離散時間と連続時間

数理力学において、離散時間と連続時間は、時間とともに変化する変数をモデル化するための2つの異なる枠組みである。

離散時間では、変数の値は明確に区別された「時点」で発生するものとみなされます。あるいは、各非ゼロの時間領域（「時間期間」）全体を通して変化しないものと同等に考えられます。つまり、時間は離散変数として扱われます。したがって、時間以外の変数は、時間が1つの時間期間から次の時間期間へと進むにつれて、ある値から別の値へとジャンプします。この時間の見方は、しばらくの間10:37という固定値を表示し、その後10:38という新しい固定値にジャンプするデジタル時計に対応します。この枠組みでは、関心のある各変数は、各時間期間で1回測定されます。任意の2つの時間期間間の測定回数は有限です。測定は通常、変数「時間」の連続する整数値で行われます。

離散信号または離散時間信号とは、一連の量から構成される時系列のことである。

連続時間信号とは異なり、離散時間信号は連続引数の関数ではありませんが、連続時間信号からサンプリングすることによって得られる場合があります。離散時間信号が等間隔の時間でシーケンスをサンプリングすることによって得られる場合、それには関連するサンプリングレートがあります。

離散時間信号にはいくつかの起源があるが、通常は次の 2 つのグループのいずれかに分類できる: ^{[ 1 ]}

• アナログ信号の値を一定または可変のレートで取得することによって、このプロセスはサンプリングと呼ばれます。^{[ 2 ]}
• 特定の経済指標の週ごとのピーク値など、本質的に離散的な時間プロセスを観察することによって。

対照的に、連続時間では、変数はごく短い時間だけ特定の値を持つものとみなされます。任意の2点間には、無限の数の点が存在します。変数「時間」は、実数直線全体、あるいは文脈によっては非負の実数などの部分集合にわたって変化します。したがって、時間は連続変数として捉えられます。

連続信号または連続時間信号とは、定義域が連続体（例えば、実数の連結区間）である、変化する量（信号）のことです。定義域は多くの場合時間です。つまり、関数の定義域は非可算集合です。関数自体は連続である必要はありません。これに対し、離散時間信号は、自然数などの可算定義域を持ちます。

振幅と時間が連続する信号は、連続時間信号またはアナログ信号と呼ばれます。この信号は、あらゆる瞬間において何らかの値を持ちます。温度、圧力、音などの物理量に比例して生成される電気信号は、一般的に連続信号です。その他の連続信号の例としては、正弦波、余弦波、三角波などがあります。

信号は、有限である場合も有限でない場合もある定義域上で定義され、その定義域から信号の値への関数的な写像が存在する。実数の密度法則に関連して、時間変数の連続性は、任意の時点における信号の値を求めることができることを意味する。

無限持続時間の信号の典型的な例は次のとおりです。

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

上記の信号の有限期間版としては、以下のようなものが考えられる。

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$そして${\displaystyle f(t)=0}$さもないと。

有限（または無限）期間の信号の値は、有限である場合もそうでない場合もある。例えば、

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$そして${\displaystyle f(t)=0}$さもないと、

は有限期間の信号ですが、無限の値をとります。${\displaystyle t=0\,}$。

多くの分野では、連続信号は常に有限の値を持つという慣習があり、これは物理信号の場合にはより理にかなっている。

目的によっては、信号が任意の有限区間で積分可能であれば、無限特異点も許容されます（例えば、$t^{-1}}$信号は無限遠で積分可能ではないが、$t^{-2}}$は）。

アナログ信号は本質的に連続的である。デジタル信号処理で使用される離散時間信号は、連続信号をサンプリングおよび量子化することによって得られる。

連続信号は、時間以外の独立変数によって定義することもできます。もう一つ非常に一般的な独立変数は空間であり、特に2次元の空間を用いる画像処理において有用です。

経験的な測定を行う場合、通常は変数を連続的にしか測定できないため、離散時間が用いられることが多い。例えば、経済活動は実際には継続的に行われ、経済が完全に停止する瞬間はないが、経済活動は離散的にしか測定できない。そのため、例えば国内総生産（GDP）に関する公表データは、四半期ごとの値の系列を示すことになる。

このような変数を他の変数や自身の過去の値に基づいて経験的に説明しようとする場合、時系列分析や回帰分析の手法を用います。これらの手法では、変数には観測が行われた期間を示す添え字が付けられます。例えば、y _{t は}期間tで観測された所得の値、y _{3 は}3 番目の期間で観測された所得の値などを表します。

さらに、研究者が離散時間で観測される現象を説明するための理論を構築しようとする場合、時系列モデルや回帰モデルの構築を容易にするために、その理論自体が離散時間で表現されることが多い。

一方、理論モデルを連続時間で構築する方が数学的に扱いやすい場合が多く、物理学などの分野では、正確な記述には連続時間の使用が必要となる場合が多い。連続時間の文脈では、変数yの特定されていない時点における値はy ( t ) と表記されるか、意味が明確な場合は単にyと表記される。

離散時間で測定された変数は、階段関数としてプロットできます。階段関数では、各時間期間に水平軸上の同じ長さの領域が割り当てられ、測定された変数はその時間期間の領域全体で一定の高さとしてプロットされます。このグラフ手法では、グラフは水平方向の階段の連続として表示されます。あるいは、各時間期間を、通常は水平軸上の整数値にある独立した時点と見なすこともできます。この場合、測定された変数はその時間軸上の点より上の高さとしてプロットされます。この手法では、グラフは点の集合として表示されます。

連続時間で測定された変数の値は、時間領域が実軸全体、あるいは少なくともその連結した一部であるとみなされるため、連続関数としてプロットされます。

• ガーシェンフェルド、ニール A. (1999).数学的モデリングの本質. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-57095-6。
• ワグナー、トーマス・チャールズ・ゴードン（1959）。解析的過渡現象。ワイリー。