LOCC

LOCC、つまりローカル操作と古典的通信は、システムの一部でローカル (積) 操作が実行され、その操作の結果が別の部分に古典的に「通信」され、そこで通常は受信した情報に応じて別のローカル操作が実行される、量子情報理論の方法である。

LOCC 操作の集合の正式な定義は、後のローカル操作が一般に以前のすべての古典的通信に依存し、通信ラウンド数が無制限であるという事実のために複雑です。任意の有限数に対して、古典的通信のラウンドで達成できる LOCC 操作の集合を定義できます。集合は が増加すると必ず大きくなり、無限ラウンドの限界を定義するように注意する必要があります。特に、集合 LOCC は位相的に閉じていません。つまり、LOCC によって任意に近似できるが、それ自体は LOCC ではない量子操作が存在します。^[1]${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

1ラウンドLOCCは量子装置であり、トレース非増加完全正写像(CPM)はすべての測定結果 に対して局所的であり、つまり であり、写像のみがトレース保存的でないサイトが 1 つあります。これは、サイトの当事者が(局所的な) 装置を適用し、古典的な結果を他のすべての当事者に通信することで装置を実現できることを意味し、その後、各当事者は ( を条件として) トレース保存 (決定論的) 局所量子操作 を実行します。 ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})}$${\displaystyle j=K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\cal{T}}_{x}^{j}}$

そして、 は、ある操作を -操作でフォローアップすることで実現できる操作として再帰的に定義されます。ここでは、フォローアップ操作を実行するパーティが前のラウンドの結果に依存することが許可されています。さらに、「粗粒化」、つまり、測定結果 (すべてのラウンド) にエンコードされた古典的な情報の一部を破棄することも許可されています。 ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$

すべての演算の和集合は で表され、LOCC ラウンドを増やすことでより良く近似できる手段が含まれます。その位相閉包には、このようなすべての演算が含まれます。 ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

これらの集合はすべて異なることが示される：^[1]

${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

すべてのLOCC演算の集合は、すべての分離可能な演算の集合に含まれます。すべての積形式を持つクラウス演算子を使用して記述できるすべての演算が含まれます。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}$

のすべての操作がLOCCである わけではない。${\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}$${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}$

つまり、無限の通信ラウンドを経てもローカルに実装できない例がある。^[1]

LOCC は、エンタングルメントのリソース理論における「自由操作」です。LOCC では分離可能な状態からエンタングルメントを生成することはできず、ローカル パーティがすべての LOCC 操作を実行できることに加えて、いくつかのエンタングルメント状態も備えている場合は、LOCC のみの場合よりも多くの操作を実現できます。

LOCC 操作は、状態の準備、状態の識別、およびエンタングルメント変換に役立ちます。

アリスとボブは積状態 の量子系を与えられます。彼らの仕事は分離可能な状態 を生成することです。ローカル操作だけでは、 に存在する (古典的な) 相関関係を生成できないため、これは達成できません。しかし、LOCC (1 ラウンドの通信) を使用すると、を準備できます。アリスは、偏りのないコイン (それぞれ 50% の確率で表または裏が出る) を投げ、コインが「裏」を示した場合は量子ビットを ( に) 裏返し、そうでなければ変更しません。次に、コイン投げの結果 (古典的な情報) をボブに送信します。ボブも、メッセージが「裏」である場合は量子ビットを裏返します。結果の状態は です。一般に、すべての分離可能な状態(そしてこれらの状態のみ) は、LOCC 操作のみを使用して積状態から準備できます。^[1]${\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle |1\rangle _{A}}$${\displaystyle \rho}$

2部または多部ヒルベルト空間上の2つの量子状態が与えられた場合、その状態が2つ（またはそれ以上）の可能な状態のうちのどれであるかを決定することが課題となる。簡単な例として、2つのベル状態を考える。${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle {\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}}$${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+| 1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+| 1\rangle _{A}\回 |0\rangle _{B}\right)}$

2量子ビットシステムが分離されていて、最初の量子ビットがアリスに、2 番目がボブに与えられているとします。通信がなければ、アリスとボブは 2 つの状態を区別できません。すべてのローカル測定で、すべての測定統計がまったく同じであるためです (両方の状態は同じ縮小密度行列を持ちます)。たとえば、アリスが最初の量子ビットを測定し、結果 0 を取得するとします。この結果は、2 つのケースのそれぞれで等しく発生する可能性がある (確率 50%) ため、アリスは自分が与えられたベル対に関する情報を取得できず、ボブが何らかの測定を実行する場合も同じことが当てはまります。しかし、アリスが結果を古典チャネル経由でボブに送信するとします。これでボブは自分の結果とアリスの結果を比較でき、同じ場合は与えられた対が であると結論付けることができます。これは、これが唯一の共同測定結果 を可能にするためです。したがって、LOCC と 2 つの測定により、これら 2 つの状態を完全に区別できます。グローバル（非局所的またはエンタングルメント）測定では、（結合ヒルベルト空間上の）単一の測定でこれら 2 つの（相互に直交する）状態を区別するのに十分であることに注意してください。 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$

LOCC操作では区別できない量子状態が存在する。^[2]

LOCC は積状態からエンタングルメント状態を生成することはできませんが、エンタングルメント状態を他のエンタングルメント状態に変換するために使用できます。LOCC への制限により、可能な変換は厳しく制限されます。

ニールセン^[3]は、二部量子システムの1つの純粋状態がLOCCのみを使用して別の純粋状態に変換できるかどうかを判断するための一般的な条件を導出しました。詳細は前述の論文に記載されていますが、ここでは結果を概説します。

次元のヒルベルト空間内の粒子状態とシュミット分解を持つ2つの粒子を考える${\displaystyle d}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle }$

はシュミット係数として知られています。これらを最大から最小の順に並べた場合（つまり）、 は局所演算のみを使用してに変換できます。ただし、 が範囲内のすべての に対して である場合に限ります。${\displaystyle {\sqrt {\omega _{i}}}}$${\displaystyle \omega _{1}>\omega _{d}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq d}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$

より簡潔な表記では：

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '}$

これは、局所的な操作がエンタングルメントの尺度を増やすことができないという条件よりも、より制限的な条件です。と が同じ量のエンタングルメントを持ちながら、一方を他方に変換することは不可能であり、どちらの方向への変換も、どちらのシュミット係数セットも他方を主要化しないため不可能である可能性が十分にあります。が大きい の場合、すべてのシュミット係数がゼロでない場合、一方の係数セットが他方を主要化する確率は無視できます。したがって、 が大きい の場合、任意の状態が LOCC を介して別の状態に変換できる確率は無視できます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

これまで説明した操作は決定論的であり、つまり 100% の確率で成功します。確率的変換で満足できる場合は、LOCC を使用してさらに多くの変換が可能です。^{[4]これらの操作は}確率的LOCC (SLOCC)と呼ばれます。特に、多部構成の状態の場合、SLOCC による変換可能性は、関係する状態のエンタングルメント特性に関する定性的な洞察を得るために研究されています。^[5]

エンタングルメント状態がリソースとして利用できる場合、これらとLOCCを組み合わせることで、はるかに大規模な変換が可能になります。これは、これらのリソース状態がプロセスで消費されない場合でも当てはまります（たとえば、量子テレポーテーションの場合など）。したがって、変換はエンタングルメント触媒と呼ばれます。^[6]この手順では、LOCCでは不可能な初期状態から最終状態への変換は、初期状態と「触媒状態」のテンソル積を取り、この状態が変換プロセスの最後にまだ利用可能であることを要求することで可能になります。つまり、触媒状態は変換によって変更されず、その後削除することができ、目的の最終状態のみが残ります。状態を考えてみましょう。 ${\displaystyle |c\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$

これらの状態はシュミット分解の形式で降順で記述される。と係数の合計を比較する。${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

表では、 の場合は赤色、 の場合は緑色、 の場合は白色が残ります。表を作成した後、方向の色を見ることで、とが変換可能かどうかを簡単に確認できます。色がすべて緑または白の場合は、LOCC によってに変換でき、色がすべて赤または白の場合は、LOCC によってに変換できます。表に赤と緑の両方の色が表示されている場合、状態は変換できません。 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle k}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

ここで、 製品の状態について考えてみましょう：${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

同様に、次の表を作成します。

方向の色はすべて緑または白なので、ニールセンの定理によれば、LOCC によって変換できます。変換後に触媒状態は取り除かれます。最後に、 LOCC によって見つけます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$${\displaystyle |c\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle }$

システムと触媒の相関関係が許容される場合、二部純粋状態間の触媒変換はエンタングルメントエントロピーによって特徴付けられる。^[7]より詳細には、純粋状態は触媒LOCCによって別の純粋状態に変換できるのは、次の場合のみである。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})}$、

ここで、はフォン・ノイマン・エントロピー、 およびはそれぞれおよびの縮小状態です。一般に、変換は正確ではありませんが、任意の精度で実行できます。システムと触媒間の相関の量も、任意に小さくすることができます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi ^{A}}$${\displaystyle \phi ^{A}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

より広範な変換は、量子電池の使用によって達成できる。^{[8] [9]}これらは、量子触媒に似た、変換プロセス中に導入される補助的なシステムであり、手順の完了時にエンタングルメントが保持されるという条件がある。量子電池を組み込むことで、LOCCの範囲が大幅に拡張され、量子状態を操作する能力が向上する。初期状態の多数の同一のコピーが利用可能な漸近領域では、このアプローチにより、任意の2つのエンタングルメント状態間の可逆的な相互変換が可能になる。^[9]これにより、エンタングルメント操作の第二法則が定式化され、^[9]熱力学の第二法則に類似している。以前、エンタングルメント操作の第二法則につながるフレームワークの存在は、量子情報科学における主要な未解決問題として特定されていた。^[10]

• 量子テレポーテーション
• 拡張不可能な製品ベース

• https://quantiki.org/wiki/locc-operations
• Nielsen MA (1999). 「エンタングルメント変換のクラスの条件」. Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph/9811053 . Bibcode :1999PhRvL..83..436N. doi :10.1103/physrevlett.83.436. S2CID  17928003.