量子もつれ

量子もつれとは、粒子群が生成、相互作用、または空間的近接性を共有し、粒子群の各粒子の量子状態を他の粒子の状態から独立して記述できない現象であり、粒子が大きな距離で離れている場合も例外ではありません。量子もつれの話題は、古典物理学と量子物理学の相違点の中心にあります。量子もつれは、古典力学には存在しない量子力学の主要な特徴です。^{[1] :  867}

エンタングルメント粒子に対して行われた位置、運動量、スピン、分極などの物理的特性の測定は、場合によっては、完全に相関していることがわかります。たとえば、エンタングルメント粒子のペアが生成され、その合計スピンがゼロであることがわかっており、一方の粒子が最初の軸上で時計回りのスピンを持っていることが判明した場合、同じ軸で測定されたもう一方の粒子のスピンは反時計回りであることがわかります。ただし、この動作は一見矛盾した効果を引き起こします。つまり、粒子の特性の測定は、その粒子の見かけ上不可逆な波動関数の崩壊をもたらし、元の量子状態を変更します。エンタングルメント粒子の場合、そのような測定はエンタングルメントシステム全体に影響を及ぼします。

このような現象は、1935年にアルバート・アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンが発表した論文^[2]と、その後間もなくエルヴィン・シュレーディンガーが発表したいくつかの論文^{[3] [4]で取り上げられ、} EPRパラドックスとして知られるようになった現象を説明した。アインシュタインらは、このような動作は局所的実在論の因果関係の見解に反するため不可能であると考え（アインシュタインはこれを「不気味な遠隔作用」と呼んだ）^{[5] 、}量子力学の定式化は不完全であるに違いないと主張した。

しかしその後、量子力学の直感に反する予測は、もつれた粒子の分極またはスピンが別々の場所で測定され、統計的にベルの不等式に違反するテストで検証されました^{[6] [7] [} 8] 。初期のテストでは、ある地点の結果が微妙に遠隔地に伝達され、2番目の場所の結果に影響を与える可能性を排除できませんでした。^[8]しかし、その後、いわゆる「抜け穴のない」ベルテストが実行され、場所が十分に離れているため、光速での通信には測定間隔よりも長い時間がかかり、あるケースでは10,000倍長くなりました。^{[7] [6]}

量子もつれは測定値間の相関関係を生み出し、もつれた粒子間の相互情報を利用することはできるが、光速を超える速度での情報伝送は不可能である。^{[9] [10]量子もつれは}光速を超える通信には使用できない。^[11]

量子もつれは光子、^{[12] [13]} 電子、^{[14] [15]}トップクォーク、^[16]分子^[17]さらには小さなダイヤモンドでも実験的に実証されています。 ^[18]通信、計算、量子レーダーにおける量子もつれの利用は、研究開発が活発に行われている分野です。

アルバート・アインシュタインとニールス・ボーアは、量子力学の意味について、現在ではボーア・アインシュタイン論争として知られている、長期にわたる同僚間の論争を繰り広げた。これらの論争の中で、アインシュタインは光子を放出する箱についての思考実験を提示した。彼は、実験者が箱に対してどのような測定を行うかの選択によって、光子が非常に遠くにある場合でも、光子について予測できることが変わると指摘した。アインシュタインが1931年までに定式化したこの議論は、後にエンタングルメントと呼ばれる現象の早期認識であった。^[19]同じ年、ヘルマン・ワイルは群論と量子力学の教科書で、相互作用する複数の部分からなる量子系は一種のゲシュタルトを示すと指摘した。^{[20] [21]} 1932年、エルヴィン・シュレーディンガーは量子エンタングルメントの定義式を書き上げたが、未発表のまま脇に置いた。^[22] 1935年、アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンは、現在ではアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン（EPR）パラドックスとして知られている論文を発表しました。これは、「波動関数によって与えられた物理的現実の量子力学的記述は完全ではない」ことを示そうとした思考実験です。 ^[2]彼らの思考実験では、2つのシステムが相互作用し、その後分離し、その後量子力学では2つのシステムを個別に記述できないことが示されました。

この論文が発表されて間もなく、エルヴィン・シュレーディンガーはドイツ語でアインシュタインに手紙を書き、その中で彼はEPRシナリオのような状況を説明するためにVerschränkung（彼自身はエンタングルメントと訳している）という言葉を使った。 ^{[23]シュレーディンガーは}エンタングルメントの概念を定義し議論した完全な論文を発表し、^{[24] 「私は[エンタングルメント]をエンタングル}メントとは呼ばず、むしろ量子力学の特徴、古典的な考え方からの完全な逸脱を強いる特徴と呼ぶだろう」と述べた。^{[3]アインシュタインと同様に、シュレーディンガーはエンタングルメントの概念に満足していなかった。なぜならそれは}相対性理論 に暗黙的に含まれている情報伝達の速度制限に違反しているように思われたからである。^[25]アインシュタインは後に、エンタングルメントの効果を「遠隔での不気味な作用」 [ ^26]と呼び、これは遠隔地での測定の結果として、ある場所の特性の値が取得されることを意味する。^[27]

1946年、ジョン・アーチボルド・ウィーラーは、電子陽電子消滅によって生成されるガンマ線光子対の偏光を研究することを提案した。 ^[28]呉建雄とI・シャクノフは1949年にこの実験を行い、^[29] EPRで考えられていたエンタングルメント粒子対が実験室で生成できることを実証した。^[30]

シュレーディンガーは量子もつれの重要性を主張したが、彼の論文が発表されてから数十年間、量子もつれに関する研究はほとんど発表されなかった。^[24] 1964年、ジョン・S・ベルは、局所実在論に従う理論で生成できる相関の強さに関するベルの不等式に見られる上限を示し、量子論では特定の量子もつれシステムではこの上限が破れると予測されることを示した。^{[31] [32] : 405}彼の不等式は実験的に検証可能であり、1972年のスチュアート・フリードマンとジョン・クラウザーの先駆的な研究^[33]や1982年のアラン・アスペクトの実験をはじめ、関連する実験が数多く行われてきた。 ^{[34] [35] [36]}

ベルは学生たちに自分のような研究は難解すぎるとして積極的にやめるよう勧めていたが、オックスフォードでの講演の後、アルトゥール・エケルトという学生がベル不等式の破れを通信のリソースとして利用できると示唆した。^{[37] : 315}エケルトはそれを基にE91 と呼ばれる量子鍵配送プロトコルを発表した。^{[38] [1] :  874}

1992年に、エンタングルメントの概念を利用して量子テレポーテーションが提案され、^[39]この効果は1997年に実験的に実現されました。^{[40] [41] [42]}

1990年代半ばから、アントン・ツァイリンガーはパラメトリックダウンコンバージョンによるエンタングルメントの生成を利用してエンタングルメントスワッピングを開発し^{[37] : 317}、エンタングルメント光子を用いた量子暗号を実証した。^{[43] [44]}

2022年、アスペクト、クラウザー、ツァイリンガーは「もつれた光子の実験、ベル不等式の破れの証明、量子情報科学の先駆者」としてノーベル物理学賞を受賞した。 ^[45]

エネルギーが機械操作を容易にするリソースであるのと同様に、エンタングルメントは通信と計算を含むタスクの実行を容易にするリソースです。 ^{[46] : 106  [47] : 218  [48] : 435  [49]}エンタングルメントの数学的定義は、システム全体に関する最大限の知識は、そのシステムの個々の部分に関する最大限の知識を意味しない、と言い換えることができます。^[50]一対の粒子を記述する量子状態がエンタングルされている場合、一対の片方の測定結果は、もう一方の測定結果と強く相関している可能性があります。ただし、エンタングルメントは、古典的な確率論や日常生活で理解されている「相関」と同じではありません。代わりに、エンタングルメントは、適切な実験で実際の相関を生成するために使用できる潜在的な相関と考えることができます。 ^{[51] : 130 エンタングル}メントされた量子状態から生成された相関は、一般に古典的な確率では再現できません。^{[52] : 33}

エンタングルメントの例としては、他の粒子のエンタングルメントされたペアに崩壊する素粒子がある。崩壊​​イベントはさまざまな保存則に従うため、一方の娘粒子の測定結果は、もう一方の娘粒子の測定結果と高い相関関係にあるはずである（したがって、このプロセスの前後で、総運動量、角運動量、エネルギーなどがほぼ同じままである）。たとえば、スピン0 の粒子は、スピン 1/2 の粒子のペアに崩壊する可能性がある。この崩壊の前後で総スピンはゼロでなければならない（角運動量保存則による）ため、最初の粒子がある軸上でスピンアップであると測定されるときはいつでも、同じ軸上で測定されたもう一方の粒子は常にスピンダウンであるとわかる。これはスピン反相関の場合と呼ばれ、各スピンを測定する事前確率が等しい場合、ペアはシングレット状態にあると言われる。^{[53] : §18.8}このような完全な反相関は、粒子内の「隠れた変数」によって説明できる可能性がある。たとえば、粒子はペアで作られ、一方が「上」の値を持ち、もう一方が「下」の値を持つという仮説を立てることができます。すると、一方の粒子のスピン測定の結果がわかれば、もう一方が反対の値を持つことが予測できます。ベルは、いつも色が合わない靴下を履いていた同僚のベルトルマンの話でこれを説明しました。「彼が特定の日に特定の足にどの色の靴下を履いているかはまったく予測できません」とベルは書いていますが、「最初の靴下がピンク色であることに気づけば、2 番目の靴下がピンク色ではないことはすでに確信できます」。^[54]量子エンタングルメントの注目すべき特徴を明らかにするには、異なる軸に沿ったスピン測定などの複数の異なる実験を考慮し、これらの異なる構成で得られた相関関係を比較する必要があります。^{[53] : §18.8}

量子系は、様々なタイプの相互作用を通じてエンタングルメント状態になる。実験目的でエンタングルメントを実現する方法については、以下の方法のセクションを参照のこと。エンタングルメント状態は、エンタングルメントされた粒子が環境との相互作用によってデコヒーレンス状態になると解消される。たとえば、測定が行われると、エンタングルメント状態は解消される。より詳細には、このプロセスでは粒子が環境とエンタングルメント状態になり、その結果、粒子自体を記述する量子状態はもはやエンタングルメント状態ではなくなる。^{[55] : 369  [56]}

数学的には、エンタングルメント系とは、量子状態を局所構成要素の状態の積として因数分解できない系と定義できる。つまり、構成要素は個々の粒子ではなく、分離できない全体である。エンタングルメントが存在する場合、1つの構成要素は他の構成要素を考慮せずに完全に記述することはできない。^{[57] : 18–19  [53] : §1.5}複合系の状態は常に、局所構成要素の状態の積の和、または重ね合わせとして表現できる。この和が単一の積項として表せない場合、その系はエンタングルメントされている。^{[47] : 39}

上で説明した一重項状態は、EPR パラドックスの 1 つのバージョンの基礎です。このバージョンは、David Bohmによって導入されました。このバージョンでは、ソースが粒子を放出し、それらを反対方向に送ります。各ペアを表す状態はエンタングルメントです。EPR シナリオのパラドックスは、どちらかの粒子に対して行われた測定によって、エンタングルメント システム全体の状態が明らかに崩壊することです。そして、測定結果に関する情報がもう一方の粒子に伝達される前に (情報は光より速く伝わらないものと仮定)、エンタングルメント ペアのもう一方の部分の測定の「適切な」結果が保証される前に、瞬時に崩壊します。量子力学の標準的な教科書の説明では、粒子の 1 つに対してスピン測定を実行すると、ペア全体の波動関数が崩壊し、各粒子が測定軸に沿って明確なスピン (上または下) を持つ状態になります。結果はランダムで、各可能性の確率は 50% です。ただし、両方のスピンが同じ軸に沿って測定された場合、それらは反相関していることがわかります。これは、1 つの粒子に対して行われた測定のランダムな結果が他の粒子に伝達され、その粒子も測定されたときに「正しい選択」を行えることを意味します。^{[引用が必要]}

測定の距離とタイミングは、2 つの測定の間隔が空間的になるように選択できるため、イベントを結び付ける因果効果は光よりも速く伝わる必要があります。特殊相対性理論の原理によれば、このような 2 つの測定イベント間で情報が伝わることはありません。どちらの測定が先であるかを判断することすらできません。空間的に離れた 2 つのイベントx ₁とx _2には、 x ₁が先である慣性系とx ₂が先である慣性系があります。したがって、2 つの測定の相関関係は、1 つの測定が他の測定を決定することで説明することはできません。異なる観察者間で原因と結果の役割について意見が一致しないからです。^[58]

このパラドックスを解決するには、量子論は不完全で、測定結果はあらかじめ決められた「隠れた変数」に依存すると仮定することが考えられます。^[59]測定される粒子の状態には隠れた変数がいくつか含まれており、その値によって分離の瞬間からスピン測定の結果が実質的に決まります。これは、各粒子が必要な情報をすべて持ち、測定時に粒子間で何も伝達する必要がないことを意味します。アインシュタインら (前のセクションを参照) は当初、これがパラドックスから抜け出す唯一の方法であり、受け入れられている量子力学的な記述 (ランダムな測定結果) は不完全でなければならないと考えていました。

しかし、局所隠れ変数理論は、異なる軸に沿ったエンタングルメント粒子のスピンの測定を考慮すると、うまくいかない。そのような測定が多数（エンタングルメント粒子の多数のペアに対して）行われた場合、統計的には、局所実在論または隠れ変数の見解が正しければ、結果は常にベルの不等式を満たす。多くの実験により、ベルの不等式は満たされないことが実際に示されている。^{[60] [61] [62]}さらに、エンタングルメント粒子の測定が、各測定（それぞれの相対論的時間枠内）が他の測定より先に行われるような移動する相対論的基準フレームで行われた場合、測定結果は相関したままである。^{[63] [37] : 321–324}

異なる軸に沿ったスピン測定に関する基本的な問題は、これらの測定値が同時に確定した値を持つことができないということである。つまり、これらの測定の最大同時精度は不確定性原理によって制約されるという意味で、それらは両立しない。これは、任意の数の特性を任意の精度で同時に測定できる古典物理学に見られるものとは対照的である。両立可能な測定ではベル不等式を破る相関を示すことができないことが数学的に証明されており、^[64]したがって、エンタングルメントは根本的に非古典的な現象である。

上で論じたように、エンタングルメントはベル不等式の破れを生み出すために必要である。しかし、エンタングルメントの存在だけでは不十分であり、^[65]ベル自身が1964年の論文で指摘している。^[31]これは、例えば、粒子のペアを記述する状態の族であるウェルナー状態によって実証される。特定のウェルナー状態をその完全な集合内で特定する重要なパラメータを適切に選択すると、ウェルナー状態はエンタングルメントを示す。しかし、ウェルナー状態によって記述される粒子のペアは、常に局所的な隠れた変数モデルを許容する。言い換えれば、これらの状態は、エンタングルメントを持っているにもかかわらず、ベル不等式の破れを増強することはできない。^[66]これは、粒子のペアからより大きな集合にも一般化できる。^[67]

ベル不等式の破れは、しばしば量子非局所性と呼ばれる。この用語には議論がないわけではない。^[68]非局所性という用語を使用すると、ベル不等式の破れは物理的で光より速い信号によって説明されなければならないという不当な含意を持つと主張されることがある。 ^[69]言い換えれば、局所的な隠れた変数モデルが量子力学を再現できないことは、必ずしも量子力学自体の真の非局所性の兆候ではない。^{[70] [71] [72]これらの留保にもかかわらず、}非局所性という用語は広く慣例となっている。^[69]

非局所性という用語は、局所的な隠れた変数モデルの非存在以外にも、状態を局所的な測定で区別できるかどうかなど、他の概念にも適用されることがある。^[73]さらに、量子場の理論は、空間的に分離された時空領域内で定義された観測量は交換可能でなければならないため、局所的であると言われることが多い。 ^{[65] [74]これらの}局所的および非局所的な他の用法については、ここではこれ以上説明しない。

以下のサブセクションでは、ブラケット表記法と量子力学の数学的定式化の論文で開発された形式論と理論的枠組みを使用します。

2つの任意の量子系AとBを考え、それぞれヒルベルト空間 H _AとH _Bを持つ。複合系のヒルベルト空間はテンソル積である。

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

最初のシステムが状態 で、2番目のシステムが状態 の場合、複合システムの状態は ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

この形式で表現できる複合システムの状態は、分離可能状態または積状態と呼ばれます。

すべての状態_が分離可能状態（つまり積状態）であるわけではない。H _Aの基底と H _Bの基底を固定する。H A ⊗ H _Bにおける最も一般的な状態は次の形式である。 ${\displaystyle \{|i\rangle _{A}\}}$${\displaystyle \{|j\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$。

この状態は、次のようなベクトルが存在する場合に分離可能です。また、任意のベクトルに対して、少なくとも 1 組の座標に対して次の式が成り立つ場合は、分離不可能です。状態が分離不可能な場合、その状態は「エンタングルメント状態」と呼ばれます。 ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$${\displaystyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$${\displaystyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$${\displaystyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$

たとえば、H _Aの2 つの基底ベクトルとH _Bの2 つの基底ベクトルが与えられた場合、次のエンタングルメント状態になります。 ${\displaystyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$${\displaystyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).}$

複合系がこの状態にある場合、系Aまたは系B のいずれかに明確な純粋状態を帰属させることは不可能である。別の言い方をすれば、状態全体のフォン・ノイマン・エントロピーはゼロであるが（純粋状態の場合と同様）、サブシステムのエントロピーはゼロより大きい。この意味で、系は「エンタングル」されている。これは干渉測定法に特有の経験的影響を及ぼす。^[75]上記の例は、（最大限に）エンタングルされた純粋状態（ H _A ⊗ H _B空間の純粋状態であるが、 H _AとH _Bのそれぞれの純粋状態に分離できない状態）である4つのベル状態のうちの1つである。

ここで、アリスがシステムAの観測者で、ボブがシステムBの観測者であると仮定する。上記のエンタングルメント状態でアリスがAの固有基底で測定を行うと、2 つの結果が等確率で発生する。アリスは結果 0 を得るか、結果 1 を得るかのどちらかである。アリスが結果 0 を得た場合、ボブの結果が 1 になることを確実に予測できる。同様に、アリスが結果 1 を得た場合、ボブの結果が 0 になることを確実に予測できる。言い換えれば、2 つの量子ビットの測定結果は完全に反相関する。これは、システムAとBが空間的に離れていても当てはまる。これが EPR パラドックスの基礎である。^{[46] : 113–114}${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

アリスの測定の結果はランダムです。アリスは複合システムをどの状態に崩壊させるか決定できず、したがってアリスのシステムに作用してボブに情報を伝えることはできません。したがって、この特定のスキームでは因果関係が保持されます。一般的な議論については、無通信定理を参照してください。

上で述べたように、量子システムの状態はヒルベルト空間の単位ベクトルによって与えられます。より一般的には、システムに関する情報が少ない場合、それを「アンサンブル」と呼び、密度行列（半正定値行列）または状態空間が無限次元でトレースが 1 であるトレースクラスによって記述します。また、スペクトル定理により、このような行列の一般的な形式は次のようになります。

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

ここで、w _iは正の値の確率（合計すると 1 になる）、ベクトルα _{i は}単位ベクトルであり、無限次元の場合、トレースノルムでそのような状態の閉包を取ります。ρは、状態が であるアンサンブルの割合であるアンサンブルを表すと解釈できます。混合状態のランクが 1 の場合、それは「純粋なアンサンブル」を表します。量子システムの状態に関する情報が全体よりも少ない場合、状態を表すために密度行列が必要になります。 ${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$

実験的には、混合アンサンブルは次のように実現できるかもしれない。観察者に向かって電子を吐き出す「ブラックボックス」装置を考えてみよう。電子のヒルベルト空間は同一である。装置は、すべて同じ状態の電子を生成するかもしれない。この場合、観察者が受け取る電子は純粋なアンサンブルである。しかし、装置は異なる状態の電子を生成することもできる。例えば、正のZ方向に揃ったスピンの状態を持つ電子集団と、負のY方向に揃ったスピンの状態を持つ電子集団の 2 つの電子集団を生成することができる。一般に、これは混合アンサンブルであり、それぞれが異なる状態に対応する任意の数の集団が存在する可能性がある。 ${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$

上記の定義に従うと、二部複合システムの場合、混合状態はH _A ⊗ H _B上の密度行列に過ぎない。つまり、一般的な形式は次のようになる。

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

ここで、w _iは正の値の確率、ベクトルは単位ベクトルです。これは自己随伴かつ正であり、トレースは 1 です。 ${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$

分離可能性の定義を純粋ケースから拡張すると、混合状態が次のように書ける場合、その混合状態は分離可能であると言える^{[76] ：131–132}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

ここで、w _{i は}正の値の確率であり、s およびs はそれぞれサブシステムAおよびB上の混合状態 (密度演算子) です。言い換えると、状態は、相関のない状態または積状態にわたる確率分布である場合に分離可能です。密度行列を純粋なアンサンブルの合計として書き、展開することにより、一般性を失うことなく、およびが純粋なアンサンブルであると仮定できます。状態が分離可能でない場合、その状態はエンタングルされていると言われます。 ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$

一般的に、混合状態がエンタングルメントされているかどうかを調べることは困難であると考えられています。一般的な二部構成のケースはNP困難であることが示されている。^[77] 2×2と2×3のケースでは、分離可能性の必要かつ十分な基準は、有名な正の部分転置（PPT）条件によって与えられます。^[78]

縮約密度行列の考え方は1930年にポール・ディラックによって導入された。 ^[79]上記のように、それぞれヒルベルト空間H _A、H _Bを持つシステムAとBを考える。複合システムの状態を

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

上で示したように、一般的には成分系Aに純粋状態を関連付ける方法はありません。しかし、密度行列を関連付けることは可能です。

${\displaystyle \rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$。

これはこの状態への射影演算子です。Aの状態は、システム_Bの基底上のρTの部分トレースです。

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

和は 上で発生し、内の恒等演算子は 上で発生します。ρ _{A は}、サブシステムA上のρの縮小密度行列と呼ばれることもあります。口語的には、システムB を「トレースアウト」して、A上の縮小密度行列を取得します。 ${\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle H_{A}}$

例えば、エンタングルメント状態における Aの縮約密度行列

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

上記で議論したのは

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right).}$

これは、予想通り、エンタングルメントされた純粋な集団の縮約密度行列が混合集団であることを示しています。また、驚くことではありませんが、上で議論した 純粋な積の状態のAの密度行列は、${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}}$。

一般に、二部純粋状態ρがエンタングルメント状態にあるのは、その縮約状態が純粋ではなく混合状態である場合のみである。^{[50] : 131}

量子情報理論では、エンタングルメント状態は「リソース」、つまり生成にコストがかかるが、価値のある変換を実装できるものと見なされます。^{[80] [81]}この観点が最も顕著に表れる設定は、「遠隔実験室」、つまり「A」と「B」というラベルの付いた 2 つの量子システムであり、それぞれに対して任意の量子操作を実行できますが、量子力学的には相互作用しません。許可される唯一の相互作用は古典情報の交換であり、最も一般的なローカル量子操作と組み合わせると、LOCC (ローカル操作と古典通信) と呼ばれる操作クラスが生成されます。これらの操作では、システム A と B の間でエンタングルメント状態を生成することはできません。ただし、A と B にエンタングルメント状態の供給が提供されると、これらと LOCC 操作を組み合わせることで、より大規模なクラスの変換が可能になります。

アリスとボブがエンタングルド状態を共有している場合、アリスは電話でボブに、自分の研究室にある量子状態を再現する方法を伝えることができます。アリスは、自分のエンタングルド状態の半分と一緒に の共同測定を行い、その結果をボブに伝えます。アリスの結果を使用して、ボブはエンタングルド状態の自分の半分を操作して と等しくなるようにします。アリスの測定は必然的にアリスの研究室にあるシステムの量子状態を消去するため、状態はコピーされるのではなく転送されます。このプロトコルを通じて、状態はボブの研究室に「テレポート」されると言われています。^{[46] : 27  [1] : 875  [82]}${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

エンタングルメント スワッピングは、テレポーテーションを応用して、相互作用したことのない 2 つの当事者がエンタングルメント状態を共有することです。まず、アリス、ボブ、キャロルの 3 つの当事者から始めます。アリスとボブはエンタングルメント状態を共有しており、ボブとキャロルも同様ですが、アリスとキャロルは共有していません。テレポーテーション プロトコルを使用して、ボブはアリスと共有しているエンタングルメント状態の半分をキャロルにテレポートします。テレポーテーションはエンタングルメントを維持するため、アリスとキャロルはエンタングルメント状態を共有することになります。^{[引用が必要]}

A の量子ビットと B の量子ビット間の相互作用は、まず A の量子ビットを B にテレポートし、次に B の量子ビットと相互作用させ (両方の量子ビットが B の研究室にあるため、これは LOCC 操作になります)、その後量子ビットを A にテレポートすることで実現できます。このプロセスでは、2 つの量子ビットの 2 つの最大限にエンタングルされた状態が消費されます。したがって、エンタングルされた状態は、LOCC のみが利用可能な設定で量子相互作用 (または量子チャネル) を実現できるようにするリソースですが、プロセスで消費されます。エンタングルメントをリソースと見なすことができる他のアプリケーションもあります。たとえば、プライベート通信や量子状態の区別などです。^[1]

すべての量子状態がリソースとして同等に価値があるわけではありません。この価値を定量化するには、各量子状態に数値を割り当てるさまざまなエンタングルメント測定 (以下を参照) を使用できます。ただし、量子状態を比較するには、より大まかな方法​​で落ち着くことが興味深い場合がよくあります。これにより、さまざまな分類スキームが生まれます。ほとんどのエンタングルメント クラスは、LOCC またはこれらの操作のサブクラスを使用して状態を他の状態に変換できるかどうかに基づいて定義されます。許可される操作のセットが小さいほど、分類は細かくなります。重要な例は次のとおりです。

• 2つの状態が局所ユニタリ演算によって互いに変換できる場合、それらは同じLUクラスにあると言われます。これは通常考慮されるクラスの中で最も細かいクラスです。同じLUクラスの2つの状態は、エンタングルメント測定に対して同じ値を持ち、遠隔ラボ設定のリソースとして同じ値を持ちます。無限の数の異なるLUクラスが存在します（純粋な状態の2つの量子ビットの最も単純なケースでさえ）。^{[84] [85]}
• 2 つの状態が、測定を含む局所操作によって 0 より大きい確率で相互に変換できる場合、それらは同じ「SLOCC クラス」（「確率的 LOCC」）にあると言われます。定性的には、同じ SLOCC クラスにある 2 つの状態とは同じくらい強力です（一方を他方に変換してから、それが許可していることを何でもできるため）。ただし、変換とが異なる確率で成功する可能性があるため、それらはもはや同じ価値を持ちません。たとえば、2 つの純粋な量子ビットの場合、SLOCC クラスは 2 つしかありません。つまり、エンタングル状態（（最大限にエンタングルされた）ベル状態と のような弱くエンタングルされた状態の両方を含む）と分離可能な状態（つまり のような積状態）です。^{[86] [87]}${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$
• 状態の単一コピーの変換（ など）を考慮する代わりに、複数コピーの変換の可能性に基づいてクラスを定義することができます。たとえば、 はLOCC によって不可能ですが、 は可能であるという例があります。非常に重要な（そして非常に大まかな）分類は、任意の多数の状態のコピーを少なくとも 1 つの純粋なエンタングルメント状態に変換できるかどうかという特性に基づいています。この特性を持つ状態は、蒸留可能と呼ばれます。これらの状態は、十分な数があれば、（ローカル操作で）任意のエンタングルメント状態に変換できるため、あらゆる用途が可能になるため、最も有用な量子状態です。すべてのエンタングルメント状態が蒸留可能ではないことは当初驚きでした。蒸留可能でないものは「束縛エンタングルメント」と呼ばれます。^{[88] [1]}${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$${\displaystyle \rho }$

異なるエンタングルメントの分類は、状態に存在する量子相関が A と B に何を可能にするかに基づいている。エンタングルメント状態を 3 つのサブセットに区別する: (1)非局所状態。これは、局所的な隠れた変数モデルでは説明できない相関を生成し、ベル不等式に違反する。 (2)操作可能な状態。これは、A が B の条件付き縮約状態を局所測定によって変更 (「操作」) するのに十分な相関を含み、A は B に対して、その状態が実際にエンタングルされていることを証明できる。最後に、(3) 非局所でも操作可能でもないエンタングルメント状態。これら 3 つのセットはすべて空ではない。^[89]

このセクションでは、混合状態のエントロピーと、それが量子もつれの尺度としてどのように見られるかについて説明します。

古典情報理論 では、シャノンエントロピーHは確率分布と次のように関連付けられている。^[90]${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$

${\displaystyle H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.}$

混合状態ρは集団全体の確率分布なので、フォン・ノイマン・エントロピーの定義は自然に次のようになる。

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).}$

一般に、ボレル関数計算は、log ₂ ( ρ )などの非多項式関数を計算するために使用します。非負演算子ρ が有限次元ヒルベルト空間に作用し、固有値を持つ場合、log ₂ ( ρ ) は、固有ベクトルは同じですが固有値が異なる演算子に過ぎません。シャノンエントロピーは次のようになります。 ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})}$

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}}$。

確率0の事象はエントロピーに寄与しないはずであり、

${\displaystyle \lim _{p\to 0}p\log p=0,}$

慣例的に0 log(0) = 0が採用される。これは無限次元の場合にも拡張される。ρがスペクトル分解能を持つ場合

${\displaystyle \rho =\int \lambda dP_{\lambda },}$

計算時に同じ規則を想定する

${\displaystyle \rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda \ dP_{\lambda }.}$

統計力学と同様に、システムが持つべき不確実性（ミクロ状態の数）が多ければ多いほど、エントロピーは大きくなります。たとえば、純粋状態のエントロピーはゼロですが、純粋状態のシステムには不確実性が存在しないため、これは驚くべきことではありません。上で説明したエンタングル状態の 2 つのサブシステムのいずれのエントロピーもlog(2)です（これは2 × 2混合状態の最大エントロピーであることが示されます）。

エントロピーは、エンタングルメントを定量化するために使用できる1つのツールを提供しますが、他のエンタングルメントの尺度も存在します。^{[91] [92]}システム全体が純粋であれば、1つのサブシステムのエントロピーを使用して、他のサブシステムとのエンタングルメントの度合いを測定できます。2部構成の純粋状態の場合、縮小状態のフォンノイマンエントロピーは、エンタングルメントの尺度に必要な特定の公理を満たす状態のファミリー上の唯一の関数であるという意味で、エンタングルメントの唯一の尺度です。^[93]

シャノンエントロピーが最大になるのは、一様確率分布{1/ n , ..., 1/ n }のときだけであるというのは古典的な結果である。したがって、二部純粋状態ρ ∈ H _A ⊗ H _Bは、 ρの各サブシステムの縮約状態が対角行列である とき、最大エンタングルメント状態であると言われる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.}$

混合状態の場合、減少したフォン・ノイマン・エントロピーは、唯一の合理的なエンタングルメントの尺度ではありません。

余談だが、情報理論的定義は統計力学の意味でのエントロピーと密接に関係している^{[55] : 260–270} （現在の文脈で2つの定義を比較する場合、ボルツマン定数 k = 1に設定するのが通例である）。例えば、ボレル関数解析の特性により、任意のユニタリ演算子 Uに対して、

${\displaystyle S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).}$

実際、この特性がなければ、フォン・ノイマン・エントロピーは明確に定義されないでしょう。

特に、Uはシステムの時間発展演算子である可能性があり、つまり、

${\displaystyle U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),}$

ここで、Hはシステムの ハミルトニアンです。ここではエントロピーは変化しません。

レニエントロピーはエンタングルメントの尺度としても使用できる。^[94]

エンタングルメントの尺度は、（しばしば二部構成とみなされる）量子状態におけるエンタングルメントの量を定量化する。前述のように、エンタングルメントエントロピーは純粋状態のエンタングルメントの標準的な尺度である（しかし混合状態のエンタングルメントの尺度ではなくなった）。混合状態については、文献^[91]にいくつかのエンタングルメント尺度があり、標準的なものは一つもない。

• エンタングルメントコスト
• 蒸留可能な絡み合い
• 形成の絡み合い
• 同意
• エンタングルメントの相対エントロピー
• 押しつぶされた絡み合い
• 対数の負性

これらのエンタングルメント尺度のほとんど（すべてではない）は、純粋状態に対してはエンタングルメントエントロピーに還元され、エンタングルメントシステムの次元が大きくなるにつれて混合状態に対しては計算が困難（ NP困難）になる。 ^[95]

量子場理論のレー・シュライダー定理は、量子もつれの類似物として見られることがあります。

エンタングルメントは量子情報理論において多くの応用があります。エンタングルメントの助けを借りれば、他の方法では不可能なタスクを達成できる可能性があります。

エンタングルメントの最もよく知られた応用としては、超高密度符号化と量子テレポーテーションがある。^[96]

ほとんどの研究者は、量子コンピューティングを実現するためにはエンタングルメントが必要であると信じている（ただし、これには異論もある）。^[97]

エンタングルメントは量子暗号のいくつかのプロトコルで使用されていますが、^{[98] [99]標準的な仮定の下で}量子鍵配送（QKD）の安全性を証明するためにエンタングルメントは必要ありません。^[100]しかし、通信相手間のエンタングルメントを利用することで、QKDのデバイスに依存しない安全性が示されています。^[101]

2014年8月、ウィーン大学のブラジル人研究者ガブリエラ・バレット・レモスとそのチームは、対象物と相互作用していないが、そのような対象物と相互作用した光子とエンタングルメントした光子を使用して、対象物の「写真を撮る」ことに成功した。^[102]このアイデアは、赤外線に鈍感な標準カメラのみを使用して赤外線画像を作成するために採用されている。^[103]

理論や実験で頻繁に現れる標準的なエンタングルメント状態がいくつかあります。

2量子ビットの場合、ベル状態は

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

これら 4 つの純粋状態はすべて最大限にエンタングルメントされており (エンタングルメントのエントロピーに従って)、 2 つの量子ビットのヒルベルト空間の正規直交 基底 (線型代数)を形成します。これらはベルの定理において基本的な役割を果たします。

M > 2量子ビットの場合、GHZ状態は

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

これはM = 2のベル状態に帰着します。従来の GHZ 状態はM = 3に対して定義されました。GHZ 状態は、2 次元ではなく d次元のシステムである量子ドットに拡張されることがあります。${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

また、 M > 2量子ビットの場合、スピンスクイーズ状態が存在する。これは、スピン測定の不確実性に関する一定の制限を満たすスクイーズされたコヒーレント状態のクラスであり、必然的にエンタングルメントされている。^[104]スピンスクイーズ状態は、量子エンタングルメントを使用して精密測定を強化するための良い候補である。^[105]

2つのボソンモードの場合、NOON状態は

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}},}$

これはベル状態に似ていますが、基底ケット 0 と 1 が「N個の光子が 1 つのモードにある」および「N個の光子が他のモードにある」に置き換えられています。 ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$

最後に、ボソンモードには双子フォック状態も存在する。これは、ビームスプリッターにつながる2つのアームにフォック状態を供給することによって生成される。これらはNOON状態の倍数の合計であり、ハイゼンベルク限界を達成するために使用できる。^[106]

適切に選択されたエンタングルメントの尺度では、ベル、GHZ、および NOON 状態は最大限にエンタングルメントされますが、スピン スクイーズ状態とツイン フォック状態は部分的にしかエンタングルメントされません。部分的にエンタングルメントされた状態は、一般に実験的に準備するのが簡単です。

エンタングルメントは通常、素粒子間の直接的な相互作用によって生成されます。これらの相互作用はさまざまな形をとることができます。最も一般的に使用される方法の 1 つは、偏光でエンタングルされた光子のペアを生成するための自発的なパラメトリック ダウンコンバージョンです。 ^{[1] [107]}その他の方法としては、ファイバー カップラーを使用して光子を閉じ込めて混合する方法、量子ドット内の双励起子の崩壊カスケードから放出された光子を使用する方法、^[108]またはホン・オウ・マンデル効果を使用する方法などがあります。電子と陽電子などの粒子とその反粒子の量子エンタングルメントは、ハーディの干渉計で対応する量子波動関数の部分的な重なりによって作成できます。^{[109] [110]ベルの定理の最も初期のテストでは、エンタングルされた粒子は}原子カスケードを使用して生成されました。^[33]

エンタングルメントスワッピングを使用することで、直接相互作用したことのない量子システム間でエンタングルメントを作成することも可能です。独立して準備された2つの同一の粒子は、それらの波動関数が空間的に少なくとも部分的に重なり合うだけでもエンタングルメントになる可能性があります。^[111]

密度行列ρ は、積状態の凸和、つまり確率として表すことができる場合、分離可能と呼ばれます 。定義により、分離可能でない場合は、状態はエンタングルされています。 $${\displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$$${\displaystyle 0\leq p_{j}\leq 1}$

2量子ビットおよび量子ビット-量子ビットシステム（それぞれ2 × 2および2 × 3）の場合、単純なペレス-ホロデッキ基準は、分離可能性の必要基準と十分基準の両方を提供し、したがって、意図せずにエンタングルメントを検出することもできます。ただし、一般的なケースでは、基準は分離可能性の必要基準にすぎず、一般化すると問題がNP困難になるためです。^{[112] [113]}その他の分離可能性基準には、範囲基準、削減基準、および不確実性関係に基づく基準が含まれますが、これらに限定されません。^{[114] [115] [116] [117]}離散変数システムにおける分離可能性基準のレビューについては文献^[118]を、離散変数システムにおける実験的なエンタングルメント認証の手法と課題のレビューについては 文献^[119]を参照してください。

この問題に対する数値的アプローチは、ジョン・マグネ・レイナス、ヤン・ミルハイム、エイリク・オヴラムの論文「エンタングルメントの幾何学的側面」で提案されている。^[120]レイナスらは、推定された分離可能な状態をテスト対象の目標状態に向けて反復的に改良し、目標状態に実際に到達できるかどうかを確認する数値的アプローチを提案している。

連続変数システムでは、ペレス・ホロデッキ条件も適用されます。具体的には、サイモン^[121]は、ペレス・ホロデッキ条件の特定のバージョンを正準演算子の2次モーメントの観点から定式化し、それが-モードガウス状態に対して必要かつ十分であることを示しました（一見異なるが本質的に同等のアプローチについては、文献[122]を参照）。後に、^{サイモンの}条件は-モードガウス状態に対しても必要かつ十分であるが、-モードガウス状態に対してはもはや十分ではないことが判明しました[123] 。サイモンの条件は、正準演算子の高次モーメントを考慮に入れることで一般化できます^{[124] [125]}またはエントロピー測定を使用します。^{[126] [127]}${\displaystyle 1\oplus 1}$${\displaystyle 1\oplus n}$${\displaystyle 2\oplus 2}$

2016年8月16日、中国の酒泉衛星発射センターから世界初の量子通信衛星が打ち上げられた。これは宇宙規模量子実験（QUESS）ミッションで、古代中国の哲学者にちなんで「墨子」と名付けられている。この衛星は、地球と宇宙間の量子通信の実現可能性を実証し、前例のない距離での量子もつれをテストすることを目的としていた。^[128]

2017年6月16日発行のサイエンス誌で、Yinらは、量子もつれ距離の新記録である1,203 kmを樹立したと報告し、2光子対の存続とベル不等式の破れを実証し、CHSH評価が2.37 ± 0.09、厳密なアインシュタイン局所性条件下で、墨子衛星から雲南省麗江と青海省徳玲哥の基地まで伝送され、従来の光ファイバー実験に比べて伝送効率が1桁向上しました。^{[129] [130]}

2023年にLHCは量子トモグラフィーの技術を使用して、これまでで最も高いエネルギーでのエンタングルメントを測定しました。 ^{[131] [132] [133]}これは、2021年に初めて提案された理論的研究に基づく、量子情報と高エネルギー物理学のまれな交差点です。 ^[134]この実験は、トップクォーク対生成のスピンを測定するATLAS検出器によって実行され、効果は5σ以上の有意水準で観測されました。トップクォークは既知の粒子の中で最も重いため、寿命が非常に短いです（≈${\displaystyle \tau }$10 ⁻²⁵ 秒）であり、ハドロン化（約 10 ⁻²³  s）およびスピン非相関（~ 10 ⁻²¹  s）であるため、スピン情報は検出器によって捕捉されるレプトン崩壊生成物にほとんど損失なく伝達される。^[135]粒子のスピン偏極と相関が測定され、同時性およびペレス-ホロデッキ基準によるエンタングルメントがテストされ、その後CMS検出器でもその効果が確認された。^{[136] [137]}

量子力学における時間の概念の使われ方と、一般相対性理論における時間の概念の役割の間には、時間の問題と呼ばれる根本的な矛盾がある。標準的な量子理論では、時間は状態が進化する独立した背景として機能するが、一般相対性理論では、時間は物質と直接関係する動的変数として扱われる。時間に対するこれらのアプローチを調和させる努力の一部は、ホイーラー・デウィット方程式に帰結し、これは、宇宙の状態が通常の経験とは反対に、時間がない、または静的であると予測する。^[138]ドン・ペイジとウィリアム・ウッターズ によって開始された研究^{[139] [140] [141]}は、宇宙内の進化するシステムと時計システムの間のエネルギーのエンタングルメントにより、宇宙は内部の観測者には進化しているように見えることを示唆している。^{[138]このようにして、システム全体は時間を超越したまま、部分がエンタングルメントを介して時間を経験することができる。この問題は、}量子重力理論の試みと密接に関連する未解決の問題のままである。^{[142] [143]}

一般相対性理論では、重力は時空の曲率から生じ、その曲率は物質の分布から生じる。しかし、物質は量子力学によって支配されている。これら2つの理論の統合には多くの問題が伴う。反ド・ジッター空間と呼ばれる（非現実的な）モデル空間では、AdS/CFT対応により、量子重力系を重力のない量子場理論に関連付けることができる。^[144]この対応を使用して、マーク・ヴァン・ラームスドンクは、時空は、絡み合って時空の境界に存在する量子自由度の創発現象として生じると示唆した。 ^[145]

2020年に研究者らは、ミリメートルサイズの機械振動子の運動と原子雲の離れたスピン系との間の量子もつれを報告した。 ^{[146] [147]}その後の研究では、2つの機械振動子を量子もつれさせることでこの研究を補完した。^{[148] [149] [150]}

2018年10月、物理学者は、生体、特に生きた細菌内の光合成分子と量子化された光との間で量子もつれを生成することを報告した。^{[151] [152]}

生物（緑色硫黄細菌）は、相互作用しない光モード間の量子もつれを作り出す媒介物として研究されており、光と細菌モード間の高度なもつれを示し、ある程度は細菌内部のもつれさえも示している。^[153]

• Scientific American誌による解説ビデオ
• 光子対のエンタングルメント実験 – インタラクティブ
• オーディオ – ケイン/ゲイ (2009) 天文学キャスト エンタングルメント
• 「遠隔地での不気味な作用？」：オッペンハイマー講演、デイビッド・マーミン教授（コーネル大学）カリフォルニア大学バークレー校、2008 年。YouTube の非数学的な人気講演、2008 年 3 月投稿
• 「量子もつれと古典相関」（インタラクティブなデモンストレーション）