反自己双対

「境界条件」、つまり非コンパクトなリーマン多様体上の「無限遠」における計量の漸近性を指定することにより、重力インスタントンは、漸近的に局所的なユークリッド空間(ALE 空間)、漸近的に局所的に平坦な空間(ALF 空間) などのいくつかのクラスに分類されます。

これらは、リーマン テンソルが自己双対であるかどうか、ワイル テンソルが自己双対であるかどうか、あるいはどちらでもないかどうか、ケーラー多様体であるかどうか、そしてオイラー特性、ヒルツェブルッフ署名 (ポンチャギン類)、ラリタ–シュウィンガー指数 (スピン 3/2 指数)、あるいは一般的にはチャーン類などのさまざまな特性類によってさらに特徴付けることができます。スピン構造をサポートする機能(つまり、一貫したディラック スピノルを許可する機能) は、もう 1 つの魅力的な機能です。

江口らは重力インスタントンのいくつかの例を挙げている。^[1]例えば、次のようなものがある。

• 平坦空間、トーラス、ユークリッド・ド・ジッター空間、つまり4 次元球面上の標準計量。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$
• 球の積。${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• シュワルツシルト計量 とカー計量。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$
• 以下に示す江口-ハンソンインスタントン。${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)}$
• 以下に示すTaub –NUT 解。
• 複素射影平面上のフビニ・スタディ計量^{[2]複素射影平面は、明確に定義された}ディラックスピノルをサポートしていないことに注意してください。つまり、それはスピン構造ではありません。ただし、スピン構造を与えることはできます。 ${\displaystyle \mathbb {CP} (2).}$
• ページ空間は、2 つの反対向きの複素射影平面の接続された和上に明示的なアインシュタイン計量を示します。 ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\#{\overline {\mathbb {CP} }}(2)}$
• 以下にギボンズ・ホーキング多中心メトリクスを示します。
• タウブボルト メトリックと回転タウブボルト メトリック。「ボルト」メトリックは、原点に円筒形の座標特異点を持ちますが、「ナット」メトリックは球座標特異点を持ちます。どちらの場合も、原点でユークリッド座標に切り替えることで座標特異点を除去できます。${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}}$
• K3表面。
• ALE（漸近的局所ユークリッド）反自己双対多様体。これらのうち、単連結なものはすべて超ケーラーであり、それぞれは 有限部分群を法として 上の平坦錐に漸近します。 の各有限部分群は実際に発生します。可能性の完全なリストは、巡回群と 、二重被覆 の下の二面体群、四面体群、八面体群、および二十面体群の逆像で構成されます。 は江口–ハンソンインスタントンに対応し、kが大きい場合、巡回群はギボンズ–ホーキング多中心計量に対応し、それぞれが、ディンキン図を配管図として 使用して のk 個のコピーの互いに素な和集合から得られる空間に微分同相であることに注意します。${\displaystyle S^{3}=SU(2)}$${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{k+1}}$${\displaystyle SU(2)\to SO(3)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{k+1}}$${\displaystyle T^{*}S^{2}}$ ${\displaystyle A_{k}}$

これは非常に不完全なリストです。他にも多くの可能性があり、そのすべてが分類されているわけではありません。

以下に重力インスタントン解を、3次元球面 S ³ （群Sp(1)またはSU(2)として見た）上の左不変1形式を使って書くと便利だろう。これらはオイラー角で次の ように定義できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&= \cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{aligned}}}$

周期的なことに注意してください。 ${\displaystyle d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0}$${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{rn}}dr^{2}+{\frac {rn}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})}$

江口・ハンソン空間は、 2次元球面の余接束という計量によって定義される。この計量は ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).}$

ここで です。この計量は、 、 で円錐特異点を持たない場合、どこでも滑らかです。については、 の周期がの場合にこれが発生し、 R ⁴上で平坦な計量が得られます。しかし、 については、の周期が の場合にこれが発生します。 ${\displaystyle r\geq a^{1/4}}$${\displaystyle r\rightarrow a^{1/4}}$${\displaystyle \theta =0,​​\pi }$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle 2\pi }$

漸近的に（すなわち、極限では）、計量は次のようになる。 ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

これは単純にR ⁴上の平坦な計量のように見えます。しかし、 については、すでに見たように、通常の周期性の半分しかありません。したがって、計量は漸近的にR ⁴であり、同一視 はR ⁴の回転群SO(4)のZ ₂部分群です。したがって、計量は漸近的にR ⁴ / Z ₂であると言えます 。 ${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi \,{\sim }\,\psi +2\pi }$

別の座標系への変換があり、その場合の計量は次のようになる。

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

どこ ${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

(a = 0、 の場合、新しい座標は次のように定義されます。まず 、 を定義し、次に を R 3 座標でパラメーター化し^ます(つまり) 。${\displaystyle V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}}$${\displaystyle \rho =r^{2}/4}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )}$

新しい座標では、通常の周期性を持つ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .}$

Vを次のように置き換えることもできる。

${\displaystyle \quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

あるn点, i  = 1, 2...,  nに対して、多中心エグチ・ハンソン重力インスタントンが得られます。これは、角座標が通常の周期性を持つ場合（円錐特異点を避けるため）、どこでも滑らかになります。漸近極限（）は、すべてをゼロにすることと同等であり、座標を r 、に戻してを再定義すると、漸近計量が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle r\rightarrow \infty }$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle r\rightarrow r/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].}$

これはR ⁴ / Z _n = C ² / Z _nです。これはR ^{4 の}角座標が に置き換えられたもので、周期性が間違っています (ではなく)。言い換えると、これはで識別されるR ^{4であり、} i = 1, 2 に対してz _i ~ z _iで識別されるC ²と同等です。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi /n}$${\displaystyle 4\pi /n}$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n}$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}}$

結論として、多中心エグチ・ハンソン幾何学は、漸近的にC ² / Z _nであるケーラー・リッチ平坦幾何学である。ヤウの定理によれば、これはこれらの特性を満たす唯一の幾何学である。したがって、これはまた、その円錐特異点が「爆発」（すなわち変形）によって滑らかに除去された後の弦理論におけるC ² / Z _nオービフォールドの幾何学でもある。 ^[3]

ギボンズ・ホーキング多中心測定基準は^{[4] [5]で与えられる。}

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

どこ

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

ここで、は多重 Taub–NUT に対応し、は平坦空間であり、はEguchi–Hanson 解です (異なる座標系)。 ${\displaystyle \epsilon =1}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle k=2}$

2021年に、葉状最大対称空間の曲率パラメータを連続関数と見なすと、アインシュタイン-ヒルベルト作用とギボンズ-ホーキング-ヨーク境界項の和としての重力作用は点粒子の作用になることがわかった^[6 ]。すると、軌道はスケール因子であり、曲率パラメータはポテンシャルとして見られる。このように制限された解に対して、一般相対論は位相的なヤン-ミルズ理論の形をとる。

• 重力異常
• ハイパーケーラー多様体

• ギボンズ, GW; ホーキング, SW (1978年10月). 「重力マルチインスタントン」. Physics Letters B. 78 ( 4): 430–432. Bibcode :1978PhLB...78..430G. doi :10.1016/0370-2693(78)90478-1.
• ギボンズ, GW; ホーキング, SW (1979 年 10 月). 「重力インスタントン対称性の分類」.数理物理学における通信. 66 (3): 291–310. Bibcode :1979CMaPh..66..291G. doi :10.1007/BF01197189. S2CID  123183399.
• 江口徹、ハンソン、アンドリュー・J. (1978年4月)。「ユークリッド重力に対する漸近的に平坦な自己双対解」。Physics Letters B。74 (3): 249–251。Bibcode  : 1978PhLB ...74..249E。doi : 10.1016 /0370-2693 ( 78)90566-X。OSTI 1446816。S2CID  16380482。
• 江口徹、ハンソン、アンドリュー・J (1979年7月)。「ユークリッド重力に対する自己双対解」。Annals of Physics。120 ( 1 ): 82–106。Bibcode :1979AnPhy.120...82E。doi :10.1016/ 0003-4916 (79)  90282-3。OSTI 1447072。S2CID 48866858  。
• 江口徹、ハンソン、アンドリュー・J. (1979年12月)。「重力インスタントン」。一般相対性理論と重力。11 (5): 315–320。Bibcode :1979GReGr..11..315E。doi : 10.1007/BF00759271。S2CID  123806150。
• Kronheimer, PB (1989). 「超ケーラー商としての ALE 空間の構築」. Journal of Differential Geometry . 29 (3): 665–683. doi : 10.4310/jdg/1214443066 .