非正曲率

数学では、非正曲率の空間は多くの文脈で現れ、双曲幾何学の一般化を形成します。リーマン多様体のカテゴリでは、多様体の断面曲率を考慮し、この曲率がどこでもゼロ以下であることを要求できます。曲率の概念は測地距離空間のカテゴリに拡張され、比較三角形を使用して空間の曲率を定量化できます。この文脈では、非正曲率の空間は（局所的に）CAT(0)空間として知られています。

が閉じた、向き付けられたリーマン面である場合、均一化定理から、 、または の定数ガウス曲率を持つ完全なリーマン計量を備えることができることが分かります。ガウス・ボネの定理の結果、定数曲率のリーマン計量を持つ曲面、つまり、非正の定数曲率の完全なリーマン計量を持つリーマン面は、種数が少なくとも である曲面とまったく同じであると判定できます。均一化定理とガウス・ボネの定理はどちらも、境界を持つ向き付けられたリーマン面に適用して、非正のオイラー特性を持つ曲面は、非正の曲率のリーマン計量を許容する曲面とまったく同じであることを示すことができます。したがって、そのような面の同相型の無限の族が存在するのに対し、リーマン球面は、一定のガウス曲率を持つ唯一の閉じた向き付け可能なリーマン面です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$

上記の曲率の定義は、リーマン計量の存在に依存するため、幾何学の分野に属します。しかし、ガウス・ボネの定理により、曲面の位相が、曲面に課される完全なリーマン計量に制約を課すことが保証されるため、非正曲率の計量空間の研究は、幾何学と位相幾何学の両方の数学的分野において極めて重要です。非正曲率の曲率面の古典的な例としては、ユークリッド平面と平坦トーラス(曲率 の場合)、双曲面と擬球 (曲率 の場合) があります。このため、これらの計量と、それらが完全な計量として存在するリーマン面は、それぞれユークリッド面、双曲面と呼ばれます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle -1}$

非正曲面のリーマン面の幾何学の特徴は、非正の概念をリーマン面の研究を超えて一般化するために使用されます。高次元の多様体またはオービフォールドの研究では、断面曲率の概念が使用され、特定の点における接空間の2次元部分空間に注意が制限されます。より大きな次元では、モストウ-プラサド剛性定理により、有限面積の双曲多様体は一意の完全な双曲計量を持つことが保証されるため、この設定での双曲幾何学の研究は位相幾何学の研究に不可欠です。 ${\displaystyle 2}$

任意の測地距離空間では、グロモフ双曲的空間またはCAT(0) 空間であるという概念は、非正曲率のリーマン面上では、測地線の側面を持つ三角形は細く見えるが、正曲率の設定では太く見えるという概念を一般化します。この非正曲率の概念により、非正曲率の概念はグラフに最も一般的に適用され、そのため組合せ論や幾何群論の分野で非常に役立ちます。

• マーギュリスの補題

• バルマン、ヴェルナー(1995)。非正曲率空間に関する講義。DMVセミナー25。バーゼル：ビルクハウザー出版社。pp. viii+112。ISBN 3-7643-5242-6。 MR1377265​
• マーティン・R・ブリドソン;ヘフリガー、アンドレ(1999)。非正の曲率の計量空間。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]。 Vol. 319. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.xxii+643。ISBN 3-540-64324-9。 MR1744486​
• パパドプロス、アタナセ (2014) [2004].計量空間、凸性、非正曲率. IRMA 数学および理論物理学講義第 6 巻. チューリッヒ: ヨーロッパ数学協会. p. 298. ISBN 978-3-03719-010-4。 MR2132506​