算術双曲型3次元多様体

数学、より正確には群論と双曲幾何学において、算術クライン群は、四元数代数の順序を使用して構築されたクライン群の特別なクラスです。これらは算術群の特別な例です。算術双曲三次元多様体は、双曲空間を算術クライン群で 割った商です。 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

体上の四元数代数は、4 次元の中心単純代数です。四元数代数は、およびとなる基底を持ちます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1,i,j,ij}$${\displaystyle i^{2},j^{2}\in F^{\times }}$${\displaystyle ij=-ji}$

四元数代数は、 -代数として行列代数に同型である場合、上で分割されていると言われます。代数的に閉じた体上の四元数代数は常に分割されています。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M_{2}(F)}$

が体へのの埋め込みである場合、から へのスカラーを拡張することによって得られる代数を で表します。ここで、を介してをのサブフィールドと見なします。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma}$

の部分群は、次の構成によって得られる場合、四元数代数から導出されるといいます。 が、その像が に含まれない（一方が他方と共役である）ちょうど 2 つの埋め込みを持つ数体とします。 が、任意の埋め込みに対して代数がハミルトン四元数と同型となるような上の四元数代数であるとします。次に、における順序が必要です。が、約されたノルム 1 のの元の群であり、を介して におけるその像であるとします。次に、のにおける像として得られるクライン群を考えます。 ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \tau :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \phi ({\mathcal {O}}^{1})}$

これらの群に関する主な事実は、それらが離散部分群であり、上のハール測度に対して有限の共体積を持つということです。さらに、上記の構成により、 代数が上で分割されない場合に限り、ココンパクト部分群が得られます。離散性は、 が複素埋め込みでのみ分割されるという事実から、むしろ直接的に導き出されます。共体積の有限性は証明するのがより困難です。^[1]${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$

算術クライン群は、四元数代数から導かれる群と通約可能な任意の部分群である。この定義から、算術クライン群は離散的であり、有限の共体積を持つことが直ちにわかる（つまり、それらは内の格子である）。 ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

例として、 を虚数二次体、をの整数環(たとえば および ) とします。このようにして得られる群はビアンキ群です。これらはココンパクトではなく、ビアンキ群の共役と通約可能でない算術クライン群はココンパクトです。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle A=M_{2}(F)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(O_{F})}$${\displaystyle O_{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F=\mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle O_{F}=\mathbb {Z} [i]}$

が行列代数と同型でない虚数二次数体上の任意の四元数代数である場合、 の位数の単位群はココンパクトです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$

クライン群の不変トレース体（または、基本群のモノドロミー像を介した双曲多様体の不変トレース体）は、その元の平方のトレースによって生成される体です。数体上の四元数代数から導出される多様体の基本群と通約可能な算術多様体の場合、不変トレース体は に等しくなります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

実際、基本群の元の痕跡を通じて算術多様体を特徴付けることができます。クライン群は、次の 3 つの条件が満たされる場合にのみ算術群になります。

• その不変トレース体は、ちょうど 1 つの複素数位を持つ数体です。${\displaystyle F}$
• その要素のトレースは代数的整数です。
• 群内の任意のおよび任意の埋め込みに対して、 が成り立ちます。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t=\mathrm {トレース} (\gamma ^{2})}$${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\sigma (t)|\leq 2}$

数体上の四元数代数の最大順序から導かれる算術三次元多様体の体積に対して、次の式が成り立ちます。^[2] ここで、 はそれぞれ の判別式、はのデデキントゼータ関数、はのデデキントゼータ関数です。 ${\displaystyle M=\Gamma _{\mathcal {O}}\backslash \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \mathrm {vol} (M)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{2^{2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}|D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).}$$${\displaystyle D_{A},D_{F}}$${\displaystyle A,F}$${\displaystyle \zeta _{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$

前の段落の体積公式の帰結は、

体積が未満の算術双曲型 3 次元多様体は最大で有限個存在します。${\displaystyle v>0}$${\displaystyle v}$

これは、双曲的デーン手術を使用して、有限の体積を持つ非等長双曲的 3 次元多様体を無限に生成できるという事実とは対照的です。特に、系として、尖頭双曲多様体が与えられた場合、その上で最大限有限回のデーン手術によって算術双曲多様体を生成できます。

Weeks多様体は体積が最も小さい双曲型三次元多様体であり^[3]、Meyerhoff多様体は次に体積が小さい双曲型三次元多様体である。

8の字結び目の3次元球面における補集合は算術双曲型3次元多様体^[4]であり、すべての尖端双曲型3次元多様体の中で最小の体積を達成する。^[5]

数体上の保型形式に対するラマヌジャン予想は、（四元数代数から導出される）算術三次元多様体の任意の合同被覆に対して、ラプラス作用素のスペクトルが に含まれることを意味します。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$${\displaystyle [1,+\infty )}$

サーストンの予想の多く（例えば、事実上ハーケン予想）は、現在ではイアン・アゴル^[6]の研究によってすべて正しいことが分かっているが、最初は特定の方法を用いて算術多様体に対して検証された。^[7]算術的なケースによっては、事実上ハーケン予想は一般的な手段で知られているが、その解が純粋に算術的な手段（例えば、正の第1ベッティ数を持つ合同部分群を見つけることによって）で到達できるかどうかは分かっていない。

算術多様体は、第一ベッティ数がゼロになる大きな単射半径を持つ多様体の例を示すために使用できる。^{[8] [9]}

ウィリアム・サーストンは、算術多様体は「しばしば特別な美しさを持っているように見える」と述べています。^[10]これは、これらの多様体の位相と幾何学の関係が一般よりもはるかに予測可能であることを示す結果によって実証できます。たとえば、

• 種数gが与えられたとき、種数gの繊維を持つ円周上に繊維を形成する算術（合同）双曲型3次元多様体はせいぜい有限個存在する。^[11]
• 与えられたヒーガード種数を持つ算術（合同）双曲型3次元多様体はせいぜい有限個存在する。^[12]

• マクラクラン、コリン; リード、アラン W. (2003)、「双曲型 3 次元多様体の算術」、Graduate Texts in Mathematics、第 219 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98386-8、MR  1937957