単位（環理論）

代数学において、環の単位元または可逆元^{[a]は、環の乗法に対する}可逆元である。つまり、環Rの元u が単位元であるとは、Rにv が存在して、 1 が乗法単位 元である場合 である。元v はこの性質について唯一であり、uの乗法逆元と呼ばれる。^{[1] [2]} Rの単位集合は、乗法に関して群R ^{× を}形成し、 Rの単位群または単位群と呼ばれる。^[b] 単位群の他の表記法は、 R ^∗、U( R )、およびE( R )（ドイツ語のEinheitに由来）である。 $${\displaystyle vu=uv=1,}$$

あまり一般的ではありませんが、単位という用語は、単位を持つ環や単位環、単位行列などの表現で、環の要素1を指すために使用されることがあります。この曖昧さのため、1 は​​、環の「単位元」または「単位元」と呼ばれることがより一般的であり、「単位元を持つ環」または「単位元を持つ環」というフレーズは、 rngではなく環を検討していることを強調するために使用される場合があります。

乗法単位元1とその加法逆元−1は常に単位元です。より一般的には、環Rの任意の単位根は単位元です。つまり、 r ⁿ = 1であれば、r ^{n −1}はrの乗法逆元です。非ゼロ環では、元 0 は単位元ではないため、R ^{× は}加法で閉じていません。すべての非ゼロ元が単位元である非ゼロ環R (つまり、 R ^× = R ∖ {0} ) は、除算環(または歪体)と呼ばれます。可換除算環は体と呼ばれます。たとえば、実数体Rの単位群はR ∖ {0}です。

整数環 Zでは、単位は1と−1のみです。

nを法とする整数の環Z / n Zにおいて、単位はnと互いに素な整数によって表される合同類(mod n )である。これらはn を法とする整数の乗法群を構成する。

2乗整数√ 3をZに付加して得られる環Z [ √ 3 ]では、(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1となるので、2 + √ 3 は単位であり、その累乗も単位なので、Z [ √ 3 ]には無限個の単位が存在する。

より一般的には、数体Fの整数環 Rに対して、ディリクレの単位定理によれば、R ^{× は}群 に同型であり 、 はRの単位根の（有限、巡回）群であり、nは単位群の階数であり、 はそれぞれ Fの 実埋め込みの数と複素埋め込みのペアの数です。 $${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$$${\displaystyle \mu_{R}}$$${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$$${\displaystyle r_{1},r_{2}}$

これはZ [ √ 3 ]の例を復元します。実二次体（の整数環）の単位群は階数1の無限群です。なぜなら です。 ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$

可換環Rに対して、多項式環 R [ x ]の単位は、 a ₀がRの単位であり、残りの係数が冪零である、つまり、あるNに対して を満たすよう な多項式です 。^[4] 特に、R が定義域（またはより一般的には縮約）である場合、R [ x ]の単位はRの単位です。冪級数環の単位は、 a ₀がRの単位である ような冪級数です 。^[5]$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ ${\displaystyle R[[x]]}$$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$$

環R上のn  ×  n行列の環M _n ( R )の単位群は可逆行列の群GL _n ( R )です。可換環Rに対して、 M _n ( R )の元Aが可逆であるためには、Aの行列式がRで可逆である必要があります。その場合、A ^{−1 は}、随伴行列によって明示的に与えることができます。

環Rの元xとyについて、が逆数であれば、逆数で逆数である。^[6]この式は、非可換冪級数の環における次の計算によって推測することはできるが、証明はできない。 同様の結果については、 Huaの恒等式 を参照のこと。${\displaystyle 1-xy}$${\displaystyle 1-yx}$${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$$${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^ {n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$

可換環とは、R ∖ R ^{× が}最大イデアルである場合に局所環と呼ばれる。

結局のところ、R ∖ R ^×がイデアルであれば、それは必然的に最大イデアルであり、最大イデアルはR ^×と互いに素であるため、 Rは局所的です。

Rが有限体の場合、R ^×は位数| R | − 1の巡回群です。

環準同型 f  : R → Sは群準同型 R ^× → S ^×を誘導する。これはfが単位を単位に写すからである。実際、単位群の形成は環の圏から群の圏への関手を定義する。この関手は整群環構成である左随伴関数を持つ。^[7]

群スキームは任意の基底上の 乗法群スキームと同型なので、任意の可換環Rに対して、群および はU ( R )と標準同型です。 関手(つまり、R ↦ U ( R ) ) は、可換環Rに対して次の意味で表現可能であることに注意してください (これは、たとえば、前述の群環構成との随伴関係から従います)。 明示的には、これは、環準同型の集合とRの単位元の集合の間に自然な一対一関係があることを意味します(対照的に、は加法群、つまり可換環のカテゴリからアーベル群のカテゴリへの忘却関手を表します)。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

Rが可換であると仮定する。Rの元rとsは次のように呼ばれる。Rに単位u が存在してr = usとなる場合、 r ~ sと書きます。任意の環において、加法逆元[^c] xと− xのペアは関連しています。これは、任意の環が単位−1 を。たとえば、 6 と −6 はZで関連しています。一般に、~ はR上の同値関係です。

関連性は、乗算を介したR ^×のRへの作用の観点からも説明できます。R の 2 つの要素は、同じR ^×軌道にある場合に関連付けられます。

整域では、与えられた非ゼロ要素の関連集合は、R ^×と同じ濃度を持ちます。

同値関係~は、可換環Rの乗法半群に特化したグリーン半群関係のいずれかとして考えることができます。

• Sユニット
• 環とモジュールの局所化