動的システム

数学において、力学系とは、関数が周囲空間（パラメトリック曲線など）内の点の時間依存性を記述するシステムである。例としては、時計の振り子の揺れ、パイプ内の水の流れ、空気中の粒子のランダムな動き、春の湖の魚の数などを記述する数学モデルなどがある。最も一般的な定義は、空間と時間の測定方法の異なる選択を可能にすることにより、常微分方程式やエルゴード理論など、数学のいくつかの概念を統合している。 ^{[要出典]時間は、整数、}実数、複素数で測定することも、より一般的な代数的対象（物理的な起源の記憶を失う）で測定することもでき、空間は多様体または単なる集合であり、その上に定義された滑らかな時空構造を必要とせずに済む。

動的システムは、任意の時点で、適切な状態空間内の点を表す状態を持ちます。この状態は、多くの場合、実数の組または幾何学的多様体内のベクトルによって与えられます。動的システムの進化規則は、現在の状態からどのような将来の状態が続くかを記述する関数です。多くの場合、関数は決定論的であり、つまり、与えられた時間間隔で、現在の状態から1つの将来の状態のみが続きます。^{[1] [2]}ただし、ランダムなイベントも状態変数の進化に影響を与えるという点で、 一部のシステムは確率的です。

物理学では、動的システムは「時間とともに状態が変化し、時間導関数を含む微分方程式に従う粒子または粒子の集合」として説明されます。 ^[3]システムの将来の動作を予測するために、そのような方程式の解析解、またはコンピューターシミュレーションによる時間の経過に伴う積分が実現されます。

動的システムの研究は、動的システム理論の焦点であり、数学、物理学、^{[4] [5]} 生物学、^[6] 化学、工学、^[7] 経済学、^[8] 歴史、医学など、さまざまな分野に応用されています。動的システムは、カオス理論、ロジスティックマップダイナミクス、分岐理論、自己集合および自己組織化プロセス、カオスのエッジ概念の基本的な部分です。

動的システムの概念は、ニュートン力学に由来しています。そこでは、他の自然科学や工学分野と同様に、動的システムの発展則は、将来のごく短い時間についてのみシステムの状態を与える暗黙の関係です。(関係は、微分方程式、差分方程式、またはその他の時間スケールのいずれかです。) 将来のすべての時間の状態を決定するには、関係を何度も繰り返す必要があります。各時間の進行は小さなステップです。反復手順は、システムを解く、またはシステムを積分すると呼ばれます。システムを解くことができれば、初期点が与えられれば、そのシステムの将来のすべての位置、つまり軌跡または軌道と呼ばれる点の集合を決定することができます。

コンピュータが登場する前は、軌道を見つけるには高度な数学的手法が必要であり、限られた種類の力学系でしか実行できませんでした。電子計算機に実装された数値手法により、力学系の軌道を決定する作業が簡素化されました。

単純な動的システムの場合、軌道を知るだけで十分な場合が多いですが、ほとんどの動的システムは個々の軌道の観点から理解するには複雑すぎます。困難が生じるのは次のような理由からです。

• 研究対象のシステムは近似的にしかわかっていない可能性があります。つまり、システムのパラメータが正確にわかっていなかったり、方程式に項が欠けている可能性があります。使用される近似により、数値解の妥当性や関連性が疑問視されることになります。これらの疑問に対処するために、動的システムの研究では、リアプノフ安定性や構造安定性など、いくつかの安定性の概念が導入されています。動的システムの安定性は、軌道が同等になるモデルまたは初期条件のクラスが存在することを意味します。同等性を確立するために軌道を比較する操作は、安定性の概念によって異なります。
• 軌道の種類は、特定の軌道よりも重要な場合があります。軌道の中には周期的なものもあれば、システムのさまざまな状態をさまようものもあります。アプリケーションでは、これらのクラスを列挙するか、システムを 1 つのクラス内に維持することがしばしば必要になります。すべての可能な軌道を分類することで、座標の変更によって変化しない特性である動的システムの定性的研究が行われました。線形動的システムと、状態を表す 2 つの数値を持つシステムは、軌道の可能なクラスが理解されている動的システムの例です。
• パラメータの関数としての軌道の挙動は、アプリケーションに必要なものである可能性があります。パラメータが変化すると、動的システムは分岐点を持つ可能性があり、そこで動的システムの質的な挙動が変わります。たとえば、流体の乱流への遷移のように、周期的な動きだけから明らかに不規則な挙動に変わることがあります。
• システムの軌道は不規則で、ランダムであるように見える場合があります。このような場合、1 つの非常に長い軌道または多くの異なる軌道を使用して平均を計算する必要がある場合があります。平均はエルゴード システムに対して明確に定義されており、双曲システムについてはより詳細な理解が深められています。動的システムの確率的側面を理解することで、統計力学とカオスの基礎が確立されました。

多くの人々はフランスの数学者アンリ・ポアンカレを力学系の創始者とみなしている。^[9]ポアンカレは、現在では古典的なモノグラフとなっている「天体力学の新手法」（1892–1899）と「天体力学講義」（1905–1910）を2冊出版した。この中で、彼は研究結果を3物体の運動の問題にうまく適用し、解の挙動（周波数、安定性、漸近など）を詳細に研究した。これらの論文には、特定のシステムが十分に長いが有限の時間が経過すると、初期状態に非常に近い状態に戻るという ポアンカレの再帰定理が含まれていた。

アレクサンドル・リャプノフは、多くの重要な近似法を開発しました。1899 年に開発された彼の手法により、常微分方程式の安定性を定義することが可能になりました。彼は、動的システムの安定性に関する現代の理論を創始しました。

1913 年、ジョージ・デイヴィッド・バーコフは、三体問題の特殊なケースであるポアンカレの「最終幾何学定理」を証明し、その結果によって彼は世界的に有名になりました。1927 年に彼は「力学系」を出版しました。バーコフの最も永続的な成果は、現在エルゴード定理と呼ばれているものを 1931 年に発見したことです。エルゴード仮説に関する物理学の洞察と測度論を組み合わせることで、この定理は、少なくとも原理的には、統計力学の基本問題を解決しました。エルゴード定理は力学にも影響を及ぼしました。

スティーブン・スメールも大きな進歩を遂げました。彼の最初の貢献は、動的システムに関する重要な研究を活性化させたスメールの馬蹄形でした。彼はまた、他の多くの人々が実行した研究プログラムの概要を示しました。

オレクサンドル・ミコライオヴィチ・シャルコフスキーは、 1964 年に離散力学系の周期に関するシャルコフスキーの定理を開発しました。この定理の意味の 1 つは、実数直線上の離散力学系に周期 3 の周期点がある場合、他のすべての周期の周期点も必ず存在するということです。

20世紀後半には、偏微分方程式に対する動的システムの観点が人気を集め始めました。パレスチナの機械技術者であるアリ・H・ネイフェは、非線形力学を機械システムと工学システムに応用しました。^{[10]応用非線形力学における彼の先駆的な研究は、}船舶、クレーン、橋、建物、高層ビル、ジェットエンジン、ロケットエンジン、航空機、宇宙船など、日常生活で一般的な機械や構造物の建設とメンテナンスに影響を与えてきました。^[11]

最も一般的な意味では、^{[12] [13]}力学系は 組( T , X , Φ) であり、ここでTは加法的に記述されたモノイド、 Xは空でない集合、 Φ は関数である。

${\displaystyle \Phi :U\subseteq (T\times X)\to X}$

と

${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}(U)=X}$ （2番目の投影図はどこですか）${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}}$

そして、 X内の任意のxに対して:

${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),}$

および に対して、X内の任意のxに対する集合を定義しました。 ${\displaystyle \,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)}$${\displaystyle \t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))}$${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$

特に、 Xの任意のxに対して が成り立ち、したがって Φ がTのXへのモノイド作用を定義する場合。 ${\displaystyle U=T\times X}$${\displaystyle I(x)=T}$

関数 Φ( t , x ) は、動的システムの進化関数と呼ばれます。これは、変数tに応じて、集合X内のすべての点xに一意のイメージを関連付けます。このイメージは進化パラメータと呼ばれます。Xは位相空間または状態空間と呼ばれ、変数x はシステムの 初期状態を表します。

私たちはよく書く

${\displaystyle \Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)}$

${\displaystyle \Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)}$

変数の1つを定数としてとると、関数

${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to X}$

はx を通る流れと呼ばれ、そのグラフはx を通る軌跡と呼ばれます。集合

${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$

はx を通る軌道と呼ばれる。 xを通る軌道はx を通る流れの像である。状態空間Xの部分集合S は、 S内のすべてのxとT内のすべてのtに対してΦ不変であると呼ばれる。

${\displaystyle \Phi (t,x)\in S.}$

したがって、特にS がΦ不変である場合、S内のすべてのxに対して、つまり、xを通る流れはSのすべての要素に対して常に定義される必要があります。 ${\displaystyle I(x)=T}$

より一般的には、動的システムの定義には 2 つのクラスがあります。1 つは常微分方程式に基づいており、幾何学的な性質を持ちます。もう 1 つはエルゴード理論に基づいており、測度理論的な性質を持ちます。

幾何学的定義では、動的システムは組 です。は時間の定義域です。通常は実数または整数の選択肢が多く、非負に制限される場合もあります。は多様体、つまり局所的にはバナッハ空間またはユークリッド空間、または離散的な場合はグラフです。f は、 t  →  f ^t ( )の発展規則であり、 f  ^{t は}多様体のそれ自身への微分同相写像です。したがって、 f は時間領域を多様体のそれ自身への微分同相写像の空間に「滑らかに」写像したものです。言い換えると、f ( t ) は、定義域 のすべての時間tに対して微分同相写像です。 ${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

実力学系、実時間力学系、連続時間力学系、またはフローとは、組 ( T、M、 Φ ) であり、 T は実数Rの開区間、Mはバナッハ空間に局所的に微分同相な多様体、 Φ は連続関数です。 Φ が連続微分可能である場合、そのシステムは微分可能力学系であるといいます。多様体M がR ⁿに局所的に微分同相である場合、力学系は有限次元です。そうでない場合、力学系は無限次元です。これはシンプレクティック構造を仮定しません。 Tが実数とされる場合、力学系はグローバルまたはフローと呼ばれます。また、 T が非負の実数に制限される場合、力学系は半フローです。

離散力学系、離散時間力学系は組 ( T、M、 Φ ) であり、ここでMはバナッハ空間に局所微分同相な多様体、 Φ は関数である。Tが整数とすると、それはカスケードまたはマップである。Tが非負の整数に制限される場合、そのシステムをセミカスケードと呼ぶ。^[14]

セルオートマトンとは、( T、M、Φ)の組です。Tは整数や高次元の整数グリッドなどの格子、Mは整数格子(これも1次元以上)から有限集合への関数の集合、Φは(局所的に定義された)進化関数です。このように、セルオートマトンとは動的システムです。Mの格子は「空間」格子を表し、 Tの格子は「時間」格子を表します。

動的システムは通常、時間として考えられる単一の独立変数に対して定義されます。より一般的なクラスのシステムは、複数の独立変数に対して定義されるため、多次元システムと呼ばれます。このようなシステムは、たとえば画像処理のモデリングに役立ちます。

局所コンパクトかつハウスドルフ位相空間X上の大域的力学系 ( R、X、 Φ )が与えられた場合、 Xの1 点コンパクト化X*への Φ の連続拡張 Φ* を調べることが有用な場合がよくあります。元の系の微分構造は失われますが、コンパクト性の議論を使用して新しい系 ( R、X*、 Φ* ) を分析できるようになりました。

コンパクトな力学系では、任意の軌道の極限集合は空でなく、コンパクトで、単連結です。

動的システムは、測度空間の測度保存変換、すなわち 3 つ組 ( T、 ( X、 Σ、μ )、 Φ ) として形式的に定義できます。ここで、Tはモノイド (通常は非負の整数)、Xは集合、 ( X、 Σ、μ ) は確率空間です。つまり、 Σ はX上のシグマ代数で、 μ は( X 、 Σ ) 上の有限測度です。写像 Φ: X → Xは、 Σ 内のすべての σ に対して が成り立つ場合、かつその場合に限り、Σ 可測であるといわれます。写像 Φ は、 Σ 内のすべてのσに対してが成り立つ場合、かつその場合に限り、測度を保存するといわれます。上記を組み合わせると、写像 Φ はXの測度保存変換であるといわれ、それがXからそれ自身への写像である場合、それは Σ 可測であり、測度保存です。このような Φ に対する3 つ組 ( T、 ( X、 Σ、μ )、 Φ ) は、動的システムとして定義されます。 ${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

マップ Φ は、動的システムの時間発展を具体化します。したがって、離散的動的システムの場合、すべての整数nの反復が 研究されます。連続的動的システムの場合、マップ Φ は有限時間発展マップであると理解され、構築はより複雑になります。 ${\displaystyle \Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi }$

測度論的定義は、測度保存変換の存在を前提としている。1 つの進化規則には、さまざまな不変測度を関連付けることができる。力学系が微分方程式系で与えられる場合、適切な測度を決定する必要がある。このため、微分方程式からエルゴード理論を展開することが困難になるため、測度の選択を回避し、選択が行われたと仮定する、エルゴード理論内の力学系に基づく定義を持つことが便利になる。単純な構成 (クリロフ-ボゴリュボフの定理と呼ばれることもある) は、大規模なシステムのクラスでは、力学系の進化規則を測度保存変換にするような測度を構成することが常に可能であることを示している。構成では、状態空間の与えられた測度が軌道のすべての将来の点について合計され、不変性が保証される。

いくつかのシステムには、ハミルトン系のリウヴィル測度などの自然な測度があり、ハミルトン系の周期軌道でサポートされる測度などの他の不変測度よりも優先されます。カオス的散逸システムの場合、不変測度の選択は技術的に困難です。測度はアトラクターでサポートされる必要がありますが、アトラクターはルベーグ測度がゼロであり、不変測度はルベーグ測度に関して特異でなければなりません。位相空間の小さな領域は、時間発展によって縮小します。

双曲型力学系の場合、シナイ・ルエル・ボーエン測度が自然な選択であると思われます。この測度は、力学系の安定多様体と不安定多様体の幾何学的構造に基づいて構築され、小さな摂動の下で物理的に動作し、双曲型系の観測された統計の多くを説明します。

前のセクションで見たように、時間における進化の概念は動的システムの理論の中心です。この事実の基本的な理由は、理論の出発点が古典的な機械システムの時間的挙動の研究であったことです。しかし、常微分方程式のシステムは、動的システムになる前に解かなければなりません。たとえば、次のような 初期値問題を考えてみます。

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$

どこ

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$物質点xの速度を表す
• Mは有限次元多様体である
• v : T × M → TM はR ⁿまたはC ⁿのベクトル場であり、位相空間M内の特定の物質点に作用する既知の力によって引き起こされる速度の変化を表します。この変化は位相空間M内のベクトルではなく 、接空間TM内にあります。

方程式には高次の導関数も、 v ( t , x )のパラメータtも必要ありません。これらは高次元のシステムを考慮することで排除できるからです。

このベクトル場の特性に応じて、機械システムは次のように呼ばれます。

• 自律的、v ( t , x ) = v ( x )のとき
• すべてのtに対してv ( t , 0 )=0のとき同次

解は標準的な常微分方程式の手法で見つけることができ、上で紹介した進化関数として表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$

すると、力学系は ( T , M , Φ ) となる。

上に示した微分方程式系の形式的な操作により、力学系が満たさなければならない方程式のより一般的な形が得られる。

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$

ここで、は進化関数の集合から複素数体への 関数です。${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$

この方程式は、複雑な制約を持つ機械システムをモデル化するときに役立ちます。

力学系の概念の多くは、無限次元多様体（局所的にはバナッハ空間）に拡張することができ、その場合、微分方程式は偏微分方程式になります。

線形動的システムは、単純な関数と分類されたすべての軌道の挙動の観点から解くことができます。線形システムでは、位相空間はN次元ユークリッド空間であるため、位相空間内の任意の点はN 個の数値を持つベクトルで表すことができます。線形システムの解析は、重ね合わせ原理を満たすため可能です。つまり、u ( t ) とw ( t ) がベクトル場の微分方程式を満たす場合 (必ずしも初期条件ではない)、u ( t ) +  w ( t ) も満たします。

流れの場合、ベクトル場v( x )は位相空間内の位置のアフィン関数であり、つまり、

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$

ここで、 A は行列、b は数値のベクトル、x は位置ベクトルです。このシステムの解は、重ね合わせの原理 (線形性) を使用して見つけることができます。b  ≠ 0 でA = 0 の場合は、 b の方向の直線になります 。

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$

bが0でA ≠0のとき、 原点は流れの平衡点（または特異点）である。つまり、x _{0 = 0であれば、軌道はそこに留まる。他の初期条件では、運動方程式は}行列の指数関数 で与えられる。初期点x ₀の場合、

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$

b = 0の場合、 Aの固有値によって位相空間の構造が決まります。Aの固有値と固有ベクトルから、初期点が原点の平衡点に収束するか発散するかを判断できます。

A ≠ 0の場合、2 つの異なる初期条件間の距離は 、ほとんどの場合指数関数的に変化し、ある点に向かって指数関数的に速く収束するか、指数関数的に速く発散します。線形システムは、発散の場合に初期条件に敏感に依存します。非線形システムの場合、これはカオス的動作の (必要条件ではあるが十分ではない) 条件の 1 つです。

離散時間アフィン力学系は行列差分方程式の 形をとります。

${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$

ここで、 Aは行列、b はベクトルです。連続の場合と同様に、座標の変更x  →  x  + (1 −  A )  ^–1 bにより、方程式から項bが削除されます。新しい座標系では、原点はマップの固定点であり、解は線形システムA ⁿ x ₀になります。マップの解は曲線ではなく、位相空間内を飛び回る点です。軌道は曲線、つまりファイバーで構成され、マップの作用下で自分自身にマップされる点の集合です。  

連続の場合と同様に、 Aの固有値と固有ベクトルが位相空間の構造を決定します。たとえば、u _1がAの固有ベクトルであり、実固有値が 1 より小さい場合、α  u ₁（α  ∈  R ）に沿った点によって与えられる直線は、マップの不変曲線になります。この直線上の点は、固定点にぶつかります。

他にも離散的な力学系は数多く存在します。

動的システムの定性的特性は、座標の滑らかな変更では変化しません (これは、定性的定義と見なされることがあります)。ベクトル場の 特異点( v ( x ) = 0 の点) は、滑らかな変換でも特異点のままです。周期軌道は位相空間内のループであり、位相空間の滑らかな変形によってループであることは変わりません。特異点と周期軌道の近傍では、動的システムの位相空間の構造をよく理解できます。動的システムの定性的研究では、座標の変更 (通常は指定されていないが計算可能) があり、動的システムを可能な限り単純化することを示すというアプローチがとられます。

位相空間のほとんどの小さな部分の流れは非常に簡単に作成できます。yがベクトル場v ( y ) ≠ 0 となる点である場合、ベクトル場が同じ大きさの一連の平行ベクトルになるyの周囲の領域では座標が変わります。これは整流定理として知られています。

修正定理によれば、特異点から離れると、小さなパッチ内の点のダイナミクスは直線になります。パッチは、いくつかのパッチをつなぎ合わせることで拡大できる場合があり、これが位相空間M全体でうまくいく場合、動的システムは積分可能です。ほとんどの場合、パッチを位相空間全体に拡張することはできません。ベクトル場 ( v ( x ) = 0) に特異点がある場合があります。または、ある点に近づくにつれてパッチがどんどん小さくなる場合があります。より微妙な理由は、グローバル制約です。この場合、軌道はパッチで開始し、一連の他のパッチを訪れた後、元のパッチに戻ります。次に軌道が位相空間を別の方法でループする場合、一連のパッチ全体でベクトル場を修正することは不可能です。

一般に、周期軌道の近傍では、修正定理は使用できません。ポアンカレは、周期軌道付近の解析をマップの解析に変換するアプローチを開発しました。軌道 γ の点x _{0を選択し、その近傍で}v ( x ₀ )に垂直な位相空間の点を考えます。これらの点は、軌道のポアンカレ断面 S ( γ ,  x ₀ ) です。フローは、Sで始まりSに戻る 点のマップ、ポアンカレ マップ F  :  S  →  Sを定義します。これらの点がすべて戻ってくるのに同じ時間がかかるわけではありませんが、時間は x ₀にかかる時間と近くなります。

周期軌道とポアンカレ断面の交点は、ポアンカレ写像Fの不動点である。平行移動により、この点はx  = 0 にあると仮定できる。写像のテイラー級数はF ( x ) =  J  ·  x  + O( x ^{2 ) であるため、座標}hの変更によってF が線形部分に 簡略化されることのみが期待できる。

${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$

これは共役方程式として知られています。この方程式が成り立つための条件を見つけることは、力学系の研究における主要な課題の 1 つです。ポアンカレは最初に、すべての関数が解析的であると仮定してこの方程式に取り組み、その過程で非共鳴条件を発見しました。λ ₁、...、  λ _{ν が}Jの固有値である場合、1 つの固有値が他の 2 つ以上の固有値の整数線形結合であれば、それらは共鳴します。関数hの項の分母にλ _i – Σ (他の固有値の倍数) 形式の項が発生するため、非共鳴条件は小約数問題としても知られています。

共役方程式の解の存在の結果は、 Jの固有値とhから要求される滑らかさの度合いに依存します。J は特別な対称性を持つ必要がないため、その固有値は通常複素数になります。 Jの固有値が単位円内にない場合、Fの固定点x _{0の近くのダイナミクスは}双曲型と呼ばれ、固有値が単位円上にあり複素数である場合、ダイナミクスは楕円型と呼ばれます。

双曲型の場合、ハートマン-グロブマン定理は、写像の不動点の近傍を線型写像 J · x に写像する連続関数の存在条件を与えます。 双 曲型の場合も構造的に安定しています。ベクトル場の小さな変化はポアンカレ写像の小さな変化のみを生じ、これらの小さな変化は複素平面におけるJの固有値の位置の小さな変化として反映され、写像が依然として双曲型であることを意味します。

コルモゴロフ・アーノルド・モーザー (KAM)定理は、楕円点付近の挙動を示します。

進化マップ Φ ^t (またはそれが導出されるベクトル場) がパラメータ μ に依存する場合、位相空間の構造もこのパラメータに依存します。特別な値μ _{0に達するまで、小さな変化は}位相空間に質的な変化をもたらさない場合があります。この時点で位相空間は質的に変化し、動的システムは分岐を経たと言えます。

分岐理論は、位相空間（通常は固定点、周期軌道、または不変トーラス）内の構造を考慮し、その動作をパラメータμの関数として研究します 。分岐点では、構造の安定性が変化したり、新しい構造に分割されたり、他の構造と融合したりすることがあります。マップのテイラー級数近似を使用し、座標の変更によって除去される可能性のある差異を理解することで、動的システムの分岐を分類することができます。

システム ファミリF _μの双曲型固定点x ₀の分岐は、分岐点で計算されたシステムDF _μ ( x _{0 ) の 1 次導関数の}固有値によって特徴付けられます。マップの場合、単位円上にDF _μの固有値がある場合に分岐が発生します。フローの場合、虚軸上に固有値がある場合に分岐が発生します。詳細については、分岐理論のメイン記事を参照してください。

いくつかの分岐は、位相空間で非常に複雑な構造につながる可能性があります。たとえば、Ruelle-Takens シナリオは、周期軌道がトーラスに分岐し、トーラスがストレンジ アトラクターに分岐する様子を説明します。別の例として、ファイゲンバウム周期倍化は、安定した周期軌道が一連の周期倍化分岐を経る様子を説明します。

多くの力学系では、位相空間における体積（実際にはν次元の体積）が不変となるように系の座標を選択することが可能である。これは、座標が位置と運動量であり、体積が（位置）×（運動量）の単位で測定される限り、ニュートンの法則から導かれる機械系で起こる。流れは、部分集合Aの点を点Φ ^t ( A )に取り込み、位相空間の不変性は以下を意味する。  

${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$

ハミルトン形式では、座標が与えられると、関連する体積が流れによって保存されるように適切な（一般化された）運動量を導くことが可能である。体積はリウヴィル測度によって計算されると言われている。

ハミルトン系では、位置と運動量のすべての可能な構成に初期条件から到達できるわけではありません。エネルギー保存則により、初期条件と同じエネルギーを持つ状態のみがアクセス可能です。同じエネルギーを持つ状態は、位相空間のサブマニフォールドであるエネルギーシェル Ω を形成します。リウヴィル測度を使用して計算されたエネルギーシェルの体積は、進化の下で保存されます。

流れによって体積が保存されるシステムについて、ポアンカレは再帰定理を発見しました。位相空間が有限のリウヴィル体積を持ち、F が位相空間の体積保存マップ、A が位相空間のサブセットであると仮定します。すると、Aのほぼすべての点はAに無限に頻繁に戻ります。ポアンカレの再帰定理は、衝突する原子の動的システムにおけるエントロピーの増加に関するボルツマンの導出に異議を唱えるためにツェルメロによって使用されました。

ボルツマンの研究によって提起された疑問の 1 つは、時間平均と空間平均が等しくなる可能性があるかどうかであり、彼はこれをエルゴード仮説と呼んだ。この仮説では、典型的な軌道が領域Aで費やす時間の長さはvol( A )/vol(Ω) であるとされている。

エルゴード仮説は統計力学の発展に必須の特性ではないことが判明し、物理システムの関連する側面を捉えるために、一連の他のエルゴード的な特性が導入されました。 クープマンは関数解析を使用してエルゴードシステムの研究に取り組みました。観測可能なaは、位相空間の各点に数値 (瞬間圧力や平均高度など) を関連付ける関数です。観測可能な値は、進化関数 φ  ^{t を}使用して別の時点で計算できます。これにより、転送演算子である演算子U ^{t が}導入されます。  

${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$

線形演算子Uのスペクトル特性を調べることで、 Φ ^tのエルゴード特性を分類することが可能になります。観測可能な関数に対する流れの作用を考慮する Koopman アプローチを使用すると、 Φ ^tを含む有限次元の非線形問題は、U を含む無限次元の線形問題にマッピングされます 。   

エネルギー面 Ω に制限されたリウヴィル測度は、平衡統計力学で計算される平均の基礎です。軌道に沿った時間の平均は、 ボルツマン因子 exp(−β H )で計算される空間の平均に相当します。このアイデアは、Sinai、Bowen、および Ruelle (SRB) によって、散逸システムを含むより大きなクラスの動的システムに一般化されました。SRB測度はボルツマン因子に代わるもので、カオスシステムのアトラクター上で定義されます。

区分線形システムを含む単純な非線形動的システムは、基本的に決定論的であるにもかかわらず、ランダムであるように見える、非常に予測不可能な動作を示すことがあります。この予測不可能な動作は、カオスと呼ばれています。双曲システムは、カオスシステムに起因する特性を示す、正確に定義された動的システムです。双曲システムでは、軌道に垂直な接空間は、軌道に向かって収束する点 (安定多様体) と軌道から発散する点 (不安定多様体)の 2 つの部分の組み合わせに分解できます。

この数学の分野は、動的システムの長期的な質的動作を扱います。ここでの焦点は、動的システムを定義する方程式の正確な解を見つけることではなく (多くの場合、望みがない)、「システムは長期的には定常状態に落ち着くでしょうか。もしそうなら、考えられるアトラクターは何でしょうか?」または「システムの長期的な動作は、その初期状態に依存しますか?」などの質問に答えることです。

複雑系のカオス的動作は問題ではありません。気象学には、複雑で、さらにはカオス的な動作が含まれることが長年知られていました。カオス理論が驚くべきものであったのは、ほとんど自明なシステムの中にカオスが見つかるからです。ロジスティック写像のポモー・マンネヴィルのシナリオとフェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題は、2 次多項式だけで発生しました。馬蹄形写像は区分的に線形です。

非線形自律常微分方程式では、ある条件下では有限持続時間の解を求めることが可能であり、^[15]ここでの意味は、これらの解では、システムは終了時間と呼ばれるある時点で値 0 に到達し、その後は永久にそこに留まるということである。これは、システムの軌跡がダイナミクスによって時間的に前方および後方に一意に決定されない場合にのみ発生するため、有限持続時間の解は、カオスの時間的前方予測不可能性に密接に関連する「時間的後方予測不可能性」の一形態を意味する。ピカール-リンデロフの定理の証明によれば、この動作はリプシッツ連続微分方程式では発生しない。これらの解は、終了時間では非リプシッツ関数であり、実数線全体の解析関数にはなり得ない。

たとえば、次の式:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

有限期間の解を認める:

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {t}{2}}+\left|1-{\frac {t}{2}}\right|\right)^{2}}$

はゼロであり、終了時刻においてリプシッツ連続ではない${\displaystyle t\geq 2}$${\displaystyle t=2.}$

• アーノルド、ウラジミール I. (2006)。「基本概念」。常微分方程式。ベルリン: Springer Verlag。ISBN 3-540-34563-9。
• Chueshov, ID無限次元散逸系理論入門。初版のオンライン版はEMISサイト[1]に掲載されています。
• テマム、ロジャー（1997）[1988]。力学と物理学における無限次元動的システム。シュプリンガー出版。

• Arxiv プレプリント サーバーには、力学システムに関する (査読なしの) 論文が毎日投稿されています。
• 動的システムの百科事典Scholarpediaの一部。査読済みで、招待された専門家によって執筆されています。
• 非線形ダイナミクス。分岐とカオスのモデル（エルマー・G・ウィーンズ著）
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (2003年9月) は、非線形科学に関する定義、説明、リソースを提供します。

オンラインブックまたは講義ノート

• 動的システムの幾何学理論。ETHの上級学部レベルのコースにおける Nils Berglund の講義ノート。
• 動的システム。George D. Birkhoff の 1927 年の著書では、すでに動的システムに対する現代的なアプローチが採用されています。
• カオス: 古典と量子。周期軌道の観点から見た動的システムの入門。
• 動的システムの学習。動的システムの学習に関するチュートリアル。
• 常微分方程式と動的システム。ジェラルド・テシュルの講義ノート

研究グループ

• フローニンゲン動的システムグループ、IWI、フローニンゲン大学。
• Chaos @ UMD。動的システムの応用に重点を置いています。
• [2] ニューヨーク州立大学ストーニーブルック校。会議、研究者、および未解決の問題のリスト。
• ペンシルベニア州立大学ダイナミクス＆ジオメトリセンター。
• 制御および動的システム、カリフォルニア工科大学。
• ローザンヌ連邦エコール工科大学 (EPFL) の非線形システム研究所。
• ブレーメン大学 動的システムセンター
• オックスフォード大学システム分析、モデリングおよび予測グループ
• リスボン工科大学高等技術研究所、非線形力学グループ
• 動的システムは、2017 年 6 月 2 日にWayback Machine、IMPA、Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicadaにアーカイブされました。
• 非線形ダイナミクス作業グループ、 Wayback Machineに 2015-01-21 にアーカイブ、チェコ科学アカデミー、コンピューター科学研究所。
• UPC 動的システム グループ バルセロナ、カタルーニャ工科大学。
• カリフォルニア大学サンタバーバラ校、制御、動的システム、計算センター。