多者間のエンタングルメント

サブシステムから構成されるシステムの場合、量子もつれ状態の分類は2部構成の場合よりも豊富です。実際、多部構成のもつれでは、完全に分離可能な状態と完全にもつれた状態とは別に、部分的に分離可能な状態という概念も存在します。^[1]${\displaystyle m>2}$

完全に分離可能で完全にエンタングルメントされた多部構成状態の定義は、以下のように、二部構成の場合の分離可能状態とエンタングルメント状態の定義を自然に一般化します。^[1]

ヒルベルト空間を持つサブシステムの状態は、次の形式で記述できる場合にのみ完全に分離可能である。 ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}\ldots A_{m}}={\mathcal {H}}_{A_{1}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}_{A_{m}}}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}\varrho _{A_{1}}^{i}\otimes \ldots \otimes \varrho _{A_{m}}^{i}.}$

同様に、上記の形式で記述できない場合、 状態は完全にエンタングルされています。${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$

二部の場合と同様に、 -分離可能な状態の集合はトレースノルムに関して 凸かつ閉じており、分離可能性は二部の場合の直接的な一般化である-分離可能な操作の下で保持されます。 ${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}\to {\frac {\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \ldots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }]}}.}$^[1]

しかし、上で述べたように、多部構成の設定では、部分的な分離可能性についても異なる概念が存在します。^[1]

サブシステムの状態は、与えられたパーティションに関して分離可能であり、ここで はインデックスの互いに素な部分集合であり、次のように記述できる場合のみである。 ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{k}\}}$${\displaystyle \;I_{i}}$${\displaystyle \;I=\{1,\ldots ,m\},\cup _{j=1}^{k}I_{j}=I}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\varrho _{1}^{i}\otimes \ldots \otimes \varrho _{k}^{i}.}$^[1]

状態が半分離可能であるのは、すべての-分割の下で分離可能である場合のみである。^[1]${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;1}$${\displaystyle \;(m-1)}$${\displaystyle \;{\big \{}I_{1}=\{k\},I_{2}=\{1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,m\}{\big \}},1\leq k\leq m}$

粒子系は、各状態が何らかの分割 に関して分離可能な状態の混合である場合に、 生成可能であり、 のサイズは最大で^{[2] [1]}です。状態がk生成可能でない場合は、少なくとも粒子がエンタングルメントされています。 s粒子のエンタングルメントは、多くの粒子を使用したさまざまな実験で検出されています。このような実験は、量子状態のエンタングルメントの深さの検出と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;k}$${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{L}\}}$${\displaystyle I_{l}}$${\displaystyle k.}$${\displaystyle (k+1)}$

k生成可能だが-生成不可能、 h分離可能だが -分離不可能な純粋状態の場合、伸縮性は^{[3] [4] [5]}です。定義は通常の方法で混合状態に拡張できます。粒子をグループに分割することに基づいて、さらに特性を定義することができ、これは広く研究されています。^[6]${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle (h+1)}$${\displaystyle k-h.}$

完全なm-部分分離可能性と同等の定義は次のように与えられる：サブシステムの純粋状態が完全にm-部分分離可能であるのは、次のように書ける場合のみである。 ${\displaystyle |\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle }$${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$${\displaystyle \;m}$

${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =|\psi _{A_{1}}\rangle \otimes \ldots \otimes |\psi _{A_{m}}\rangle .}$^[1]

これを確認するには、基本サブシステムの縮小密度行列を計算し、それが純粋であるかどうかを確認するだけで十分です。しかし、これは多部構成の場合にはそれほど簡単にはできません。多部構成の純粋状態が一般化シュミット分解を許容することはまれだからです。多部構成状態が一般化シュミット分解 を許容するのは、任意のサブシステムをトレースしたときに残りが完全に分離可能な状態にある場合です。したがって、一般に純粋状態のエンタングルメントは、すべての二部構成パーティションの縮小密度行列のスペクトルによって記述されます。つまり、すべての二部構成パーティションが混合縮小密度行列を生成する場合のみ、状態は真に - 部構成エンタングルメントです。^[1]${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =\sum _{i=1}^{\min\{d_{A_{1}},\ldots ,d_{A_{m}}\}}a_{i}|e_{A_{1}}^{i}\rangle \otimes \ldots \otimes |e_{A_{m}}^{i}\rangle }$${\displaystyle \;m}$

多部構成の場合、 PPT基準がおよび の場合に与えるような、分離可能性の単純な必要十分条件は存在しません。しかし、二部構成の設定で使用される多くの分離可能性基準は、多部構成の場合に一般化できます。^[1]${\displaystyle 2\otimes 2}$${\displaystyle 2\otimes 3}$

正だが完全に正ではない写像による分離可能性の特徴付けは、二部写像の場合から次のように自然に一般化できる。^[1]

正だが完全に正ではない (PnCP) マップは、次の形式で、必須の分離可能性基準を提供します。 ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$

${\displaystyle \;(I_{A_{1}}\otimes \Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}})[\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}]\geq 0,}$

ここで、は最初のサブシステムに作用する恒等式である。状態が分離可能であるのは、すべてのPnCPマップに対して上記の条件が満たされた場合のみである。^[1]${\displaystyle \;I_{A_{1}}}$${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}}}$${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$

エンタングルメント証人の定義と、二部構成の場合の PnCP マップをエンタングルメント証人にリンクするChoi–Jamiołkowski 同型性は、多部構成の設定にも一般化できます。したがって、多部構成の状態に対するエンタングルメント証人から分離可能性条件が得られます。状態は、すべてのエンタングルメント証人に対して負でない平均値を持つ場合、分離可能です。同様に、 のエンタングルメントが証人によって検出されるのは、 の場合のみです。^[1]${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;\operatorname {Tr} (W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})\geq 0}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;W}$${\displaystyle \;\operatorname {Tr} (W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})<0}$

上記の説明は、 -部分システムの-分離可能性 の完全な特徴付けを提供する。^[1]${\displaystyle \;m}$${\displaystyle \;m}$

「範囲基準」は、二部の場合から多部の場合にすぐに一般化することもできます。後者の場合、 の範囲はベクトル によって張られなければなりませんが、部分集合に関して部分的に転置されたの範囲は、これらのベクトルの積によって張られなければなりません。ここで、添え字は複素共役です。状態が分離可能 である場合、そのようなすべての部分転置は、非負のスペクトルを持つ行列につながる必要があります。つまり、すべての行列はそれ自体が状態である必要があります。^[1]${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;\{|\phi _{A_{1}}\rangle ,\ldots ,|\phi _{A_{m}}\rangle \}}$${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$${\displaystyle \;\{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}\}\subset \{A_{1}\ldots A_{m}\}}$${\displaystyle \;k_{1},\ldots ,k_{l}}$${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$

二部構成の場合の「再調整基準」は、多部構成の設定における順列基準に一般化されます。つまり、状態が分離可能であれば、積基底における行列インデックスの順列を介して元の状態から得られる行列は、を満たします。^[1]${\displaystyle \varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$${\displaystyle \;[R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]_{i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n}}\equiv \varrho _{\pi (i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n})}}$${\displaystyle \;\pi }$${\displaystyle \;||R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]||_{\operatorname {Tr} }\leq 1}$

最後に、収縮基準は二部構成の場合から多部構成の場合に直ちに一般化される。^[1]

エンタングルメントの相対エントロピー、エンタングルメントの堅牢性、押しつぶされたエンタングルメントなど、二部状態に対する公理的なエンタングルメント測定の多くは、多部設定に一般化できます。^[1]

例えば、エンタングルメントの相対エントロピーは、二部分離可能状態の集合の代わりに適切な集合を取ることで、多部ケースに一般化できます。完全に分離可能な状態の集合を取ることもできますが、この選択では、測定値は真の多部エンタングルメントと、 などの二部エンタングルメントの複数のインスタンスを区別しません。真の多部エンタングルメントを分析するには、 - 粒子エンタングルメント以下の状態の集合を考慮する必要があります。^[1]${\displaystyle \mathrm {EPR} _{AB}\otimes \mathrm {EPR} _{CD}}$${\displaystyle k}$

圧縮エンタングルメントの場合、その多部構成バージョンは、単に二部構成システムの相互情報量を多部構成システムへの一般化、すなわち ^[1]に置き換えることによって得られる。${\displaystyle I(A_{1}:\ldots :A_{N})=S(A_{1})+\ldots +S(A_{N})-S(A_{1}\ldots A_{N})}$

しかし、多部構成の設定では、状態のエンタングルメントを記述するためにさらに多くのパラメータが必要となり、そのため、特に純粋な多部構成の状態に対して、多くの新しいエンタングルメント測定が構築されてきました。

多部構成の設定では、単純に二部構成のエンタングルメント測度の合計の関数であるエンタングルメント測度があります。例えば、グローバルエンタングルメントは、1つの量子ビットと他のすべての量子ビットの同時発生の合計によって与えられます。これらの多部構成のエンタングルメント測度では、 LOCCの下での単調性は、単純に二部構成の測度から継承されます。しかし、次のように、多部構成の状態のために特別に構築されたエンタングルメント測度もあります。^[1]

直接的な一般化でも二部測度の簡単な組み合わせでもない最初の多部エンタングルメント測度は、コフマンらによって導入され、タングルと呼ばれました。^[1]

意味：

${\displaystyle \;\tau (A:B:C)=\tau (A:BC)-\tau (AB)-\tau (AC),}$

ここで、右辺の-タングルは一致の平方である。^[1]${\displaystyle \;2}$

タングル測度は順列不変で、任意のカットで分離可能なすべての状態で消えます。たとえば、GHZ状態ではゼロではありません。たとえば、W状態のように3エンタングルされた状態（つまり、どのカットに関しても積ではない状態）ではゼロであると考えることができます。さらに、超行列式によってマルチキュービットシステムのタングルの優れた一般化を得られる可能性があります。^[1]

これは、多者間状態のために特別に構築された最初のエンタングルメント尺度の一つであった。^[1]

意味：

の最小値、ここで は積基底における状態の展開における項の数である。^[1]${\displaystyle \;\log r}$${\displaystyle \;r}$

この尺度は、状態が完全に積である場合にのみゼロになります。したがって、真の多部構成のエンタングルメントと二部構成のエンタングルメントを区別することはできませんが、それでも多くの状況で役立つ可能性があります。^[1]

これは、状態の分類の文脈で得られる多者間エンタングルメント測度の興味深いクラスです。つまり、状態の任意の同次関数を考えます。それが行列式が 1 に等しい SLOCC (確率的 LOCC) 操作で不変である場合、それは強い意味でエンタングルメント単調であり、つまり強い単調性の条件を満たします。^[1]

三宅は超行列式がエンタングルメント単調であり、の積などの状態がエンタングルメントゼロであるという意味で、真に多部エンタングルメントを記述することを証明した。特に、同時性とタングルメントは超行列式の特別なケースである。実際、2つの量子ビットの場合、同時性は単に行列式の係数であり、これは1次の超行列式である。一方、タングルメントは2次の超行列式、つまり3つのインデックスを持つテンソルの関数である。^[1]${\displaystyle EPR}$

エンタングルメントの幾何学 的尺度^[7]は、${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \|\psi -\phi \|_{2}}$

分離可能なすべての状態に関して

${\displaystyle \phi =\bigotimes _{i=1}^{N}\phi _{i}.}$

このアプローチは、区別可能な粒子やスピン系に有効です。同一または区別不可能なフェルミオンやボソンの場合、完全なヒルベルト空間は、各粒子のテンソル積ではありません。したがって、簡単な修正が必要です。たとえば、同一のフェルミオンの場合、完全な波動関数は完全に反対称であるため、 にも が必要です。つまり、 近似するために取られる は、スレーター行列式波動関数である必要があります。^[8]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

このエンタングルメント尺度は、援助のエンタングルメントを一般化したものであり、スピン鎖の文脈で構築されました。つまり、2つのスピンを選択し、それらの間の可能な限り最大の二部エンタングルメント（2つの二部状態に対して選択されたエンタングルメント尺度に従って測定）を取得することを目指すLOCC操作を実行します。^[1]

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