ベル州

量子情報科学において、ベル状態またはEPR ペアは、量子エンタングルメントの最も単純な例を表す2 つの量子ビットの特定の量子状態です。^{[1] : 25}ベル状態は、エンタングルメントされ正規化された基底ベクトルの形式です。この正規化は、粒子が前述の状態のいずれかにある全体的な確率が 1: であることを意味します。エンタングルメントは、重ね合わせによる基底に依存しない結果です。^[2]この重ね合わせにより、量子ビットを測定すると、所定の確率で基底状態の 1 つに「崩壊」します。 ^[1]エンタングルメントのため、1 つの量子ビットを測定すると、もう 1 つの量子ビットが、2 つの可能な値のいずれかを生成する状態に「崩壊」します。この値は、2 つの量子ビットが最初にどのベル状態にあるかによって異なります。ベル状態は、 3 つ以上のサブシステムのGHZ 状態など、マルチ量子ビット システムの特定の量子状態に一般化できます。 ${\displaystyle \langle \Phi |\Phi \rangle =1}$

ベルの状態を理解することは、超高密度符号化や量子テレポーテーションなどの量子通信の解析に役立ちます。^[3]これらのメカニズムは光速よりも速く情報を伝送することができず、その結果は非通信定理として知られています。^{[4] : 100}

ベル状態は、 2 つの量子ビットの4 つの特定の最大限にエンタングルメントされた量子状態です。これらは 0 と 1 の重ね合わせ、つまり 2 つの状態の線形結合にあります。エンタングルメントとは、次のことを意味します。

アリス (下付き文字「A」) が保持する量子ビットは、0 と 1 の重ね合わせ状態になることがあります。アリスが標準基底で量子ビットを測定すると、結果は 0 または 1 になり、それぞれ確率は 1/2 になります。ボブ (下付き文字「B」) も量子ビットを測定すると、結果はアリスと同じになります。したがって、アリスとボブはそれぞれランダムな結果になるように見えます。コミュニケーションを通じて、2 人は、それぞれの結果がランダムに見えても、完全に相関していることに気付きます。

この距離における完全な相関関係は特別です。おそらく、2 つの粒子は、ペアが作成されたとき (量子ビットが分離される前) に、測定の際にどのような結果を示すかについて事前に「合意」していたのでしょう。

したがって、アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンの 1935 年の有名な「EPR論文」に従うと、上記の量子ビット ペアの説明には何かが欠けています。つまり、より正式には隠れた変数と呼ばれるこの「合意」です。 1964 年の有名な論文で、ジョン S. ベルは、単純な確率論の議論によって、これらの相関 (0、1 基底の相関と +、- 基底の相関) は、隠れた変数に格納された「事前合意」を使用することで両方とも完全にすることはできないが、量子力学では完全な相関が予測されることを示しました。ベル–CHSH 不等式として知られるより洗練された定式化では、物理学が局所的な「隠れた変数」理論(情報の伝達方法に関する一種の常識的な定式化)の制約を尊重すると仮定すると、特定の相関尺度は値 2 を超えることはできませんが、量子力学で許可されている特定のシステムは という高い値を達成できることが示されています。したがって、量子論はベルの不等式と局所的な「隠れた変数」の考え方に違反します。 ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

の最大値を持つ4つの特定の2量子ビット状態は「ベル状態」と呼ばれます。これらは4つの最大にエンタングルされた2量子ビットベル状態として知られ、2量子ビットの4次元ヒルベルト空間のベル基底と呼ばれる最大にエンタングルされた基底を形成します。^[1]${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (1)}$

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (2)}$

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (3)}$

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (4)}$

量子回路を通じてエンタングルメントされたベル状態を作成する方法は多数ありますが、最も単純なものは計算基底を入力として受け取り、アダマール ゲートとCNOT ゲートを含みます(図を参照)。 例として、図の量子回路は 2 つの量子ビット入力を受け取り、それを最初のベル状態 に変換します。明示的に、アダマール ゲートはの重ね合わせに変換します。 これは次に CNOT ゲートへの制御入力として機能し、制御 (最初の量子ビット) が 1 の場合にのみターゲット (2 番目の量子ビット) を反転します。 したがって、CNOT ゲートは 2 番目の量子ビットを次のように変換します。 ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle .}$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle (|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle }$

4つの基本的な2量子ビット入力に対して、回路は4つのベル状態（上記にリストされている）を出力します。より一般的には、回路は入力を次の式に従って変換します。 ${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }$

$${\displaystyle |\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right),}$$

ここで はの否定である。^[1]${\displaystyle {\bar {y}}}$${\displaystyle y}$

ベル状態における単一量子ビットの測定結果は不確定ですが、z基底で最初の量子ビットを測定すると、2 番目の量子ビットの測定結果は同じ値 (ベル状態の場合) または反対の値 (ベル状態の場合) になることが保証されます。これは、測定結果が相関していることを意味します。 ジョン・ベルは、ベル状態における測定相関が古典系間で存在し得るものよりも強いことを初めて証明しました。これは、量子力学により古典力学で可能な範囲を超えた情報処理が可能になることを示唆しています。さらに、ベル状態は正規直交基底を形成するため、適切な測定で定義できます。ベル状態はエンタングルメント状態であるため、システム全体の情報はわかっているかもしれませんが、個々のサブシステムに関する情報はわかりません。たとえば、ベル状態は純粋状態ですが、最初の量子ビットの縮小密度演算子は混合状態です。混合状態は、この最初の量子ビットのすべての情報がわかっているわけではないことを意味します。^[1]ベル状態は、部分系に関して対称か反対称のいずれかである。^[2]ベル状態は、その縮約密度演算子が最大限に混合されているという意味で最大限にエンタングルされており、この精神でのベル状態の多部一般化は、絶対最大限にエンタングルされた（AME）状態と呼ばれる。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$

ベル測定は量子情報科学における重要な概念です。これは、2 つの量子ビットが 4 つのベル状態のどれにあるかを決定する、2 つの量子ビット の共同量子力学的測定です。

ベル基底における量子測定の有用な例は、量子コンピューティングで見ることができます。CNOTゲートを量子ビット A と B に適用し、続いてアダマール ゲートを量子ビット A に適用すると、計算基底で測定を行うことができます。CNOT ゲートは、以前にエンタングルされた 2 つの量子ビットのエンタングルメントを解く動作を実行します。これにより、情報を量子情報から古典情報の測定に変換できます。

量子測定は2つの重要な原理に従います。1つ目は遅延測定の原理で、あらゆる測定を回路の端に移動できるとしています。2つ目は暗黙測定の原理で、量子回路の端では、終端されていないワイヤの測定が想定できるとしています。^[1]

ベル状態測定の応用例は次のとおりです。

ベル状態の測定は、量子テレポーテーションにおける重要なステップです。ベル状態の測定の結果は、共謀者が、それまで両端で共有されていたもつれ対の半分 (「量子チャネル」) から、テレポーテーションされた粒子の元の状態を再構築するために使用されます。

いわゆる「線形進化、局所測定」技術を利用する実験では、完全なベル状態測定を実現できません。線形進化とは、検出装置が各粒子に対して、他の粒子の状態や進化とは無関係に作用することを意味し、局所測定とは、各粒子が特定の検出器に局在し、粒子が検出されたことを示す「クリック」を記録することを意味します。このような装置は、たとえば、ミラー、ビームスプリッター、波長板から構成でき、使いやすく、測定断面積が大きいため、実験の観点から魅力的です。

単一量子ビット変数のエンタングルメントの場合、このような線形光学技術を使用して区別できるのは 4 つのベル状態のうち 3 つの異なるクラスだけです。つまり、2 つのベル状態を互いに区別することができず、テレポーテーションなどの量子通信プロトコルの効率が制限されます。このあいまいなクラスからベル状態が測定されると、テレポーテーション イベントは失敗します。

複数の量子ビット変数、例えば（光子システムの場合）偏光や軌道角運動量状態の2要素サブセットなどの量子ビット変数に粒子をエンタングルメントすると、実験者は1つの変数をトレースし、もう1つの変数で完全なベル状態測定を達成することができます。 ^[5]いわゆるハイパーエンタングルメントシステムを活用すると、テレポーテーションに有利になります。また、ハイパーエンタングルメントによってチャネル容量が増加する超高密度コーディングなどの他のプロトコルにも利点があります。

一般に、変数の超エンタングルメントでは、線形光学技術を使用してベル状態から最大でクラスを区別することができます。 ^[6]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n+1}-1}$${\displaystyle 4^{n}}$

ベル状態でエンタングルメントされた2 つの量子ビットに対して行われた独立した測定は、各量子ビットが関連する基底で測定された場合、完全に正の相関を示します。状態の場合、これは両方の量子ビットに同じ基底を選択することを意味します。実験者が同じ基底を使用してベル状態の両方の量子ビットを測定することを選択した場合、量子ビットは基底で測定すると正の相関を示し、基底^[a]では反相関し、他の基底では部分的に (確率的に) 相関します。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

相関関係は、両方の量子ビットを同じ基底で測定し、完全に反相関する結果を観察することで理解できます。より一般的には、最初の量子ビットを基底で測定し、2 番目の量子ビットを基底で測定し、完全に正の相関関係にある結果を観察すること で理解できます。${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}=X.b_{1}}$

超高密度コーディングにより、 2 人の個人が 1 つの量子ビットを送信するだけで、2 ビットの古典情報を通信できます。この現象の基礎は、2 量子ビット システムのエンタングルメント状態またはベル状態です。この例では、アリスとボブは互いに非常に離れており、エンタングルメント状態の 1 つの量子ビットがそれぞれ与えられています。

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$。

この例では、アリスは 2 ビットの古典情報、つまり 4 つの 2 ビット文字列またはのいずれかを通信しようとしています。アリスが 2 ビット メッセージ を送信することを選択した場合、キュービットにゲートを適用します。同様に、アリスが を送信する場合、位相反転 を適用します。 を送信する場合、キュービットにゲートを適用します。最後に、アリスが 2 ビット メッセージ を送信する場合、キュービットには何も行いません。アリスはこれらの量子ゲート変換をローカルで実行し、初期のエンタングルメント状態を 4 つのベル状態のいずれかに変換します。 ${\displaystyle '00','01','10',}$${\displaystyle '11'}$${\displaystyle '01'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle '10'}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle '11'}$${\displaystyle iY}$${\displaystyle '00'}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

以下の手順は、アリスがボブに送信したい各 2 ビット メッセージに対して量子ビットに適用する必要がある、必要な量子ゲート変換と、その結果生じるベル状態を示しています。

${\displaystyle 00:I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 01:X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle +|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 10:Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle -|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{-}}\rangle }$

${\displaystyle 11:iY=ZX={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle -|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{-}}\rangle }$。

アリスは、必要な変換を自分の量子ビットに適用した後、それをボブに送信します。次に、ボブはベル状態の測定を実行し、エンタングルメント状態を 4 つの 2 量子ビット基底ベクトルの 1 つに投影します。そのうちの 1 つは、アリスが送信しようとしていた元の 2 ビット メッセージと一致します。

量子テレポーテーションは、量子状態を遠くまで転送することです。これは、量子状態の提供者であるAと、この量子状態の受信者であるBの間のエンタングルメントによって促進されます。このプロセスは、量子通信とコンピューティングの基礎研究トピックになっています。最近では、科学者は光ファイバーを介した情報転送への応用をテストしています。^[7]量子テレポーテーションのプロセスは次のように定義されます。

アリスとボブは EPR ペアを共有しており、分離する前にそれぞれ 1 つの量子ビットを取得しました。アリスは 1 量子ビットの情報をボブに渡す必要がありますが、アリスはこの量子ビットの状態を知らないため、ボブに送信できるのは古典的な情報だけです。

次のように段階的に実行されます。

1. アリスは量子ビットをCNOT ゲートを通して送信します。
2. 次に、アリスは最初の量子ビットをアダマールゲートに通します。
3. アリスは量子ビットを測定し、4 つの結果のうち 1 つを取得し、この情報をボブに送信します。
4. アリスの測定値に基づいて、ボブはEPRペアの自分の半分に対して4つの操作のうちの1つを実行し、元の量子状態を回復します。^[1]

次の量子回路はテレポーテーションを記述します。

量子暗号は、情報を安全に暗号化して送信するために量子力学特性を利用するものです。このプロセスの背後にある理論は、システムを妨害せずにシステムの量子状態を測定することは不可能であるという事実です。これを利用して、システム内の盗聴を検出できます。

量子暗号の最も一般的な形式は量子鍵配布です。量子鍵配布では、2つの当事者がメッセージの暗号化に使用できる共有のランダム秘密鍵を生成することができます。秘密鍵は、公開チャネルを介して2つの当事者間で作成されます。^[1]

量子暗号は、2つの多次元システム間のエンタングルメント状態、つまり2量子ビット（量子桁）エンタングルメントとも呼ばれる状態であると考えられる。^[2]

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• 量子暗号
• 量子回路
• ベル対角状態

• ケイ、フィリップ、ラフラム、レイモンド、モスカ、ミシェル（2007）、量子コンピューティング入門、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-857049-3、75ページ。
• アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンのパラドックスについて、ベルシステム技術ジャーナル、1964年。