制御されたNOTゲート

コンピュータサイエンスにおいて、制御NOTゲート（C-NOTまたはCNOTとも呼ばれる）、制御Xゲート、制御ビットフリップゲート、ファインマンゲート、または制御パウリXは、ゲートベースの量子コンピュータの構築に不可欠な要素である量子論理ゲートである。ベル状態のエンタングルメントとデエンタングルメントに使用できる。CNOTゲートと単一量子ビット回転の組み合わせを使用して、任意の精度で量子回路をシミュレートできる。^{[1] [2]}このゲートは、1986年に量子ゲート図の初期の表記法を開発したリチャード・ファインマンにちなんで名付けられることもある。 ^{[3] [4] [5]}

CNOT はパウリ基底で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}.}$

CNOT はユニタリかつエルミートなので、および という性質を持ち 、 は合同です。 ${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}$

CNOTゲートは、回転演算子ゲートとちょうど1つの2量子ビット相互作用ゲートの積としてさらに分解することができる。たとえば、

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

一般に、任意の単一量子ビットユニタリゲートはとして表すことができます。ここで、 Hはエルミート行列、制御されるUは です。 ${\displaystyle U=e^{iH}}$${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I_{1}-Z_{1})H_{2}}}$

CNOT ゲートは古典的な可逆コンピューティングでも使用されます。

CNOT ゲートは、2 つの量子ビットで構成される量子レジスタ上で動作します。CNOT ゲートは、最初の量子ビット (制御量子ビット) が の場合にのみ、2 番目の量子ビット (ターゲット量子ビット) を反転します。 ${\displaystyle |1\rangle }$

両方の量子ビットに対して許可される入力値が のみである場合、CNOT ゲートの TARGET 出力は、従来のXOR ゲートの結果に対応します。CONTROL を に固定すると、CNOT ゲートの TARGET 出力は、従来のNOT ゲートの結果を生成します。 ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle |1\rangle }$

より一般的には、入力は の線形重ね合わせになることができます。CNOT ゲートは量子状態を変換します。 ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

${\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$

の中へ：

${\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle }$

CNOT ゲートの動作は、次の行列 (順列行列形式) で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

CNOTゲートの最初の実験的実現は1995年に達成されました。ここでは、トラップ内の単一のベリリウムイオンが使用されました。2つの量子ビットは、トラップ内のイオンの光学状態と振動状態にエンコードされました。実験当時、CNOT操作の信頼性は90％程度と測定されました。^[6]

通常の制御 NOT ゲートに加えて、任意の数n +1 の量子ビットを入力として受け入れる関数制御 NOT ゲートを構築することもできます。ここで、 n +1 は 2 以上です (量子レジスタ)。このゲートは、最初のn量子ビットを入力とする組み込み関数が1 を返す場合にのみ、レジスタの最後の量子ビットを反転します。関数制御 NOT ゲートは、Deutsch-Jozsa アルゴリズムの重要な要素です。

計算基底だけを見ると、C _NOTの動作は同等の古典的ゲートのように見えます。ただし、1 つの量子ビットを制御、もう1 つをターゲットとラベル付けする単純さは、両方の量子ビットのほとんどの入力値に対して発生する複雑さを反映していません。 ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

CNOTゲートをアダマール変換された基底に関して表現することで洞察を得ることができる。1量子ビットレジスタのアダマール変換された基底^[a]は次のように与えられる。 ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),}$

そして、2量子ビットレジスタの対応する基底は

${\displaystyle |++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +| 1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )}$、

など。この基底で CNOT を見ると、2 番目の量子ビットの状態は変化せず、1 番目の量子ビットの状態は 2 番目のビットの状態に応じて反転します。(詳細については以下を参照してください。)「したがって、この基底では、どのビットが制御ビットで、どのビットがターゲット ビットであるかの感覚が逆転しています。ただし、変換はまったく変更されておらず、変換についての考え方だけが変わっています。」^[7]

「計算」基底はZ方向のスピンの固有基底であり、アダマール基底はX方向のスピンの固有基底です。XとZ、および量子ビット1と2を切り替えると、元の変換が回復されます。」^[8]これはCNOTゲートの基本的な対称性を表しています。 ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

_{C NOT}相互作用において両方の量子ビットが（等しく）影響を受けるという観察は、量子もつれシステムにおける情報の流れを考える上で重要である。^[9]

次に、計算の詳細を説明します。各アダマール基底状態を順に処理していくと、右の列の結果から、2 番目の量子ビットが のときに、最初の量子ビットが と の間で反転することがわかります。 ${\displaystyle |+\rangle }$${\displaystyle |-\rangle}$${\displaystyle |-\rangle}$

_{アダマール変換の後に C NOT}を実行し、さらに別のアダマール変換を実行する量子回路は、アダマール基底で CNOT ゲートを実行する (つまり、基底の変更) ものとして説明できます。

(H ₁ ⊗ H ₁ ) ⁻¹ . C_でない. (H ₁ ⊗ H ₁ )

単一量子ビットのアダマール変換 H _1はエルミート変換であるため、その逆変換になります。2 つの量子ビットで (独立して) 動作する 2 つのアダマール変換のテンソル積はH ₂と表記されます。したがって、行列は次のように記述できます。

H ₂ . C_ではなくH ₂

これを掛け合わせると、と の項を入れ替え、と の項はそのままにした行列が得られます。これは、量子ビット 2 が制御量子ビットで、量子ビット 1 がターゲット量子ビットである CNOT ゲートと同等です。^[b]${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$$

C _{NOTゲートの一般的な応用は、2 つの量子ビットを}ベル状態に最大限にエンタングルすることです。これは、超高密度符号化、量子テレポーテーション、エンタングル量子暗号化アルゴリズムのセットアップの一部を形成します。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

を構築するには、C _NOTゲートへの入力 A (制御) と B (ターゲット) は次のようになります。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}}$そして${\displaystyle |0\rangle _{B}}$

C _{NOT を}適用した後、結果として得られるベル状態は、個々の量子ビットを任意の基底を使用して測定でき、各状態に解決される可能性が常に 50/50 であるという特性を持ちます。実際には、個々の量子ビットは未定義の状態にあります。2 つの量子ビット間の相関は、2 つの量子ビットの状態の完全な説明です。両方の量子ビットを測定するために同じ基底を選択して記録を比較すると、測定値は完全に相関します。 ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

計算基底で見ると、量子ビット A が量子ビット B に影響を与えているように見えます。視点をアダマール基底に変更すると、対称的に量子ビット B が量子ビット A に影響を与えていることが示されます。

入力状態は次のように表示することもできます。

${\displaystyle |+\rangle _{A}}$そして${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}}$

アダマールの視点では、制御量子ビットとターゲット量子ビットは概念的に入れ替わっており、量子ビット B が のとき量子ビット A は反転しています。C _NOTゲートを適用した後の出力状態は、次のように表すことができます。 ${\displaystyle |-\rangle _{B}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$。

C-ROTゲート（制御ラビ回転）は、核スピンがz軸を中心に回転することを除いてC-NOTゲートと同等である。 ^{[10] [11]}${\displaystyle \pi /2}$

トラップイオン量子コンピュータ:

• Cirac–Zoller 制御 NOT ゲート
• モルマー・ソーレンセン門

2024年5月、カナダは、 34量子ビット以上でエラー率が一定のCNOTエラー閾値を下回る量子コンピュータの販売に対する輸出制限と、より多くの量子ビットとより高いエラー率を持つ量子コンピュータに対する制限を実施した。^[12]同じ制限は、英国、フランス、スペイン、オランダでもすぐに現れた。これらの国はこの措置についてほとんど説明しなかったが、いずれもワッセナー協定加盟国であり、制限は量子暗号や競争からの保護を含む国家安全保障上の懸念に関連していると思われる。 ^{[13] [14]}

• トフォリゲート（制御-制御-NOTゲート）

• マイケル・ウェストモアランド：「量子力学における分離と情報の流れ」 - Cnot ゲートに関する議論