モジュラー楕円曲線

楕円曲線のグラフy ² = x ³ − xとy ² = x ³ − x + 1。これらを有理数上の曲線として考えると、モジュラ性定理により、これらはモジュラ曲線によってパラメータ化できると主張されます。

モジュラー楕円曲線は、モジュラー曲線によるパラメータ化X ₀ ( N ) → Eが許容される楕円曲線 Eです。これは、楕円曲線であるモジュラー曲線 (楕円モジュラー曲線と呼ばれるもの) とは異なります。モジュラー性定理(谷山-志村予想とも呼ばれる) は、有理数上で定義されたすべての楕円曲線がモジュラーであると主張しています。

歴史と意義

1950年代から1960年代にかけて、谷山豊の考えに基づいて、日本の数学者志村五郎が楕円曲線とモジュラー形式の関係を予想しました。西洋では、アンドレ・ヴェイユの1967年の論文を通じてよく知られるようになりました。ヴェイユが概念的な証拠を示したため、谷山・志村・ヴェイユ予想と呼ばれることもあります。これは、すべての有理楕円曲線がモジュラー形式であるという予想です。

1960年代後半、イヴ・エルグーアルクは、フェルマー方程式の解（ a、b、c）を全く異なる数学的対象である楕円曲線に関連付けるというアイデアを思いついた。^{[1]曲線は、座標（}x、 y）が次の関係を満たす平面上のすべての点から構成される。

y^{2}=x(xa^{n})(x+b^{n}).\,

このような楕円曲線は、その方程式に整数の高次の累乗が出現し、 a ⁿ + b ⁿ = c ⁿも n乗であるという事実により、非常に特殊な特性を備えています。

1986 年の夏、ケン・リベットは、ゲルハルト・フライが予想したとおり、谷山・志村予想の特殊なケース(当時はまだ証明されていなかった) と、現在証明されているイプシロン予想 (現在はリベットの定理と呼ばれている) を組み合わせると、フェルマーの最終定理が成り立つことを証明した。つまり、谷山・志村予想が半安定楕円曲線に対して正しいとすれば、フェルマーの最終定理も正しいことになる。しかし、この理論的アプローチは、谷山・志村予想自体が当時の知識では全く証明不可能であると広く考えられていたため、達成不可能と広く考えられていた。^[2]たとえば、ワイルズの元指導教官ジョン・コーツは、谷山・志村予想は「実際に証明するのは不可能に思えた」と述べており^[3]、ケン・リベットは、自分が「[谷山・志村予想] は全く証明不可能だと信じている大多数の人々の 1 人」であると考えていた^{[4] 。}

1986年にイプシロン予想が証明されたことを聞き、ワイルズは谷山・志村予想の証明に専念する研究を始めることを決意した。リベットは後に「アンドリュー・ワイルズは、実際にそれを証明できると夢見る大胆さを持った地球上で数少ない人物の一人だっただろう」とコメントした。 ^[4]

ワイルズは1993年6月23日水曜日、ケンブリッジでの「楕円曲線とガロア表現」と題する講義で初めて証明を発表した。^[5]しかし、1993年9月にその証明に誤りがあることが判明した。1年後の1994年9月19日月曜日、ワイルズが「[彼の]仕事人生で最も重要な瞬間」と呼ぶであろう瞬間に、ワイルズは「言葉では言い表せないほど美しく...単純でエレガントな」啓示に偶然出会い、数学コミュニティが満足する形で証明を修正することができた。正しい証明は1995年5月に発表された。その証明は代数幾何学と数論からの多くの技法を使用しており、これらの数学分野に多くの影響を与えている。また、スキームのカテゴリや岩澤理論などの現代代数幾何学の標準的な構成や、フェルマーが利用できなかった20世紀の他の技法も使用している。

モジュラリティ定理

定理は、Q上の任意の楕円曲線は、古典的なモジュラー曲線から整数係数を持つ有理写像を介して得られることを述べている。

X_{0}(N)\

ある整数Nに対して、これは明示的に定義された整数係数を持つ曲線です。このマッピングはレベルNのモジュラーパラメータ化と呼ばれます。 N がそのようなパラメータ化が見つかる最小の整数である場合（モジュラー定理自体により、これは導体と呼ばれる数であることがわかっています）、パラメータ化は、重み 2 でレベルNの特定の種類のモジュラー形式、つまり整数q展開を持つ正規化された新しい形式によって生成されるマッピング、必要に応じて同型写像によって定義できます。

モジュラリティ定理は、密接に関連する解析的命題を示唆している。Q上の楕円曲線Eには、対応するL級数を付加することができる。L級数はディリクレ級数であり、一般的には次のように表記される。

L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{ n}}{n^{s}}}

ここで、積と係数はハッセ・ヴェイユゼータ関数で定義される。係数の生成関数は $a_{n}$ $a_{n}$

f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.

置き換えをすると

q=e^{2\pi i\tau }\

複素変数τの関数のフーリエ展開を書いたので、 q級数の係数はのフーリエ係数とも考えられます。このようにして得られた関数は、注目すべきことに、重み 2 でレベルNのカスプ形式であり、また、固有形式 (すべてのヘッケ演算子の固有ベクトル) でもあります。これは、モジュラリティ定理から導かれる ハッセ・ヴェイユ予想です。 $f(\tau,E)$ $f$

重み 2 のモジュラー形式の中には、楕円曲線の正則微分に対応するものもあります。モジュラー曲線のヤコビアンは (同型性を除いて) 既約アーベル多様体の積として表すことができ、重み 2 のヘッケ固有形式に対応します。1 次元の因子は楕円曲線です (より高次元の因子もあるため、すべてのヘッケ固有形式が有理楕円曲線に対応するわけではありません)。対応するカスプ形式を見つけて、そこから曲線を構成することで得られる曲線は、元の曲線と同型です(ただし、一般に同型ではありません)。

参考文献

^ Helleguearch、イヴ (2001)。フェルマー＝ワイルズの数学への招待。学術出版局。ISBN 978-0-12-339251-0。
^ シン、サイモン（1998年10月）。フェルマーのエニグマ。ニューヨーク：アンカーブックス。ISBN 978-0-385-49362-8.ZBL0930.00002 .^{: 203–205, 223, 226}
^ シン、サイモン（1998年10月）。フェルマーのエニグマ。ニューヨーク：アンカーブックス。ISBN 978-0-385-49362-8.ZBL0930.00002 .^{: 226}
^ ab Singh, Simon (1998年10月)。フェルマーのエニグマ。ニューヨーク：アンカーブックス。ISBN 978-0-385-49362-8.ZBL0930.00002 .^{: 223}
^ コラタ、ジーナ（1993年6月24日）。「ついに、古くからの数学の謎に「ユーレカ！」の叫び」ニューヨークタイムズ。 2013年1月21日閲覧。

さらに読む

ワイルズ、アンドリュー(1995)、「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」、数学年報、第 2 シリーズ、141 (3): 443–551、CiteSeerX 10.1.1.169.9076、doi :10.2307/2118559、ISSN 0003-486X、JSTOR 2118559、MR 1333035
ワイルズ、アンドリュー(1995)、「モジュラー形式、楕円曲線、フェルマーの最終定理」、国際数学者会議の議事録、第 1、2 巻 (チューリッヒ、1994 年)、バーゼル、ボストン、ベルリン: バークハウザー、pp. 243–245、MR 1403925

[1] Helleguearch、イヴ (2001)。フェルマー＝ワイルズの数学への招待。学術出版局。ISBN 978-0-12-339251-0。

[singh-2] シン、サイモン（1998年10月）。フェルマーのエニグマ。ニューヨーク：アンカーブックス。ISBN 978-0-385-49362-8.ZBL0930.00002 .^{: 203–205, 223, 226}

[3] シン、サイモン（1998年10月）。フェルマーのエニグマ。ニューヨーク：アンカーブックス。ISBN 978-0-385-49362-8.ZBL0930.00002 .^{: 226}

[ReferenceA-4] Singh, Simon (1998年10月)。フェルマーのエニグマ。ニューヨーク：アンカーブックス。ISBN 978-0-385-49362-8.ZBL0930.00002 .^{: 223}

[nyt-5] コラタ、ジーナ（1993年6月24日）。「ついに、古くからの数学の謎に「ユーレカ！」の叫び」ニューヨークタイムズ。 2013年1月21日閲覧。