Dirichlet character

In analytic number theory and related branches of mathematics, a complex-valued arithmetic function ${\displaystyle \chi$ is a Dirichlet character of modulus $m$ (where $m$ is a positive integer) if for all integers $a$ and $b$ :^[1]

1.

\chi (ab)=\chi (a)\chi (b);

that is,

\chi

is completely multiplicative.

2.

\chi (a)=0\iff \gcd(a,m)>1

.

3.

\chi (a+m)=\chi (a)

; that is,

\chi

is periodic with period

m

.

The simplest possible character, called the principal character and usually denoted $\displaystyle \chi _{0}}$ , exists for all moduli:^[2]

\chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}

Dirichlet characters were named after German mathematician Peter Gustav Lejeune Dirichlet, who introduced these functions in his 1837 paper on primes in arithmetic progressions.^[3]^[4] They are a prominent example of the general idea of a character in mathematics.

Notation

$\phi (n)$ is Euler's totient function.^[5]

$\displaystyle \zeta _{n}}$ is a complex primitive n-th root of unity:

\zeta _{n}^{n}=1,

but

\zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.

$(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ is the group of units mod $m$ . It has order $\phi (m).$

${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ is the group of Dirichlet characters mod $m$ .

$p,p_{k},$ etc. are prime numbers.

$(m,n)$ is a standard^[6] abbreviation^[7] for $\gcd(m,n)$

$\chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),$ etc. are Dirichlet characters. (the lowercase Greek letter chi for "character")

There is no standard notation for Dirichlet characters that includes the modulus. In many contexts (such as in the proof of Dirichlet's theorem) the modulus is fixed. In other contexts, such as this article, characters of different moduli appear. Where appropriate this article employs a variation of Conrey labeling (introduced by Brian Conrey and used by the LMFDB).

In this labeling characters for modulus $m$ are denoted $\chi _{m,t}(a)$ where the index $t$ is described in the section the group of characters below. In this labeling, $\chi _{m,\_}(a)$ denotes an unspecified character and $\chi _{m,1}(a)$ denotes the principal character mod $m$ .

Relation to group characters

The word "character" is used several ways in mathematics. In this section it refers to a homomorphism from a group $G$ (written multiplicatively) to the multiplicative group of the field of complex numbers:

\eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.

The set of characters is denoted ${\widehat {G}}.$ If the product of two characters is defined by pointwise multiplication $\eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),$ the identity by the trivial character $\eta _{0}(a)=1$ and the inverse by complex inversion $\eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}$ それから ${\widehat {G}}$ アーベル群になる。^{[ 8 ]}

もし $A$ が有限アーベル群である場合、^{[ 9 ]}同型が存在する $A\cong {\widehat {A}}$ 、直交関係：^{[ 10 ]}

\sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}

そして

\sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}

有限アーベル群の要素 $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ 残基クラスは $[a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}$ どこ $(a,m)=1.$

グループキャラクター ${\displaystyle \rho$ ディリクレ指標に拡張できる ${\displaystyle \chi$ を定義することによって

\chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}

逆に、ディリクレのキャラクターMOD $m$ グループ文字を定義します $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

ダベンポート^{[ 11 ]}の言い換えによれば、ディリクレ指標はアーベル群指標の特殊なケースとみなすことができる。しかし、本稿ではディリクレに倣い、ディリクレ指標を直接的かつ構成的に説明する。これは、ディリクレの研究が群論の発展より数十年も前に行われたという歴史的な理由と、問題の群が単純で興味深い構造を持ち、それを一般的なアーベル群と同じように扱うとそれが不明瞭になるという数学的な理由による。

基本的な事実

4) なぜなら $\gcd(1,m)=1,$ 物件2）はこう言っています $\chi (1)\neq 0$ 両側からキャンセルできます $\chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)$ :

\chi (1)=1.

^{[ 12 ]}

5) 特性3)は以下と同等である

もし

a\equiv b{\pmod {m}}

それから

\chi (a)=\chi (b).

6) 性質1)は、任意の正の整数に対して、 $n$

\chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.

7)オイラーの定理によれば、 $\gcd(a,m)=1$ それから $a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.$ したがって、

\chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.

つまり、ゼロでない値は $\chi (a)$ は $\phi (m)$ 1の-乗根：

\chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}

ある整数に対して $r$ これは $\chi ,\zeta ,$ そして $a$ これは、与えられた法に対して、文字の数が有限であることを意味する。

8) もし $\chi$ そして $\chi '$ これらは同じモジュラスを表す2つの文字なので、それらの積も同じです。 $\chi \chi ',$ 要素ごとの乗算によって定義される:

\chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)

（

\chi \chi '

明らかに1-3を満たしている。^{[ 13 ]}

主人公はアイデンティティである。

\chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}

9) $a^{-1}$ の逆を表す $a$ で $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ 。それから

\chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,

それで

\chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},

これは6)をすべての整数に拡張する。

1の根の複素共役は逆数でもある（詳細はここを参照）。したがって、 $(a,m)=1$

{\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).

（

{\overline {\chi }}

1～3も明らかに満たしている。

したがって、すべての整数に対して $a$

\chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};

言い換えると

\chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}

。

10) 8)で定義された乗算と恒等演算、および9)で定義された反転演算により、与えられた法に対するディリクレ指標の集合が有限アーベル群に変換されます。

登場人物のグループ

グループによって3つの異なるケースがあります $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ 構造が異なるかどうかによって $m$ は 2 のべき乗、奇素数のべき乗、または素数のべき乗の積である。^{[ 14 ]}

奇素数のべき乗

もし $q=p^{k}$ 奇数です $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ 次数が周期的である $\phi (q)$ ; 生成器は原始ルートmodと呼ばれる $q$ [ ¹⁵^] $g_{q}$ 原始ルートであり、 $(a,q)=1$ 関数を定義する $\nu _{q}(a)$ （インデックス $a$ ）による

a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},

0\leq \nu _{q}<\phi (q).

のために $(ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}$ かつその場合に限り $\nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).$ 以来

\chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},

\chi

は、その値によって決定されます。

g_{q}.

させて $\omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}$ 原始的である $\phi (q)$ 1の-乗根。上記の性質7)から、可能な値は $\chi (g_{q})$ は $\omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.$ これらの異なる価値観は、 $\phi (q)$ ディリクレのキャラクターMOD $q.$ のために $(r,q)=1$ 定義する $\chi _{q,r}(a)$ として

\chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}

それから $(rs,q)=1$ そしてすべて $a$ そして $b$

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),

示している

\chi _{q,r}

キャラクターであり

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),

これにより明示的な同型性が得られる

{\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.

例： m = 3、5、7、9

2は原始根mod 3である。 $\phi (3)=2$ ）

2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},

そのため、 $\nu _{3}$ は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}

。

文字の非ゼロ値は mod 3 で表すと次のようになります。

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}

2は原始ルートmod 5です。 $\phi (5)=4$ ）

2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},

そのため、 $\nu _{5}$ は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}

。

文字の非ゼロ値は mod 5 で表すと次のようになります。

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}

3は7を法とする原始ルートです。 $\phi (7)=6$ ）

3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},

そのため、 $\nu _{7}$ は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}

。

文字の mod 7 の非ゼロ値は ( $\omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1$ ）

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}

。

2は原始根mod 9である。 $\phi (9)=6$ ）

2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},

そのため、 $\nu _{9}$ は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}

。

文字の mod 9 の非ゼロ値は ( $\omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1$ ）

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}

。

2のべき乗

$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }$ は、要素が1つだけの自明な群です。 $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }$ 位数2の巡回数である。8、16、および2のそれ以上のべき乗には原始根はなく、5のべき乗は単位数である。 $\equiv 1{\pmod {4}}$ そしてそれらの負の値は単位です $\equiv 3{\pmod {4}}.$ ^{[ 16 ]} 例えば

5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}

5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}

5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.

させて $q=2^{k},\;\;k\geq 3$ ; それから $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ は、位数 2 の巡回群(−1 によって生成される) と位数の巡回群の直積である。 ${\frac {\phi (q)}{2}}$ （5で生成）。奇数の場合 $a$ 関数を定義する $\nu _{0}$ そして $\nu _{q}$ による

a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},

0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.

奇数の場合 $a$ そして $b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}$ かつその場合に限り $\nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)$ そして $\nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).$ 奇数の場合 $a$ 価値 $\chi (a)$ の値によって決定されます $\chi (-1)$ そして $\chi (5).$

させて $\omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}$ 原始的である ${\frac {\phi (q)}{2}}$ 1のn乗根。 $\chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})$ は $\pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.$ これらの異なる価値観は、 $\phi (q)$ ディリクレのキャラクターMOD $q.$ 奇数の場合 $r$ 定義する $\chi _{q,r}(a)$ による

\chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}

奇数の場合は $r$ そして $s$ そしてすべて $a$ そして $b$

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)

示している

\chi _{q,r}

キャラクターであり

\chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)

示している

{\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.

例： m = 2、4、8、16

唯一のキャラクターmod 2は主人公です $\chi _{2,1}$ 。

−1 は 4 を法とする原始ルートです ( $\phi (4)=2$ ）

{\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}

文字の非ゼロ値は mod 4 で表すと次のようになります。

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}

−1 は 5 であり、単位 mod 8 を生成します ( $\phi (8)=4$ ）

{\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}

。

文字の非ゼロ値は mod 8 で表すと次のようになります。

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}

−1 と 5 は mod 16 の単位を生成します ( $\phi (16)=8$ ）

{\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}

。

文字の非ゼロ値は mod 16 で次のようになります。

{\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}

。

主要勢力の産物

させて $m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}$ どこ $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$ の因数分解である $m$ 主要勢力へ。ユニット群の改造 $m$ は群の直積に同型である。 $q_{i}$ : ^{[ 17 ]}

(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.

これは、1) と $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ そして $k$ -タプル $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})$ どこ $a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ 2) 乗算 mod $m$ 座標ごとの乗算に対応します $k$ -タプル:

ab\equiv c{\pmod {m}}

対応する

(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})

どこ

c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.

中国剰余定理（CRT）は、 $a_{i}$ 単に $a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.$

サブグループが存在する $G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ そのため^{[ 18 ]}

G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }

そして

G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}

それから $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}$ そしてすべての $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ に対応する $k$ -タプル $(a_{1},a_{2},...a_{k})$ どこ $a_{i}\in G_{i}$ そして $a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.$ 毎 $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ 一意に因数分解できる $a=a_{1}a_{2}...a_{k}.$ ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

もし $\chi _{m,\_}$ キャラクターMODです $m,$ サブグループについて $G_{i}$ それは何かと同一でなければならない $\chi _{q_{i},\_}$ モジュール $q_{i}$ それから

\chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{q_{2},\_}(a_{2})...,

すべてのキャラクターMODを示しています $m$ キャラクターの改造の製品です $q_{i}$ 。

のために $(t,m)=1$ 定義^{[ 21 ]}

\chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...

それから $(rs,m)=1$ そしてすべて $a$ そして $b$ ^{[ 22 ]}

\chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),

示している

\chi _{m,r}

キャラクターであり

\chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),

同型性を示す

{\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.

例：m = 15、24、40

$(\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.$

文字の因数分解 mod 15 は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}

文字の非ゼロ値は mod 15 で次のようになります。

{\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}

。

$(\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.$ 文字の mod 24 の因数分解は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}

文字の非ゼロ値は mod 24 で次のようになります。

{\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}

。

$(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.$ 文字の因数分解 mod 40 は

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}

文字の非ゼロ値は mod 40 で次のようになります。

{\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}

。

まとめ

させて $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots$ 、 $p_{1}<p_{2}<\dots$ の因数分解である $m$ そして仮定する $(rs,m)=1.$

がある $\phi (m)$ ディリクレのキャラクターMOD $m.$ これらは次のように表されます。 $\chi _{m,r},$ どこ $\chi _{m,r}=\chi _{m,s}$ と同等 $r\equiv s{\pmod {m}}.$ アイデンティティ $\chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;$ 同型写像 ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$ ^{[ 23 ]}

各キャラクターMOD $m$ は、素数のべき乗を割った値の積として一意に因数分解されます。 $m$ :

\chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...

もし $m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1$ 製品 $\chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}$ キャラクター $\chi _{m,t}$ どこ $t$ は $t\equiv r{\pmod {m_{1}}}$ そして $t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.$

また、^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} $\chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)$

直交性

2つの直交関係は^{[ 26 ]}

\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}

そして

\sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}

これらの関係は対称形式で記述できる。

\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}

そして

\sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}

最初の関係は簡単に証明できます。 $\chi =\chi _{0}$ がある $\phi (m)$ ゼロでない項はすべて 1 に等しい。 $\chi \neq \chi _{0}$ ^{[ 27 ]} いくつか $a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.$ それから

\chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),

^{[ 28 ]} 意味する

(\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.

最初の因数で割ると

\sum _{a}\chi (a)=0,

証明終了。

\chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)

のために

(rs,m)=1

これは、それらの関係が互いに同等であることを示している。

2番目の関係も同様の方法で直接証明できますが、補題^{[ 29 ]が必要です。}

与えられた

a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,

があります

\chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.

2番目の関係には重要な帰結がある。 $(a,m)=1,$ 関数を定義する

f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).

それから

f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}

それは $f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}$ 残余クラスの指示関数 $[a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}$ これはディリクレの定理の証明の基本である。^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

文字の分類

導体; 原始特性と誘導特性

プライムパワーを修正するキャラクターは、それより大きなパワーを修正するキャラクターでもあります。たとえば、mod 16 ^{[ 32 ]}

{\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}

$\chi _{16,3}$ 周期は16ですが、 $\chi _{16,9}$ 周期は8で、 $\chi _{16,15}$ 周期4があります： $\chi _{16,9}=\chi _{8,5}$ そして $\chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.$

キャラクター $\chi$ 弾性率の $q$ 準周期を持つ $d$ もし $\chi (m)=\chi (n)$ すべての人々のために $m$ 、 $n$ 互いに素な $q$ 満足 $m\equiv n$ モジュール $d$ [ ^{33 ]}例えば^、 $\chi _{2,1}$ 、モジュラスの唯一のディリクレ指標 $2$ 準周期は $1$ しかし、 $1$ （それは周期を持っています $2$ ただし）。 $\chi$ 準周期的であり、導体である $\chi$ ^{[ 34 ]}例えば、 $\chi _{2,1}$ 指揮者を持つ $1$ 。

指揮者 $\chi _{16,3}$ は16歳で、 $\chi _{16,9}$ は 8 であり、 $\chi _{16,15}$ そして $\chi _{8,7}$ は4です。モジュラスとコンダクタが等しい場合、文字は原始的であり、そうでない場合は非原始的です。非原始的な文字は、最小のモジュラスの文字によって誘導されます。 $\chi _{16,9}$ から誘発される $\chi _{8,5}$ そして $\chi _{16,15}$ そして $\chi _{8,7}$ から誘発される $\chi _{4,3}$ 。

素数の積を法とする数値でも同様の現象が起こり得る。その非ゼロ値は、より短い周期で周期的になる可能性がある。

例えば、mod 15、

{\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}

。

非ゼロ値 $\chi _{15,8}$ 周期15を持つが、 $\chi _{15,11}$ 周期3と、 $\chi _{15,13}$ 周期は5です。これは、3と5を法とする文字と並べて比較すると分かりやすいでしょう。

{\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}

。

キャラクターMODの場合 $m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1$ は次のように定義される。

\chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}

または同等に

\chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},

その非ゼロ値は文字modによって決定されます $q$ そして期間がある $q$ 。

非ゼロ値の最小周期が文字の導体です。たとえば、 $\chi _{15,8}$ は15歳で、 $\chi _{15,11}$ は 3 であり、 $\chi _{15,13}$ 5です。

素数べき乗の場合と同様に、導体が法と等しい場合、特性は原始的であり、そうでない場合は非原始的である。非原始的である場合、それはより小さい法を持つ特性から誘導される。たとえば、 $\chi _{15,11}$ から誘発される $\chi _{3,2}$ そして $\chi _{15,13}$ から誘発される $\chi _{5,3}$

主人公は原始的ではない。^{[ 35 ]}

キャラクター $\chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...$ が原始的であるのは、各因子が原始的である場合に限る。 ^{[ 36 ]}

プリミティブ文字は、L関数^{[ 37 ]}やモジュラー形式の理論において、しばしば式を簡略化（または可能にする）します。

パリティ

$\chi (a)$ たとえ $\chi (-1)=1$ そしてそれは奇妙だ $\chi (-1)=-1.$

この区別は、ディリクレL関数の関数方程式に現れる。

注文

文字の順序とは、グループ内の要素としての順序のことである。 ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ つまり、最小の正の整数 $n$ そのため $\chi ^{n}=\chi _{0}.$ 同型性のため ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ の順序 $\chi _{m,r}$ の順序と同じです $r$ で $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$ 主指標は位数1を持ち、他の実指標は位数2を持ち、虚指標は位数3以上を持つ。ラグランジュの定理によれば、指標の位数は、他の指標の位数を割り切る。 ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ それは $\phi (m)$

実在の人物

$\chi (a)$ すべての値が実数である場合、実数または二次関数である（それらは $0,\;\pm 1$ そうでなければ、それは複雑または想像上のものとなる。

$\chi$ が実在するのは、 $\chi ^{2}=\chi _{0}$ ; $\chi _{m,k}$ が実在するのは、 $k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}$ ; 特に、 $\chi _{m,-1}$ 実在し、非主要である。^{[ 38 ]}

ディリクレの元の証明は $L(1,\chi )\neq 0$ （これは素法に対してのみ有効）は、 $\chi$ 実在か否か。彼の後の証明は、すべての法に対して有効であり、彼の類数公式に基づいていた。^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

実際の文字はクロネッカー記号です。^{[ 41 ]}例えば、主文字は次のように書くことができます^{[ 42 ]} $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$ 。

例に登場する実在の人物は以下のとおりです。

主要

もし $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...$ 主人公は^{[ 43 ]} $\chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).$

$\chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)$ $\chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)$ $\chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)$ $\chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)$

原生的

法が基本判別式の絶対値である場合、実数の原始指標が存在する（法が8の倍数の場合は2つ存在する）。そうでない場合、原始指標が存在する場合は、それらは虚数である^{[ 36 ]}。^{[ 44 ]}

$\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)$ $\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$ $\chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)$ $\chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)$ $\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)$

原始的ではない

$\chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$ $\chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)$ $\chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)$ $\chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)$ $\chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$

$\chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)$ $\chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)$

$\chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)$ $\chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)$

アプリケーション

L関数

特性に対するディリクレL級数 $\chi$ は

L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.

このシリーズは絶対収束する ${\mathfrak {R}}(s)>1$ 特性が主特性でない場合、さらに収束する（ただし絶対収束ではない）のは、 ${\textstyle {\mathfrak {R}}(s)>0}$ そして、それは複素平面全体で定義され微分可能な整関数に解析的に接続できます。指標が主指標である場合、その級数は、 ${\textstyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$ この場合、単純な極を持つ有理型関数に解析的に接続することができる。 ${\textstyle s=1}$ 。

ディリクレは $L$ 1837年の論文で、文字とともに機能する。

モジュール式の形状と機能

ディリクレ指標は、モジュラー形式と関数の理論のいくつかの箇所に現れる。典型的な例は^{[ 45 ]である。}

させて $\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}$ そして $\chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}$ 原始的である。

もし

f(z)=\sum a_{n}z^{n}\in M_{k}(M,\chi )

^{[ 46 ]}

定義する

f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}

[ ⁴⁷^]

それから

f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})

。もし

f

は尖点形式なので、

f_{\chi _{1}}.

別の例については、ディリクレ指標のシータ級数を参照してください。

ガウス和

ディリクレ指標のガウス和（法 $N$ ）は

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.

これはディリクレL関数の関数方程式に現れる。

ヤコビ和

もし $\chi$ そして $\psi$ ディリクレの文字は素数をmodしますか？ $p$ それらのヤコビ和は

J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).

ヤコビ和はガウス和の積に因数分解できる。

クルースターマンのサム

もし $\chi$ ディリクレのキャラクターMODです $q$ そして $\zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}$ クルースターマンの合計 $K(a,b,\chi )$ ^[⁴⁸^]と定義される

K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.

もし $b=0$ これはガウス和です。

十分な条件

関数がディリクレ指標であることを示すために、定義特性1)～3)を確立する必要はありません。

デーブンポートの著書より

もし $\mathrm {X$ となるように

1)

\mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),

2)

\mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)

、

3) もし

\gcd(a,m)>1

それから

\mathrm {X} (a)=0

、しかし

4)

\mathrm {X} (a)

常に0とは限らない、

それから $\mathrm {X} (a)$ は $\phi (m)$ キャラクターMOD $m$ ^{[ 49 ]}

サルコジの病状

ディリクレ指標は完全乗法関数である。 $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ 線形漸化式を満たす場合：つまり、 $a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0$

すべての正の整数に対して $n$ 、どこ $a_{1},\ldots ,a_{k}$ 全てゼロではなく、 $b_{1},\ldots ,b_{k}$ 異なる場合 $f$ ディリクレ指標である。^{[ 50 ]}

チュダコフの状態

ディリクレ指標は完全乗法関数である。 $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ 以下の３つの特性を満たす：a) $f$ 有限個の値しか取らない。b) $f$ c) 有限個の素数でのみ消滅する。 $\alpha \in \mathbb {C}$ 残りの

$\left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|$

は一様に有界であり、 $x\rightarrow \infty$ ^{このディリクレ指標の同等の定義は、1956年にチュダコフ[ 51 ]}によって予想され、2017年にクルーマンとマンゲレルによって証明された^{[ 52 ] 。}

注目すべき特殊モジュール

8は、ディリクレ指標が複数の生成元を必要とする最小の法である。^{[ 53 ]}
13、ディリクレ指標に数値が含まれる最小のモジュラス $\alpha$ 素数pが存在しない $\mathbb {Z}$ これらはまだ素数です $\mathbb {Z} [\alpha ]$ [ ⁵⁴^]^[⁵⁵^]
19は、ディリクレ指標に実部と虚部が構成可能数ではない数が含まれる最小のモジュラスである。^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}
24は、ディリクレ指標がすべて実数である最大の法である（数nのディリクレ指標がすべて実数であるのは、 nが24の約数である場合に限る）。 ^{[ 58 ]}
47、ディリクレ指標に数値が含まれる最小のモジュラス $\alpha$ クラス番号 $h^{-}$ 円分場の $\mathbb {Q} (\alpha )$ 1より大きい。^{[ 59 ]}
120は、ディリクレ指標が3つ以上の生成子を必要とする最小の法である。^{[ 53 ]}
149、ディリクレ指標に数値が含まれる最小のモジュラス $\alpha$ クラスの全人数が $h^{-}\cdot h^{+}$ 円分場の $\mathbb {Q} (\alpha )$ は、最小の数と互いに素ではない。 $\alpha ^{n}=1$ （不規則な素数に関連する）
240は、ディリクレ指標がすべてガウス整数である最大の法である（数nのディリクレ指標がすべてガウス整数であるのは、 nが240の約数である場合に限る）。 ^{[ 58 ]}
383、ディリクレ指標に数値が含まれる最小のモジュラス $\alpha$ クラス番号 $h^{+}$ 円分場の $\mathbb {Q} (\alpha )$ 1より大きい。
504は、ディリクレ指標がすべてアイゼンシュタイン整数である最大の法である（数nのディリクレ指標がすべてアイゼンシュタイン整数であるのは、 nが504の約数である場合に限る）。^{[ 58 ]}
840は、ディリクレ指標が4つ以上の生成子を必要とする最小の法である。^{[ 53 ]}

注記

↑これは標準的な定義です。例：Davenport p.27、Landau p.109、Ireland and Rosen p.253
↑法 1 の特殊なケースに注意してください。法 1 の一意の文字は定数 1 です。他のすべての文字は 0 で 0 になります。
↑ダベンポート p.1
↑英語訳は外部リンクにあります
↑ Weisstein, Eric W. "Totient Function" . mathworld.wolfram.com . 2025-02-09に取得.
↑ダベンポート、ランダウ、アイルランド、ローゼンで使用
↑ $(rs,m)=1$ と同等 $\gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1$
↑乗法文字を参照
↑アイルランドとローゼン、253-254ページ
↑文字グループ#文字の直交性を参照
↑ダベンポート p.27
↑これらの性質は、この主題に関するすべての入門書で導出されています。例えば、Davenport p. 27、Landau p. 109。
↑一般的に、キャラクターMODの製品は $m$ キャラクターMOD $n$ キャラクターMODです $\operatorname {lcm} (m,n)$
↑修正されたコンリーのラベル付けの使用を除き、このセクションはダベンポートの1～3ページ、27～30ページに準拠しています。
↑原始的なルートモッドがあります $p$ これは原始的なルートモッドです $p^{2}$ そしてすべての高位の力 $p$ 例えば、ランダウ著、106ページを参照。
↑ランダウ著、107-108ページ
↑詳細はユニット群を参照してください
↑構築するために $G_{i},$ 各 $a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ CRTを使用して見つける $a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ どこ
$a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}$
↑想定する $a$ 対応する $(a_{1},a_{2},...)$ 構造上 $a_{1}$ 対応する $(a_{1},1,1,...)$ 、 $a_{2}$ に $(1,a_{2},1,...)$ など、座標ごとの積は $(a_{1},a_{2},...).$
↑例えば $m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.$ それから $G_{1}=\{1,11,21,31\}$ そして $G_{2}=\{1,9,17,33\}.$ の要素の因数分解 $(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }$ は
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}$
↑コンリーラベルを参照してください。
↑これらの公式は各要素に対して成り立つからです。
↑これはすべての有限アーベル群に当てはまります。 $A\cong {\hat {A}}$ アイルランドとローゼンの著書、253～254ページを参照。
↑なぜなら、 $\chi$ mod 素数のべき乗は対称です $r$ そして $s$ そして、積の公式はこの対称性を維持する。ダベンポート著、29ページを参照。
↑これは、ゼロ以外の値の表のn番目の列とn番目の行が同じであると言うことと同じです。
↑上記の「グループ文字との関係」を参照してください。
↑定義により $\chi _{0}$
↑なぜなら、群のすべての要素に定数を掛けても、単に要素の順序が入れ替わるだけだからです。群（数学）を参照してください。
↑ダベンポート p. 30 (言い換え) [2 番目の関係] を証明するには、構成で使用したアイデア [この記事やランダウ pp. 109-114 のように] を使用するか、アーベル群の基底定理 [アイルランド & ローゼン pp. 253-254 のように] に訴える必要があります。
↑ダベンポート著、第1章、第4章。ランダウ著、114ページ。
↑注意して $g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C}$ 任意の関数 $g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)$ ;有限群のフーリエ変換#有限アーベル群のフーリエ変換を参照
↑このセクションは、Davenport の 35-36 ページに続くものです。
↑ Platt, Dave. "Dirichlet characters Def. 11.10" (PDF) . 2024年4月5日取得。
↑ 「ディリクレ特性の指揮者（レビュー済み）」。LMFDB 。 2024年4月5日取得。
↑ダベンポートはそれを原始的でも非原始的でもないと分類している。LMFDBはそれを以下から誘導する。 $\chi _{1,1}.$
1 2注意すべき点 $m$ 奇数の２倍です。 $m=2r$ 、全キャラクターMOD $m$ 原始的である理由は $\chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}$
↑例えば、関数方程式 $L(s,\chi )$ プリミティブにのみ有効です $\chi$ ダベンポート著、85ページを参照。
↑実際、素数の法則では $p\;\;\chi _{p,-1}$ はルジャンドル記号です。 $\chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;$ 証明の概略図： $\nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)$ aが二次剰余（非剰余）である場合、偶数（奇数）となる。
↑ダベンポート、第 1 章、第 4 章。
↑アイルランドとローゼンの証明は、すべての法則に有効であり、これら2つのケースも含まれている。259ページ以降
↑ダベンポート p.40
↑表記法 $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$ より短い書き方 $\chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)$
↑素数の積は、次の場合にゼロになることを保証します $\gcd(m,\bullet )>1$ ; 正方形によって、その唯一の非ゼロ値は 1 になります。
↑ダベンポート著、38-40ページ
↑コブリッツ、命題17b、127ページ
↑ $f(z)\in M_{k}(M,\chi )$ 1) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)$ どこ $ad-bc=1$ そして $a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.$ 2) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)$ どこ $ad-bc=1$ そして $c\equiv 0{\pmod {M}}.$ コブリッツ著、第3章を参照。
↑ひねり $f$ による $\chi _{1}$
↑ Kloosterman 合計の LMFDB 定義
↑ダベンポート p.30
↑サルコジ
↑チュダコフ
↑クルーマン
1 2 3 Sloane, N. J. A. (編). "数列A102476 ( 1 の平方根の2 ^{n 個}を含む最小法)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
↑ Sloane, N. J. A. (編). "数列A396479 (λ(k) が原始根を持たない数 k、λ は縮約トーシェント関数)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
↑ Sloane, N. J. A. (編). "数列A396481 (p-1 が原始根を持たない素数 p)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
↑ Sloane, N. J. A. (編). "数列A396554 (φ(λ(k)) が 2 のべき乗でない数 k、λ は縮約トーシェント関数)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
↑ Sloane, N. J. A. (編). "数列A396555 (φ(p-1) が 2 のべき乗でない素数 p)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
1 2 3 Sloane, N. J. A. (編). "数列A143407 (縮約トーシェント関数が 1, 2, 4, 6, ... を取る最大の数 k)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
↑ Sloane, N. J. A. (編). "数列A396477 (Q(ζ_{λ(k)}) のクラス番号が 1 より大きい数 k 、λ は縮約トーシェント関数)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

参考文献

Chudakov, NG「数半群の指標の理論」J. Indian Math. Soc . 20 : 11–15 .
ダベンポート、ハロルド（1967）。乗法数論。高等数学講義。第1巻。シカゴ：マーカム。Zbl 0159.06303。
アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）『現代数論への古典的入門（第2版）』ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97329-X
Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). "乗法関数の剛性定理". Math. Ann . 372 (1): 651–697 . arXiv : 1707.07817 . Bibcode : 2017arXiv170707817K . doi : 10.1007/s00208-018-1724-6 . S2CID 119597384 .
コブリッツ、ニール（1993）。楕円曲線とモジュラー形式入門。大学院数学テキスト。第97巻（第2版改訂版）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-97966-2。
ランドー、エドモンド（1966）、『初等整数論』、ニューヨーク：チェルシー
サルコジ、アンドラス。「線形漸化式を満たす乗法算術関数について」。Studia Sci. Math. Hung . 13 ( 1–2 ): 79–104。

外部リンク

ディリクレが1837年に発表した、等差数列における素数に関する論文の英訳
LMFDBには、モジュラスが10,000までの30,397,486個のディリクレ指標とそのL関数がリストされています。

[1] これは標準的な定義です。例：Davenport p.27、Landau p.109、Ireland and Rosen p.253

[2] 法 1 の特殊なケースに注意してください。法 1 の一意の文字は定数 1 です。他のすべての文字は 0 で 0 になります。

[3] ダベンポート p.1

[4] 英語訳は外部リンクにあります

[5] Weisstein, Eric W. "Totient Function" . mathworld.wolfram.com . 2025-02-09に取得.

[6] ダベンポート、ランダウ、アイルランド、ローゼンで使用

[7] $(rs,m)=1$ と同等 $\gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1$

[8] 乗法文字を参照

[IR-9] アイルランドとローゼン、253-254ページ

[10] 文字グループ#文字の直交性を参照

[11] ダベンポート p.27

[12] これらの性質は、この主題に関するすべての入門書で導出されています。例えば、Davenport p. 27、Landau p. 109。

[13] 一般的に、キャラクターMODの製品は $m$ キャラクターMOD $n$ キャラクターMODです $\operatorname {lcm} (m,n)$

[14] 修正されたコンリーのラベル付けの使用を除き、このセクションはダベンポートの1～3ページ、27～30ページに準拠しています。

[15] 原始的なルートモッドがあります $p$ これは原始的なルートモッドです $p^{2}$ そしてすべての高位の力 $p$ 例えば、ランダウ著、106ページを参照。

[16] ランダウ著、107-108ページ

[17] 詳細はユニット群を参照してください

[18] 構築するために $G_{i},$ 各 $a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ CRTを使用して見つける $a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ どこ
$a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}$

[19] 想定する $a$ 対応する $(a_{1},a_{2},...)$ 構造上 $a_{1}$ 対応する $(a_{1},1,1,...)$ 、 $a_{2}$ に $(1,a_{2},1,...)$ など、座標ごとの積は $(a_{1},a_{2},...).$

[20] 例えば $m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.$ それから $G_{1}=\{1,11,21,31\}$ そして $G_{2}=\{1,9,17,33\}.$ の要素の因数分解 $(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }$ は
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}$

[21] コンリーラベルを参照してください。

[22] これらの公式は各要素に対して成り立つからです。

[23] これはすべての有限アーベル群に当てはまります。 $A\cong {\hat {A}}$ アイルランドとローゼンの著書、253～254ページを参照。

[24] なぜなら、 $\chi$ mod 素数のべき乗は対称です $r$ そして $s$ そして、積の公式はこの対称性を維持する。ダベンポート著、29ページを参照。

[25] これは、ゼロ以外の値の表のn番目の列とn番目の行が同じであると言うことと同じです。

[26] 上記の「グループ文字との関係」を参照してください。

[27] 定義により $\chi _{0}$

[permute-28] なぜなら、群のすべての要素に定数を掛けても、単に要素の順序が入れ替わるだけだからです。群（数学）を参照してください。

[29] ダベンポート p. 30 (言い換え) [2 番目の関係] を証明するには、構成で使用したアイデア [この記事やランダウ pp. 109-114 のように] を使用するか、アーベル群の基底定理 [アイルランド & ローゼン pp. 253-254 のように] に訴える必要があります。

[30] ダベンポート著、第1章、第4章。ランダウ著、114ページ。

[31] 注意して $g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C}$ 任意の関数 $g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)$ ;有限群のフーリエ変換#有限アーベル群のフーリエ変換を参照

[32] このセクションは、Davenport の 35-36 ページに続くものです。

[33] Platt, Dave. "Dirichlet characters Def. 11.10" (PDF) . 2024年4月5日取得。

[34] 「ディリクレ特性の指揮者（レビュー済み）」。LMFDB 。 2024年4月5日取得。

[35] ダベンポートはそれを原始的でも非原始的でもないと分類している。LMFDBはそれを以下から誘導する。 $\chi _{1,1}.$

[twop-36] 1 2注意すべき点 $m$ 奇数の２倍です。 $m=2r$ 、全キャラクターMOD $m$ 原始的である理由は $\chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}$

[37] 例えば、関数方程式 $L(s,\chi )$ プリミティブにのみ有効です $\chi$ ダベンポート著、85ページを参照。

[38] 実際、素数の法則では $p\;\;\chi _{p,-1}$ はルジャンドル記号です。 $\chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;$ 証明の概略図： $\nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)$ aが二次剰余（非剰余）である場合、偶数（奇数）となる。

[39] ダベンポート、第 1 章、第 4 章。

[40] アイルランドとローゼンの証明は、すべての法則に有効であり、これら2つのケースも含まれている。259ページ以降

[41] ダベンポート p.40

[42] 表記法 $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$ より短い書き方 $\chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)$

[43] 素数の積は、次の場合にゼロになることを保証します $\gcd(m,\bullet )>1$ ; 正方形によって、その唯一の非ゼロ値は 1 になります。

[44] ダベンポート著、38-40ページ

[45] コブリッツ、命題17b、127ページ

[46] $f(z)\in M_{k}(M,\chi )$ 1) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)$ どこ $ad-bc=1$ そして $a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.$ 2) $f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)$ どこ $ad-bc=1$ そして $c\equiv 0{\pmod {M}}.$ コブリッツ著、第3章を参照。

[47] ひねり $f$ による $\chi _{1}$

[48] Kloosterman 合計の LMFDB 定義

[49] ダベンポート p.30

[50] サルコジ

[51] チュダコフ

[52] クルーマン

[A102476-53] 1 2 3 Sloane, N. J. A. (編). "数列A102476 ( 1 の平方根の2 ^{n 個}を含む最小法)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[54] Sloane, N. J. A. (編). "数列A396479 (λ(k) が原始根を持たない数 k、λ は縮約トーシェント関数)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[55] Sloane, N. J. A. (編). "数列A396481 (p-1 が原始根を持たない素数 p)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[56] Sloane, N. J. A. (編). "数列A396554 (φ(λ(k)) が 2 のべき乗でない数 k、λ は縮約トーシェント関数)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[57] Sloane, N. J. A. (編). "数列A396555 (φ(p-1) が 2 のべき乗でない素数 p)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[A143407-58] 1 2 3 Sloane, N. J. A. (編). "数列A143407 (縮約トーシェント関数が 1, 2, 4, 6, ... を取る最大の数 k)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[59] Sloane, N. J. A. (編). "数列A396477 (Q(ζ_{λ(k)}) のクラス番号が 1 より大きい数 k 、λ は縮約トーシェント関数)" .オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

15

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]が必要です。

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]である。

[ 46 ]

47

[

[ 49 ]

[ 50 ]

このディリクレ指標の同等の定義は、1956年にチュダコフ[ 51 ]

[ 52 ] 。

[ 53 ]

54

[

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

Notation

Relation to group characters

基本的な事実

登場人物のグループ

奇素数のべき乗

例： m = 3、5、7、9

2のべき乗

例： m = 2、4、8、16

主要勢力の産物

例：m = 15、24、40

まとめ

直交性

文字の分類

導体; 原始特性と誘導特性

パリティ

注文

実在の人物

主要

原生的

原始的ではない

アプリケーション

L関数

モジュール式の形状と機能

ガウス和

ヤコビ和

クルースターマンのサム

十分な条件

デーブンポートの著書より

サルコジの病状

チュダコフの状態

注目すべき特殊モジュール

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

analytic number theory

arithmetic function

completely multiplicative

Peter Gustav Lejeune Dirichlet