ベイカーの地図

力学システム理論では、パン屋の写像は単位正方形からそれ自身へのカオス写像 です。これはパン屋が生地をこねる操作にちなんで名付けられました。生地を半分に切り、2 つの半分を重ねて圧縮します。

ベイカー写像は、双無限二状態格子モデルの双対シフト演算子として理解できます。ベイカー写像は、馬蹄形写像と位相的に共役です。物理学では、結合されたベイカー写像の連鎖を使用して、決定論的拡散をモデル化できます 。

多くの決定論的動的システムと同様に、ベーカー写像は単位正方形上に定義された関数の空間への作用によって研究されます。ベーカー写像は、写像の転送演算子として知られる関数の空間上の演算子を定義します。ベーカー写像は、転送演算子の固有関数と固有値が明示的に決定できる という点で、決定論的カオスの正確に解けるモデルです。

一般的に使用されているベイカーズ マップには、2 つの代替定義があります。1 つの定義では、スライスされた半分の 1 つを結合する前に折り畳んだり回転させたりしますが (馬蹄形マップと同様)、もう 1 つの定義では折り畳んだり回転させたりしません。

折り畳まれたベーカーズマップは単位正方形に対して次のように作用する。

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

上部を折り返さない場合には、地図は次のように表記される。

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).}$

折り畳みパン屋地図はテント地図の2次元版である。

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

一方、展開された写像はベルヌーイ写像に類似しています。両方の写像は位相的に共役です。ベルヌーイ写像は、 xの二項展開から桁を徐々に切り落としていく写像として理解できます。テント写像とは異なり、ベイカー写像は可逆です。

ベーカー写像は2次元ルベーグ測度を保存します。

マップは強い混合であり、位相的に混合されています。

転送演算子は 単位正方形上の関数を単位正方形上の他の関数に マッピングします。これは次のように表されます。${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

転送演算子は、単位正方形上の二乗積分可能な関数のヒルベルト空間上でユニタリです。スペクトルは連続しており、演算子がユニタリであるため、固有値は単位円上にあります。転送演算子は、最初の座標で多項式で、2 番目の座標で二乗積分可能な関数の空間上ではユニタリではありません。この空間では、離散的で非ユニタリな減衰スペクトルを持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}$

ベイカー写像は、1次元格子の記号力学上の両側シフト演算子として理解できる。例えば、双無限弦を考えてみよう。

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

ここで、文字列の各位置は2つの2進値のいずれかを取ることができます。この文字列に対するシフト演算子の動作は、 ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

つまり、各格子位置は1つずつ左にシフトする。双無限弦は2つの実数 で次のように 表される。${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$

${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

そして

${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.}$

この表現では、シフト演算子は次の形式をとる。

${\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)}$

これは、上記に示したパン屋の地図を展開したものと思われます。

• ベルヌーイ過程

• Hiroshi H. Hasagawa および William C. Saphir (1992)。「カオス系におけるユニタリティーと不可逆性」。Physical Review A。46 ( 12 ) : 7401–7423。Bibcode :1992PhRvA..46.7401H。CiteSeerX 10.1.1.31.9775。doi : 10.1103 /PhysRevA.46.7401。PMID 9908090  。 
• ロナルド・J・フォックス、「ベイカー写像のジョーダン基底の構築」、カオス、7 p 254 (1997) doi :10.1063/1.166226
• Dean J. Driebe、「Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry」、(1999) Kluwer Academic Publishers、ドルドレヒト オランダISBN 0-7923-5564-4 (ベイカーのマップの固有関数の説明)。