量子トモグラフィー

量子トモグラフィーまたは量子状態トモグラフィーは、同一の量子状態の集合に対する測定を使用して量子状態を再構成するプロセスです。^{[1]これらの状態のソースは、量子状態を一貫して量子}純粋状態または一般的な混合状態に準備する任意のデバイスまたはシステムです。状態を一意に識別できるようにするには、測定がトモグラフィー的に完全でなければなりません。つまり、測定された演算子は、システムのヒルベルト空間上の演算子 基底を形成し、状態に関するすべての情報を提供する必要があります。このような観測セットは、クォーラムと呼ばれることもあります。トモグラフィーという用語は、実験的光ホモダイントモグラフィーを紹介した1993年の論文で量子物理学の文献で初めて使用されました。^[2]

一方、量子プロセストモグラフィーでは、既知の量子状態を使用して量子プロセスを調べ、そのプロセスがどのように記述されるかを調べます。同様に、量子測定トモグラフィーは、どのような測定が実行されているかを調べます。一方、ランダム化ベンチマークは、エラーが発生しやすい物理的な量子プロセスとその理想的な対応物との間の重なりの性能指数をスケーラブルに取得します。

量子状態トモグラフィーの一般的な原理は、同一の密度行列で記述された量子システムに対して多くの異なる測定を繰り返し実行することにより、頻度カウントを使用して確率を推測し、これらの確率をボルンの規則と組み合わせて、観測結果に最も適合する 密度行列を決定するというものです。

これは古典的な類推をすれば簡単に理解できます。調和振動子（例えば振り子）を考えてみましょう。振動子の任意の点における位置と運動量を測定できるため、その運動は位相空間によって完全に記述できます。これを図 1 に示します。多数の同一の振動子に対してこの測定を実行すると、位相空間における確率分布が得られます（図 2）。この分布は正規化可能（振動子は特定の時間にどこかにある必要がある）であり、分布は非負でなければなりません。したがって、特定の運動量で特定の点で粒子が見つかる可能性を説明する関数を取得しました。 ${\displaystyle W(x,p)}$

量子力学的な粒子についても、同じことを行うことができます。唯一の違いは、ハイゼンベルクの不確定性原理に違反してはならないことです。つまり、粒子の運動量と位置を同時に測定することはできません。粒子の運動量と位置は、量子関連状態では求積法と呼ばれます (詳細については、光位相空間を参照してください)。多数の同一の量子状態の求積法の 1 つを測定すると、その特定の求積法に対応する確率密度が得られます。これは、周辺分布、または と呼ばれます(図 3 を参照)。次のテキストでは、この確率密度が粒子の量子状態を特徴付けるために必要であり、それが量子トモグラフィーの要点であることがわかります。${\displaystyle \mathrm {pr} (X)}$${\displaystyle \mathrm {pr} (P)}$

量子トモグラフィーは、システムのソースに適用され、そのソースの出力の量子状態を決定します。測定後にシステムの現在の状態を決定する単一システムの測定とは異なり (通常、測定を行う行為によって量子状態が変わります)、量子トモグラフィーは測定前の状態を決定します。

量子トモグラフィーは、光デバイスの信号利得と損失の測定を含む光信号の特性評価に使用できるほか、^[3]量子コンピューティングや量子情報理論では、量子ビットの実際の状態を確実に判断するためにも使用できます。^{[4] [5]}ボブという人物が、同じ量子状態にある同一のオブジェクト（粒子または場）を多数用意し、それをアリスに渡して測定させる状況を想像してみてください。ボブの状態の説明に自信が持てないアリスは、量子トモグラフィーを行って自分で状態を分類したいと考えるかもしれません。

ボルンの法則を使用すると、最も単純な形式の量子トモグラフィーを導くことができます。一般に、純粋な状態にあるかどうかは事前にはわかりません。状態が混合している場合もあります。この場合、さまざまな種類の測定をそれぞれ何度も実行する必要があります。有限次元ヒルベルト空間内の混合状態の密度行列を完全に再構築するには、次の手法を使用できます。

ボルンの法則によれば、 は特定の測定結果の投影であり、はシステムの密度行列です。各測定の観測値のヒストグラムが与えられれば、各 に対する の近似値が得られます 。 ${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )=\mathrm {トレース} (E_{i}\rho )}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )}$${\displaystyle E_{i}}$

線形演算子 とが与えられたとき、内積を定義する。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle S\cdot T=\mathrm {Tr} [S^{\dagger }T]={\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$

ここで、は演算子を列ベクトルと行ベクトルとして表現したもので、 は2 つの ベクトルの内積です。${\displaystyle {\vec {T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

行列を次のように 定義する${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}}$。

ここで、E _{i は}個々の測定値（バイナリ結果を持つ）の固定リストであり、A は一度にすべての測定を実行します。

これを に適用すると、確率は次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{2}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{3}|\rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}}$。

線形反転は、観測された相対頻度を使用してこのシステムを反転し、（ と同型）を導出することに対応します。 ${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle {\vec {\rho }}}$${\displaystyle \displaystyle \rho }$

このシステムは一般に正方ではありません。なぜなら、行われる各測定に対して、複数の測定結果の射影子 が通常存在するからです。たとえば、3 つの測定がある2 次元ヒルベルト空間では、各測定には 2 つの結果があり、それぞれに射影子E _iがあり、射影子は 6 個ですが、密度行列の空間の実際の次元は (2⋅2 ² )/2=4 なので、6 x 4 になります。このシステムを解くには、左側にを掛けます。 ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{T}}$

${\displaystyle A^{T}A{\vec {\rho }}=A^{T}{\vec {p}}}$。

ここで を解くと擬似逆行列 が得られます。 ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {\rho }}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}{\vec {p}}}$。

これは、測定リストE _iがトモグラフィー的に完全な場合にのみ一般的に機能します。そうでない場合、行列は逆行列になりません。 ${\displaystyle A^{T}A}$

無限次元ヒルベルト空間、例えば位置などの連続変数の測定では、方法論はやや複雑になります。注目すべき例の1つは、光ホモダイントモグラフィーとして知られる光のトモグラフィーです。バランスのとれたホモダイン測定を使用すると、光の状態のウィグナー関数と密度行列を導出できます。^[6]

1つのアプローチは、位相空間における異なる回転方向に沿った測定を伴う。各方向 について、位相空間 の方向における測定の確率密度の確率分布を求めると、値 が得られる。逆ラドン変換（フィルタ補正逆投影）を に適用すると、ウィグナー関数、、^{[7]が得られ、これは}逆フーリエ変換によって任意の基底 における状態の密度行列に変換できる。 ^{[5]同様の手法は}、医療用断層撮影でもよく使用される。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle w(q,\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle q}$${\displaystyle w(q,\theta )}$${\displaystyle \mathrm {W} (x,p)}$

単一量子ビットの密度行列は、ブロッホベクトル とパウリベクトルで表すことができます。 ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+r_{z}&r_{x}-\mathrm {i} r_{y}\\r_{x}+\mathrm {i} r_{y}&1-r_{z}\end{pmatrix}}}$。

単一量子ビット状態トモグラフィーは単一量子ビットパウリ測定によって実行できる。^[8]

1. まず、3 つの量子回路のリストを作成します。最初の回路は計算基底 ( Z基底) で量子ビットを測定し、2 番目の回路は測定前にアダマール ゲートを実行し (これによりX基底で測定が行われます)、3 番目の回路は適切な位相シフト ゲート(つまり) を実行し、その後に測定前にアダマール ゲートを実行します (これによりY基底で測定が行われます)。${\displaystyle {\sqrt {Z}}^{\dagger }=|0\rangle \langle 0|+\exp(-\mathrm {i} \pi /2)|1\rangle \langle 1|}$
2. 次に、これらの回路を（通常は数千回）実行し、最初の回路の測定結果のカウントから、2 番目の回路、3 番目の回路が生成されます。${\displaystyle {\bar {z}}=(n_{z,+}-n_{z,-})/(n_{z,+}+n_{z,-})}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {y}}}$
3. 最後に、の場合、測定ブロッホベクトルは として生成され、測定密度行列は です。 の場合、測定ブロッホベクトルを使用して測定密度行列を計算する前に、それを として再正規化する必要があります。${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}\leq 1}$${\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})}$${\displaystyle \rho _{m}={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}_{m}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}$${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}>1}$${\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})/{\sqrt {{\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}}}}$

このアルゴリズムは量子ビットトモグラフィーの基礎であり、Qiskitのようないくつかの量子プログラミングルーチンで使用されています。^{[9] [10]}

電磁場の振幅 (直交位相) は、光検出器と時間モード選択性を組み合わせて使用​​することで、高効率で測定できます。バランス型ホモダイン トモグラフィーは、光領域で量子状態を再構築する信頼性の高い手法です。この手法は、光の強度または光子数を測定するフォトダイオードの高効率の利点と、ホモダイントモグラフィー検出器と呼ばれる巧妙なセットアップによる光の量子特性の測定を組み合わせています。

量子ホモダイン・トモグラフィーは、次の例で理解できます。レーザーを50-50%ビームスプリッターに向け、レーザービームを 2 つのビームに分割します。1 つは局部発振器(LO) として使用され、もう 1 つは特定の量子状態の光子を生成するために使用されます。量子状態の生成は、たとえばレーザービームを周波数倍増 結晶^[11]に通してからパラメトリック・ダウンコンバージョン結晶に向けることで実現できます。この結晶は、特定の量子状態の光子を 2 つ生成します。光子の 1 つは、ホモダイン・トモグラフィー検出器の読み出しイベントをトリガー (開始) するためのトリガー信号として使用されます。もう 1 つの光子は、量子状態を再構築するためにホモダイン・トモグラフィー検出器に向けられます。トリガー光子と信号光子はエンタングルメントされているため(これは自発的パラメトリック ダウンコンバージョンの記事で説明されています)、トリガー光子が光検出器 (トリガー イベント読み出しモジュール) に衝突し、実際に測定された場合にのみ、信号状態の光モードが非局所的に生成されることを認識することが重要です。簡単に言えば、トリガー光子が測定された場合にのみ、信号光子をホモダイン検出器で測定できます。

ここで、図 4 に示すホモダイン トモグラフィー検出器について考えます (図はありません)。信号光子 (再構築する量子状態) は、50-50%ビームスプリッタに向けられると、局部発振器と干渉します。2 つのビームは、いわゆるマスターレーザーから発信されるため、同じ固定位相関係を持ちます。局部発振器は、信号に比べて強力でなければならないため、正確な位相基準となります。局部発振器は非常に強力であるため、古典的に扱い (a = α)、量子ゆらぎを無視できます。信号場は、形状が制御された局部発振器によって空間的および時間的に制御されます。局部発振器がゼロの場合、信号は拒否されます。したがって、信号の時間的 - 空間的モード選択性が得られます。ビームスプリッタは、2 つのビームを 2 つの光検出器にリダイレクトします。光検出器は、光子数に比例した電流を生成します。 2 つの検出器電流が減算され、結果として得られる電流は、信号と局部発振器の相対的な光位相に応じて、信号モードの 電界演算子に比例します。

局部発振器の電界振幅は信号の電界振幅よりもはるかに高いため、信号場の強度または変動が見られます。ホモダイン断層撮影システムは増幅器として機能します。このシステムは、信号内の単一光子による干渉の不均衡が測定可能なほどの高強度の参照ビーム (局部発振器) を備えた干渉計と見なすことができます。この増幅は、光検出器のノイズ フロアをはるかに上回っています。

測定は多数回繰り返されます。次に、信号と局部発振器の位相差を変更して、位相空間で異なる角度を「スキャン」します。これは図 4 からわかります。測定は多数回繰り返され、現在の差から周辺分布が取得されます。周辺分布は、密度行列および/またはウィグナー関数に変換できます。密度行列とウィグナー関数は光子の量子状態に関する情報を与えるため、光子の量子状態を再構築しました。

このバランスのとれた検出方法の利点は、この配置がレーザーの強度の変動の影響を受けないことです。

電流差から直交成分を取得するための量子計算は次のように実行されます。

ビームスプリッターの後のフォトディテクタに当たるビームの光子数演算子は次のように表さ れます 。

${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$、

ここで i はそれぞれビーム 1 と 2 を表す 1 と 2 です。ビームスプリッターから出力されるフィールドのモード演算子は次のように表されます。

${\displaystyle {\hat {a}}_{1}=2^{-1/2}({\hat {a}}-\alpha _{LO})}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{2}=2^{-1/2}({\hat {a}}+\alpha _{LO})}$

は信号の消滅演算子を表し、アルファは局部発振器の複素振幅を表します。光子の差の数は最終的に直交に比例し、次のように表されます。 ${\displaystyle {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}={\hat {n}}_{2}-{\hat {n}}_{1}=\alpha _{LO}^{*}{\hat {a}}+\alpha _{LO}{\hat {a}}^{\dagger }}$、

これを次の関係式で書き直すと次のようになります。

${\displaystyle {\hat {q}}=2^{-1/2}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})}$

次の関係が生まれます。

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}=2^{1/2}|{\hat {\alpha }}_{LO}|{\hat {q}}_{\theta }}$、

ここで、光子数の差と直交成分の間には明確な関係があることがわかります。合計電流を追跡することで、局部発振器の強度に関する情報を取得できます。これは通常、未知の量ですが、直交成分を計算するための重要な量です。 ${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$

密度行列を解くために線形反転を使用する際の主な問題の 1 つは、計算された解が一般に有効な密度行列にならないことです。たとえば、特定の測定結果に対して負の確率または 1 より大きい確率を与える可能性があります。これは、測定回数が少ない場合に特に問題となります。

もう一つの問題は、無限次元ヒルベルト空間では、無限の数の測定結果が必要になることです。構造について仮定を立て、有限の測定基底を使用すると、位相空間密度にアーティファクトが生じます。^[5]

最大尤度推定(MLE または MaxLik とも呼ばれる) は、線形反転の問題に対処するための一般的な手法です。密度行列のドメインを適切な空間に制限し、実験結果を与える尤度を最大化する密度行列を検索することで、データに密接に適合しながら状態が理論的に有効であることを保証します。状態の尤度は、システムがその状態にあった場合に観測結果に割り当てられる確率です。

測定が頻度で観測されたと仮定すると、状態に関連する尤度は ${\displaystyle \{|y_{j}\rangle \langle y_{j}|\}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

${\displaystyle L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle ^{f_{j}}}$

ここで、 は状態 の結果の確率です。 ${\displaystyle \langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle }$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

この関数の最大値を見つけることは簡単ではなく、一般的には反復法が必要になります。^{[12] [13]}この方法は活発に研究されています。

最尤推定法は、線形反転法ほど明白ではない問題を抱えている。1 つの問題は、データでは正当化できない確率について予測を行うことである。これは、ゼロ固有値の問題を見ると簡単にわかる。MLE を使用して計算された解には、多くの場合、0 である固有値、つまりランク不足が含まれる。これらの場合、解はn 次元ブロッホ球面の境界上に存在する。これは、線形反転法が有効な空間 (ブロッホ球面) の外側にある状態を与えることに関連していると考えられる。これらの場合、MLE は有効な近くの点を選択し、最も近い点は一般に境界上に存在する。^[4]

これは物理的には問題ではなく、実際の状態では固有値がゼロになる可能性がある。しかし、0 未満の値はあり得ないため、固有値が 0 であると推定することは、推定者が値が 0 であると確信していることを意味する。そうでなければ、最良の推定値として、わずかな不確実性を伴う 0 より大きい値を推定することになる。ここで問題が発生する。つまり、有限回数の測定後に、任意の固有値 (つまり、特定の結果の確率) が 0 であると絶対的な確信を持って結論付けることは論理的ではない。たとえば、コインを 5 回投げて、毎回表が観測された場合、それがコインの最も可能性の高い説明であるにもかかわらず、裏が出る確率が 0 であることを意味するわけではない。^[4]${\displaystyle \epsilon }$

ベイズ平均推定 (BME) は、最大尤度推定の問題に対処する比較的新しいアプローチです。推定にエラー バーを含めるという点で正直でもある最適なソリューションを見つけることに重点を置いています。一般的な考え方は、尤度関数と実験者の事前知識を表す関数 (定数関数の場合もあります) から開始し、尤度関数と事前知識関数の積を重みとして使用して、すべての密度行列を積分することです。

妥当な事前知識関数が与えられれば、BMEは厳密にn次元ブロッホ球面内の状態を生成します。前述のように、N回コインを投げてN回表が出る場合、一定の事前知識関数があれば、BMEは裏の確率として割り当てます。 ^[4]${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{N+2}}}$

BMEは、推定値と実際の状態との運用上の乖離を最小限に抑えるという点で、高い精度を提供します。 ^[4]

多粒子システムの完全な量子状態トモグラフィーに必要な測定回数は粒子の数に応じて指数関数的に増加するため、システムサイズがそれほど大きくなくてもこのような手順は不可能になります。そのため、より少ない測定回数で量子トモグラフィーを実現するいくつかの方法が開発されてきました。

行列補完と圧縮センシングの概念は、不完全な測定セット（つまり、定足数ではない測定セット）から密度行列を再構築するために適用されてきました。一般的にこれは不可能ですが、仮定（たとえば、密度行列が純粋な状態である場合、またはいくつかの純粋な状態の組み合わせである場合）の下では、密度行列の自由度が少なくなり、不完全な測定から状態を再構築できる可能性があります。^[14]

順列不変量子トモグラフィー^[15] は、主に順列対称に近い状態のために開発された手法であり、これは今日の実験では一般的である。2状態粒子の場合、必要な測定回数は粒子数の2乗に比例する。 ^[16] 測定の労力がそれほどかからないだけでなく、測定データの処理も効率的に行うことができる。大規模なシステムであっても、測定データに物理的密度行列を当てはめることが可能である。 ^[17] 順列不変量子トモグラフィーは、6量子ビットの光子実験で圧縮センシングと組み合わせられている。^[18]

装置が量子システムに対して何らかの測定を行い、どのような測定が望まれるかを決定する状況を想像することができます。その戦略は、さまざまな既知の状態のシステムを送信し、これらの状態を使用して未知の測定の結果を推定することです。「量子推定」とも呼ばれるトモグラフィー技術は、量子測定トモグラフィーや非常によく似た量子状態トモグラフィーなどの技術を含め、ますます重要になっています。測定は常にPOVMのセットによって特徴付けられるため、目標は特徴的なPOVMを再構築することです。最も単純なアプローチは線形反転です。量子状態観察と同様に、 ${\displaystyle \Pi _{l}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} [\Pi _{l}\rho _{m}]=\mathrm {P} (l|\rho _{m})}$。

上記の線形性を利用すると、これを逆転させて を解くことができます。 ${\displaystyle \Pi _{l}}$

当然のことながら、これは量子状態トモグラフィーと同じ落とし穴に陥っています。つまり、非物理的な結果、特に負の確率です。ここでは、は正ではないため、有効なPOVMではありません。ベイズ法や密度行列の最大尤度推定を使用して、演算子を有効な物理的結果に制限することができます。^[19]${\displaystyle \Pi _{l}}$

量子プロセストモグラフィー（QPT）は、未知の量子動的プロセスを識別することを目的とする。1996年に導入され、標準量子プロセストモグラフィー（SQPT）とも呼ばれる最初のアプローチでは、量子状態の集合を準備し、それをプロセスに送り、量子状態トモグラフィーを使用して結果の状態を識別する。^[20]その他の技術には、補助支援プロセストモグラフィー（AAPT）やエンタングルメント支援プロセストモグラフィー（EAPT）があり、これらはシステムの追加コピーを必要とする。^[21]

上記の各技術は、量子ダイナミクスの特性評価のための間接的な方法として知られています。これは、プロセスを再構築するために量子状態トモグラフィーを使用する必要があるためです。対照的に、状態トモグラフィーを使用せずに量子システムの完全な特性評価を提供する量子ダイナミクスの直接特性評価（DCQD）などの直接的な方法があります。 ^[22]

完全な量子プロセストモグラフィーに必要な実験構成（状態準備と測定）の数は、システムを構成する粒子の数とともに指数関数的に増加します。その結果、一般的に、QPTは大規模な量子システムでは不可能なタスクです。ただし、弱いデコヒーレンス仮定の下では、量子動的マップはスパース表現を見つけることができます。圧縮量子プロセストモグラフィー（CQPT）の方法は、圧縮センシング技術を使用し、スパース仮定を適用して、不完全な測定セットまたはテスト状態準備から量子動的マップを再構築します。^[23]

量子過程は量子力学写像とも呼ばれ、完全な正の写像で記述できる。${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}$、

ここで、 はヒルベルト空間上の有界演算子であり、となる演算要素を持つ。 ${\displaystyle \rho \in {\mathcal {B(H)}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i}A_{i}^{\dagger }A_{i}\leq I}$${\displaystyle \mathrm {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$

を の直交基底とする。この基底における演算子 を書き表す。${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B(H)}}}$${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=\sum _{m}a_{im}E_{m}}$。

これは

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{m,n}\chi _{mn}E_{m}\rho E_{n}^{\dagger }}$、

どこ。 ${\displaystyle \chi _{mn}=\sum _{i}a_{im}a_{in}^{*}}$

目標は を解くことです。 は正のスーパー演算子であり、基底に関して完全に特徴付けられます。^{[21] [22]}${\displaystyle \displaystyle \chi }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$

SQPT は、線形独立入力（ はヒルベルト空間 の次元）を使用してこれにアプローチします。これらの入力状態のそれぞれについて、それをプロセスに送ると、の線形結合として記述できる出力状態、つまりが得られます。それぞれを何度も送信することで、量子状態トモグラフィーを使用して実験的に係数を決定することができます。 ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}}$${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle c_{jk}}$

書く

${\displaystyle E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$、

ここで係数の行列です。 ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$。

は線形独立な基底を形成する ので、${\displaystyle \rho _{k}}$

${\displaystyle \displaystyle c_{jk}=\sum _{m,n}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}}$。

反転すると次のようになります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi _{m,n}=\sum _{j,k}B_{m,n,j,k}^{-1}c_{jk}}$。

• 量子の不和
• 量子プロセス
• 量子もつれ § トップクォークのもつれ