ディリクレの単位定理

数学において、ディリクレの単位定理は、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレによる代数的整数論の基本的な結果である。^{[ 1 ]}これは、数体Kの代数的整数環O _Kにおける単位群のランクを決定する。レギュレータは、単位がどれだけ「密」であるかを決定する正の実数である。

この記述は、単位群が有限生成であり、ランク（乗法的に独立な要素の最大数）が等しいというものである。

ここで、r ₁は実埋め込みの数、r ₂はKの複素埋め込みの共役ペアの数である。r 1_とr 2_のこの特徴付けは、K を複素数体に埋め込む方法は次数と同じ数だけ存在するという考えに基づいている。${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ]}$これらは実数への埋め込み、または複素共役によって関連付けられた埋め込みのペアのいずれかになります。

Kがガロアである場合は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$すると、r ₁ = 0またはr ₂ = 0のいずれかになります。

r ₁とr ₂を決定する他の方法は以下のとおりです。

• 原始要素定理を用いて${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$そして、r ₁はα​​ の実共役の数、 2 r _{2 は}複素共役の数です。言い換えれば、f がαの最小多項式である場合、${\displaystyle \mathbb {Q} }$すると、r ₁は f の実根の数、2r _2はfの非実複素根の数(複素共役のペアで現れる) になります。
• 場のテンソル積を記述する${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$フィールドの産物として、r ₁コピーが存在する${\displaystyle \mathbb {R} }$そしてr ₂コピー${\displaystyle \mathbb {C} }$。

例えば、Kが二次体である場合、実二次体であればランクは1、虚二次体であればランクは0となります。実二次体の理論は、本質的にはペル方程式の理論です。

ランクは、以下のすべての数値フィールドに対して正の値です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$そして、ランクが0の虚数二次体も存在する。単位の「大きさ」は一般に、レギュレータと呼ばれる行列式によって測定される。原理的には、単位の基底は効率的に計算できるが、実際にはnが大きい場合、計算はかなり複雑になる。

単位群のねじれとは、Kのすべての 1 の根の集合であり、これは有限巡回群を形成します。少なくとも 1 つの実埋め込みを持つ数体の場合、ねじれは{1,−1}でなければなりません。実埋め込みを持たない数体、例えばほとんどの虚二次体なども、その単位群のねじれが{1,−1}である場合があります。

完全実体体は、単位元に関して特別な性質を持つ。L / K が次数が 1 より大きい有限数体拡大体であり、LとKの整数の単位元群の階数が同じである場合、 Kは完全実体体であり、Lは完全複素二次体拡大体である。逆もまた成り立つ。（例として、Kが有理数体であり、L が虚二次体である場合、どちらも単位元階数は 0 である。）

この定理は最大次数O _Kだけでなく、任意の次数O ⊂ O _Kにも適用されます。^{[ 2 ]}

ヘルムート・ハッセ（後にクロード・シュヴァレー）による単位定理の一般化があり、 S単位群の構造を記述し、整数環の局所化における単位群のランクを決定します。また、ガロア加群の構造は${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$決定された。^{[ 3 ]}

Kを数体と仮定し、$u_1, u_r$は、 Kの単位群を法として1の根を求める生成元群です。Kには、実数または複素数のr + 1 個のアルキメデス的場所があります。${\displaystyle u\in K}$、 書く${\displaystyle u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}}$異なる埋め込みに対して${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$対応する埋め込みが実数または複素数の場合は、 N _{j を}それぞれ 1 または 2 に設定します。すると、 r × ( r + 1)行列$${\displaystyle \left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}}$$は、任意の行の合計がゼロになるという性質を持ちます（すべての単位のノルムが 1 であり、ノルムの対数が行のエントリの合計であるため）。これは、1 つの列を削除して形成される部分行列の行列式の絶対値R が、その列に依存しないことを意味します。数Rは、代数体のレギュレータと呼ばれます（生成元u _iの選択には依存しません）。これは単位の「密度」を測定します。レギュレータが小さいということは、単位が「たくさん」あることを意味します。

このレギュレータは、以下の幾何学的解釈を持つ。単位u をエントリを持つベクトルに写すマップ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$r次元部分空間に画像を持つ$\displaystyle \mathbb {R} ^{r+1}}$要素の合計が 0 であるすべてのベクトルから構成され、ディリクレの単位定理により、像はこの部分空間内の格子となる。この格子の基本領域の体積は${\displaystyle R{\sqrt {r+1}}}$。

2次を超える代数体のレギュレータを計算するのは通常非常に面倒ですが、現在では多くの場合、それを実行できる数式処理ソフトウェアが存在します。通常、クラス数hとレギュレータの積hRをクラス数公式を用いて計算する方がはるかに簡単で、代数体のクラス数を計算する際の主な難しさは、通常、レギュレータの計算にあります。

例

• 虚数二次体、または有理整数のレギュレータは1 です ( 0 × 0行列の行列式が 1 であるため)。
• 実二次体のレギュレータは、その基本単位の対数である。例えば、黄金体の場合がそうだ。${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$は${\displaystyle \log {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$これは次のように理解できます。基本単位は黄金比です。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$、そしてその2つの埋め込みによる画像は${\displaystyle \mathbb {R} }$は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$そして${\textstyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$なので、r × ( r + 1)行列は次のようになります。$${\displaystyle \left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].}$$
• 周期立方場のレギュレーター${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ここで、αはx ³ + x ² − 2 x − 1の根であり、約 0.5255 です。 1 の根を法とする単位群の基底は{ ε ₁ , ε ₂ }であり、ここでε ₁ = α ² + α − 1およびε ₂ = 2 − α ²です。^{[ 4 ]}

「高次」レギュレータとは、指数n > 1の代数K群上の関数の構成を指し、古典的なレギュレータが単位群K ₁に対して果たす役割と同じ役割を果たします。このようなレギュレータの理論は、Armand Borelらの研究によって発展してきました。このような高次レギュレータは、例えばBeilinson 予想において役割を果たし、引数の整数値における特定のL関数の評価に現れると予想されています。 ^{[ 5 ]} Beilinson レギュレータも参照してください。

スタークの予想の定式化により、ハロルド・スタークは、任意のアルティン表現に付随する単位の対数の行列式として古典的なレギュレータに似た、現在スターク・レギュレータと呼ばれるものを定義するに至った。^{[ 6 ] [ 7 ]}

K を数体とし、ある固定された有理素数pより上のKの各素数Pに対して、U _PをPにおける局所単位とし、U _{1, P を}U _Pの主単位の部分群とする。$${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}。}$$

次に、E ₁を、 E内のグローバル ユニットの対角埋め込みを介してU ₁にマッピングされるグローバル ユニットεの集合とします。

E _{1 は}グローバル単位の有限インデックス部分群であるため、ランクr ₁ + r ₂ − 1のアーベル群です。p進レギュレータは、この群の生成元のp進対数によって形成される行列の行列式です。レオポルド予想では、この行列式はゼロではないとされています。^{[ 8 ] [ 9 ]}

• 楕円単位
• 円切片ユニット
• 新谷の単位定理

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