べき乗剰余記号

代数的整数論において、n乗剰余記号（整数n > 2）は、（二次）ルジャンドル記号をn乗に一般化したものである。これらの記号は、3次、 4 次、アイゼンシュタイン、および関連する高次の^[1]相互法則の記述と証明に使用されている。^[2]

kを原始n乗根を含む整数環を持つ代数体とする。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}.}$

を素イデアルとし、nと が互いに素である(つまり) と仮定します。${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}}$

のノルムは、剰余類環の濃度として定義されます（は素数なので、剰余類環は有限体であることに注意してください）。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}:=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|.}$

フェルマーの定理に類似したものが成立する 。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

そして最後に、 これらの事実は ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}.}$

${\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p} }}}$

明確に定義されており、唯一の- 乗根と一致する${\displaystyle n}$${\displaystyle \zeta _{n}^{s}.}$

この1の根はn乗剰余記号と 呼ばれ、次のように表される。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{s}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

n乗記号は、古典的な (二次)ヤコビ記号(は固定された原始の 乗根) と完全に類似した特性を持ちます。${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}={\begin{cases}0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\\1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ であり、}}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}:\alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {p}}}\\\zeta &\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ であり、そのような }}\eta は存在しない \end{cases}}}$

すべての場合（ゼロと非ゼロ）

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {p}}}\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

nを法とするすべてのべき乗剰余記号はn を法とするディリクレ指標であり、m乗剰余記号には 1 のm乗根のみが含まれ、n を法とするm乗剰余記号は、 m がnを割り切る場合のみ存在します( nのカーマイケルラムダ関数)。 ${\displaystyle \lambda (n)}$

n乗剰余記号は、素数のヒルベルト記号と次のよう に関係している。 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=(\pi ,\alpha )_{\mathfrak {p}}}$

nと互いに素な場合には、 は局所体の任意の均一化元である。^[3]${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

ヤコビ記号がルジャンドル記号を拡張するの と同じように、 - 乗記号は、その「分母」として非素イデアルまたは非ゼロ元を取るように拡張できます。${\displaystyle n}$

あらゆるイデアルは、素イデアルの積であり、その方法は 1 つだけです。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}.}$

乗数記号は乗法的に拡張されます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)_{n}\cdots \left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{g}}}\right)_{n}.}$

定義する と${\displaystyle 0\neq \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}:=\left({\frac {\alpha }{(\beta )}}\right)_{n},}$

主イデアルはどこで生成されるか${\displaystyle (\beta )}$${\displaystyle \beta .}$

二次ヤコビ記号と同様に、この記号は上部と下部のパラメータで乗法になります。

• もしそうなら${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {a}}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha \beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)_{n}.}$

シンボルは常に1 の - 乗根であるため、その乗法性により、1 つのパラメータが -乗であるときは常に 1 に等しくなります。逆は真ではありません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• もしそうなら${\displaystyle \alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {a}}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1.}$
• が-乗法でない場合 ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\neq 1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$
• のべき乗を法とするかもしれないし、そうでないかもしれない。${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$

べき乗の相互法則は、2次の相互法則の類似物であり、ヒルベルト記号を用いて次のように定式化できる^[4]。

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}},}$

と が互いに素であるときはいつでも。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

• モジュラー演算#剰余クラス
• 二次剰余#素数べき乗係数
• アルティン記号
• ガウスの補題

• グラス、ジョルジュ（2003）、類体理論。理論から実践へ、シュプリンガー数学モノグラフ、ベルリン：シュプリンガー出版社、pp. 204-207、ISBN 3-540-44133-6、Zbl  1019.11032
• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）、現代数論への古典的入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガーサイエンス+ビジネスメディア、ISBN 0-387-97329-X
• レマーマイヤー、フランツ（2000）、相互法則：オイラーからアイゼンシュタインまで、シュプリンガー・モノグラフ・イン・マスマティクス、ベルリン：シュプリンガー・サイエンス+ビジネス・メディア、doi：10.1007/978-3-662-12893-0、ISBN 3-540-66957-4、MR  1761696、Zbl  0949.11002
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的数論、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 322、Norbert Schappacher によるドイツ語からの翻訳、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-65399-6、ZBL  0956.11021