ヴェルナー州

ウェルナー状態[ ^1]は、形のすべての ユニタリ演算子に対して不変である×次元の二部量子状態密度行列である。つまり、${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle U\otimes U}$ ${\displaystyle \rho_{AB}}$

${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })}$

d次元ヒルベルト空間に作用するすべてのユニタリ演算子Uに対して。これらの状態は、1989 年にReinhard F. Wernerによって初めて開発されました。

すべてのウェルナー状態は対称部分空間と反対称部分空間への射影の混合であり、次元に加えて相対的な重みが状態を定義する主なパラメータです。 ${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}}$${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},}$

どこ

${\displaystyle P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}$

${\displaystyle P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}$

プロジェクターと

${\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}$

は、2つのサブシステムAとB を交換する順列または反転演算子です。

ウェルナー状態はp ≥ 1 ⁄ 2の場合は分離可能であり、p < 1 ⁄ 2の場合はエンタングルメント状態である。エンタングルメント状態のウェルナー状態はすべてPPT 分離可能性基準に違反するが、d ≥ 3 の場合は、どのウェルナー状態も弱い縮約基準に違反しない。ウェルナー状態はさまざまな方法でパラメータ化できる。その書き方の 1 つは次の通りである。

${\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}$

ここで新しいパラメータαは−1から1の間で変化し、pと次のよう に関係する。

${\displaystyle \alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

上記に対応する 2 量子ビットのウェルナー状態は、行列形式で明示的に次のように表すことができます。同様に、これらは、完全に混合された状態とベル状態 (への射影) の凸結合として次のように表すことができます。ここで、 (または、正の値に限定すると、) はによってと関連付けられます。すると、2 量子ビットのウェルナー状態は に対して分離可能であり、 に対してエンタングルメント状態です。 ${\displaystyle d=2}$$${\displaystyle W_{AB}^{(p,2)}={\frac {p}{6}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}+{\frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle W_{AB}^{(\lambda ,2)}=\lambda |\Psi ^{-}\rangle \!\langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-\lambda }{ 4}}I_{AB},\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),}$$${\displaystyle \lambda \in [-1/3,1]}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda =(3-4p)/3}$${\displaystyle \lambda \leq 1/3}$${\displaystyle \lambda >1/3}$

パラメータと整数を持つウェルナー・ホレボ量子チャネルは 次のように定義される ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}}$${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

ここで量子チャネルとは 次の式で定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

はシステムA上の部分転置写像を表します。Werner -HolevoチャネルのChoi状態は Werner状態であることに注意してください。 ${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}$

どこ。 ${\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}$

ウェルナー状態は、多部構成の場合に一般化できます。^[5] N部構成のウェルナー状態は、単一のサブシステム上の任意のユニタリUに対して不変な状態です。ウェルナー状態は、単一のパラメータではなく、N ! − 1 個のパラメータで記述され、N 個のシステム上のN ! 個の異なる順列の線形結合です。 ${\displaystyle U\otimes U\otimes \cdots \otimes U}$