部分的なトレース

線型代数と関数解析において、部分トレースはトレースの一般化です。トレースが演算子上のスカラー値関数であるのに対し、部分トレースは演算子値関数です。部分トレースは、量子情報とデコヒーレンスに応用され、量子測定に関連し、それによって無矛盾な履歴や相対状態の解釈を含む量子力学の解釈に対するデコヒーレントなアプローチに関連します。

、がそれぞれ次元、 を持つ体上の有限次元ベクトル空間であるとします。任意の空間⁠ ⁠に対して、が上の線型作用素の空間を表すものとします。上の部分トレースは⁠ ⁠と表され、 はクロネッカー積を表します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)}$${\displaystyle \otimes }$

これは次のように定義される: ⁠ ⁠${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$に対して、⁠ ⁠${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$、⁠ ⁠をそれぞれ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$VとWの基底とすると、T は行列表現を持つ 。

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}$

の 基準に相対的 。 ${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$${\displaystyle V\otimes W}$

ここで、1, ..., m の範囲のインデックスk , iについて、合計を考える。

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}}$

これは行列b _{k , i}を与える。V 上の関連する線形演算子は基底の選択に依存せず、定義により部分トレースとなる。

物理学者の間では、これはしばしば、WとVが量子系に関連付けられたヒルベルト空間であるコンテキストで、V上の演算子のみを残すためにWを「トレースアウト」または「トレースオーバー」すると呼ばれます (以下を参照)。

部分トレース演算子は、次のように不変的に（つまり、基底を参照せずに）定義できる。それは、唯一の線形写像である。

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)}$

そのような

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).}$

上記の条件が部分トレースを一意に決定することを確認するには、が の基底を形成し、 がの基底を形成し、が に送る（および他のすべての基底要素を 0 に送る）写像であり、が に送る写像であるとします。ベクトルはの基底を形成するため、写像はの基底を形成します。${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle E_{ij}:V\to V}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle F_{kl}\colon W\to W}$${\displaystyle w_{k}}$${\displaystyle w_{l}}$${\displaystyle v_{i}\otimes w_{k}}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle E_{ij}\otimes F_{kl}}$${\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)}$

この抽象的な定義から、次のプロパティが導き出されます。

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}$

ジョイアル、ストリート、およびベリティのトレースモノイドカテゴリの概念の対象は、線型変換の部分トレースである。トレースモノイドカテゴリは、カテゴリ内のオブジェクトX、Y、Uに対して、ホム集合の関数を伴うモノイドカテゴリである。 ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}:\operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

特定の公理を満たす。

この抽象概念の部分トレースの別のケースは、有限集合とそれらの間の全単射のカテゴリで発生し、モノイド積は非結合和です。任意の有限集合X、Y、U、および全単射に対して、対応する「部分的にトレースされた」全単射が存在することが示されます。${\displaystyle X+U\cong Y+U}$${\displaystyle X\cong Y}$

部分トレースは無限次元ヒルベルト空間上の作用素に一般化される。V 、Wがヒルベルト空間であるとし、

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

はWの正規直交基底となる。等長同型性が存在する。

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

この分解では、任意の演算子はV上の演算子の無限行列とみなすことができる。${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

どこ。 ${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)}$

まず、T が非負の演算子であると仮定します。この場合、上記の行列の対角要素はすべてV上の非負の演算子です。

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

L( V )の強い作用素位相に収束する場合、それはWの選択された基底に依存しません。部分トレースTr _W ( T )はこの作用素として定義されます。自己随伴作用素の部分トレースは、正の部分と負の部分の部分トレースが定義されている場合にのみ定義されます。

W が正規直交基底を持ち、ケットベクトル表記で⁠ ⁠${\displaystyle \{\vert \ell \rangle \}_{\ell }}$と表すとすると、

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.}$

括弧内の上付き文字は行列の成分を表すのではなく、行列自体のラベルを表します。

有限次元ヒルベルト空間の場合、Wのユニタリ群 U( W )上の適切に正規化されたハール測度 μ に関する積分を含む部分トレースを調べる便利な方法があります。適切に正規化されるとは、 μ が全質量 dim( W )を持つ測度としてとられることを意味します。

定理。V 、Wが有限次元ヒルベルト空間であるとする。すると、

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

は、 の形式内のすべての演算子と可換であるため、 の形式に一意に属します。演算子Rは、 Tの部分トレースです。 ${\displaystyle I_{V}\otimes S}$${\displaystyle R\otimes I_{W}}$

部分トレースは量子演算として見ることができる。状態空間がヒルベルト空間のテンソル積である量子力学システムを考える。混合状態は密度行列ρによって記述され、これはテンソル積上のトレース 1 の非負トレースクラス演算子である。システムBに関するρ の部分トレースは と表記され、システムA上のρの縮約状態と呼ばれる。記号では、^[1]${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$ ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$${\displaystyle \rho ^{A}}$ $${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$$

これが実際にサブシステムAの状態をρ に割り当てる賢明な方法であることを示すために、次の正当性を示します。サブシステムA上の観測量をMとすると、複合システム上の対応する観測量は です。縮小状態 をどのように定義するかにかかわらず、測定統計の一貫性が必要です。サブシステムAが で準備された後のMの期待値と、複合システムが ρ で準備されたときの の期待値は同じである必要があります。つまり、次の等式が成り立つ必要があります。 ${\displaystyle M\otimes I}$${\displaystyle \rho ^{A}}$${\displaystyle \rho ^{A}}$${\displaystyle M\otimes I}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{A}(M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}$

部分トレースにより、が上で定義されている 場合、これが満たされることがわかります。さらに、このような操作は一意です。${\displaystyle \rho ^{A}}$

T ( H ) をヒルベルト空間H上のトレースクラス作用素のバナッハ空間とする。部分トレースは写像として見れば簡単に確認できる。

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}$

完全に陽性であり、トレース保存性があります。

密度行列 ρ はエルミート行列、半正定値行列、トレース 1 を持ちます。これはスペクトル分解されます。

${\displaystyle \rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1}$

部分トレースもこれらの条件を満たすことは容易に分かる。例えば、の任意 の純粋状態に対して、${\displaystyle \rho ^{A}}$${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$${\displaystyle H_{A}}$

${\displaystyle \langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0}$

項は、複合システムが状態 にあるときに状態 が見つかる確率を表すことに注意してください。これは、 の半正定値を証明します。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]}$${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$${\displaystyle |\Psi _{m}\rangle }$${\displaystyle \rho ^{A}}$

上で与えられた部分トレース写像は、次式で与えられる 有界作用素のC*-代数間の双対写像を誘導する。${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$${\displaystyle \;H_{A}}$${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$は観測量を観測量にマッピングし、⁠ ⁠のハイゼンベルク画像表現です。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}$

量子力学系の代わりに、2つの系AとBが古典系であると仮定する。各系の観測可能空間はアーベルC*代数となる。これらはコンパクト空間X、Yに対してそれぞれC ( X )とC ( Y )の形をとる。複合系の状態空間は単純に

${\displaystyle C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).}$

複合システム上の状態は C( X × Y )の双対の正元ρであり、リース・マルコフの定理により、 X × Y上の通常のボレル測度に対応します。対応する簡約状態は、測度ρ をXに射影することによって得られます。したがって、部分トレースはこの操作の量子力学的等価物です。

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• ジョンストン、ナサニエル (2021)。上級線形および行列代数。シュプリンガー。p. 367。doi : 10.1007/ 978-3-030-52815-7。ISBN 978-3-030-52815-7。