有限生成アーベル群

基本分解定式化によれば、すべての有限生成アーベル群Gは、基本巡回群と無限巡回群の直和に同型である。基本巡回群とは、位数が素数のべき乗である群のことである。つまり、すべての有限生成アーベル群は、次の形式の群に同型である。

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,}$

ここで、n ≥ 0 はランクであり、q ₁ , ..., q _tは (必ずしも異なるとは限らない) 素数のべき乗です。特に、G が有限であるのはn = 0の場合のみです_。n、q 1、 ..., q _tの値は (添え字の並べ替えを除いて) Gによって一意に決定されます。つまり、 G をこのような分解として表現する方法はただ 1 つしかありません。

この主張の証明には、有限アーベル群の基底定理、すなわちすべての有限アーベル群は基本巡回群の直和であるという定理を用いる。Gのねじれ部分群をtGと表す。すると、G/tGはねじれのないアーベル群であり、したがって自由アーベル群である。tGはGの直和因子であり、これはGの部分群F stが存在することを意味する。${\displaystyle G=tG\oplus F}$、 どこ${\displaystyle F\cong G/tG}$すると、Fも自由アーベル群になります。tG は有限生成であり、tG の各要素は有限位数を持つため、 tGは有限群です。有限アーベル群の基底定理により、tG は基本巡回群の直和として表すことができます。

また、任意の有限生成アーベル群G を次の形式の直和として表すこともできます。

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,}$

ここで、 k _{1 は}k ₂を割り切り、k 2 はk ₃を割り切り、以下同様にk _uまで続きます。ここでも、ランクnと不変因子k ₁、 ...、k _uはGによって一意に決定されます(ここでは一意の順序で)。ランクと不変因子の列は、同型を除いて群を決定します。

これらの記述は、中国剰余定理の結果として同等であり、それは次のことを意味する。${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$jとkが互いに素である場合に限る。

基本定理の歴史と功績は、それが群論が十分に確立されていなかった時代に証明されたという事実によって複雑化しており、そのため、本質的には現代の結果と証明である初期の形式は、特定のケースについて述べられることが多い。簡単に言うと、有限ケースの初期形式は 1801 年にガウスによって証明され、有限ケースは 1870 年にクロネッカーによって証明され、1878 年にフロベニウスとスティッケルベルガーによって群論的な用語で述べられた。有限表示ケースはスミスの標準形によって解決され、そのためしばしば(スミス 1861 )、^{[ 3 ]}に帰せられるが、有限生成ケースは代わりに 1900 年にポアンカレに帰せられることもある。詳細は後述。

群理論家のラズロ・フックスは次のように述べています。^{[ 3 ]}

有限アーベル群に関する基本定理に関しては、その起源をたどるにはどれほど昔まで遡る必要があるのか​​は明らかではない。…現在の形で基本定理を定式化し証明するには長い年月を要した…。

有限アーベル群の基本定理は、1870 年にレオポルド・クロネッカーによって群論的証明を用いて証明されましたが、^{[ 4 ]}群論的な用語で述べられてはいません。^{[ 5 ]}クロネッカーの証明の現代的な説明は、 ( Stillwell 2012 ) 5.2.2 クロネッカーの定理、176–177に記載されています。これは、二次形式を分類したカール・フリードリヒ・ガウスのDisquisitiones Arithmeticae (1801)の以前の結果を一般化したもので、クロネッカーはこのガウスの結果を引用しました。この定理は、 1878 年にフェルディナント・ゲオルク・フロベニウスとルートヴィヒ・シュティッケルベルガーによって群論の言葉で述べられ証明された。^{[ 6 ] [ 7 ]}別の群論的定式化は、1882 年にクロネッカーの弟子であるオイゲン・ネットによって与えられた。^{[ 8 ] [ 9 ]}

有限表示アーベル群の基本定理は、ヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスによって（スミス 1861 ）、^{[ 3 ]}で証明されました。これは、整数行列がアーベル群の有限表示に対応し（これは主イデアル領域上の有限表示加群に一般化されます）、スミス標準形が有限表示アーベル群の分類に対応するためです。

有限生成アーベル群の基本定理は、1900 年にアンリ・ポアンカレによって行列証明を用いて証明されました (これは主イデアル領域に一般化されます)。これは、複体のホモロジー、具体的には複体の次元のベッティ数とねじれ係数を計算する文脈で行われました 。ここで、ベッティ数は自由部分のランクに対応し、ねじれ係数はねじれ部分に対応します。^{[ 4 ]}

クロネッカーの証明は、 1926年にエミー・ネーターによって有限生成アーベル群に一般化された。 ^{[ 4 ]}