ハーディのパラドックス

ハーディのパラドックスは、1992年から1993年にかけてルシアン・ハーディ^{[1] [2]}によって考案された量子力学の思考実験であり、粒子とその反粒子は互いに 消滅することなく相互作用する可能性があるというものである。

弱い測定^[5]の技術を用いた実験^{[3] [4]では、}偏光光子の相互作用を研究し、この現象が実際に起こることを実証した。しかし、これらの実験の結果は、過去の出来事は発生後に確率的な波の崩壊として推論できるということに過ぎない。これらの弱い測定は、それ自体が観測であると考えられており、したがって波の崩壊の原因の一部であり、客観的な結果は固定された現実ではなく確率関数にすぎない。しかし、実験を注意深く分析すると、ハーディのパラドックスは、測定装置との相互作用に関係なくシステムが現実の状態を満たすと仮定する理論は存在できないため、局所的な隠れた変数理論は存在できないことを証明しているだけであることがわかった。^[要出典]これは、実験と一致するためには、量子理論は非局所的（ベルの意味で）かつ文脈的である必要があることを裏付けている。

ハーディの思考実験の基本的な構成要素は、量子粒子と反粒子用の 2 つのマッハ・ツェンダー干渉計です。ここでは、電子と陽電子を例に説明します。各干渉計は、曲がった経路と 2 つのビーム スプリッター (添付の図ではBS ¹とBS ²と表示) で構成されており、個別に動作しているときに、粒子が常に同じ粒子検出器 (図ではcと表示されています。cは「建設的干渉」、d は「破壊的干渉」を表します) から出るように調整されています。たとえば、右側の干渉計が単独で動作している場合、入ってくる電子 ( e ⁻と表示) は、経路v ^{− を}取る電子と経路w ⁻を取る電子(図では、w ^{−経路の後半部分は}u ⁻と表示されています) の量子重ね合わせになりますが、これらは建設的に干渉するため、常にアームc ⁻から出ていきます。

${\displaystyle \left|e^{-}\right\rangle \to {\frac {\left|v^{-}\right\rangle +i\left|w^{-}\right\rangle }{\sqrt {2}}}\to i\left|c^{-}\right\rangle .}$

同様に、陽電子（e ⁺とラベル付け）は常にc ⁺で検出されます。

実際の実験では、干渉計は図に示すように経路の一部が重なるように配置されます。一方のアーム、たとえばw ⁻の粒子の振幅が、それに衝突するw ⁺の 2 番目の粒子によって遮られた場合、 v振幅のみが 2 番目のビームスプリッターに到達し、等しい振幅でc ⁺とd ^{+のアームに分割されます。したがって、} d ⁺の粒子の検出は、遮蔽粒子の存在を示しますが、消滅は起こりません。このため、この方式は相互作用のない測定と名付けられました。

（古典的に言えば）電子と陽電子の両方がそれぞれの干渉計でw経路をたどる場合、それらは消滅して2つのガンマ線を生成します。これが起こる確率は4分の1です。最終的なビームスプリッターの前のシステムの状態は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \left|w^{+}\right\rangle \left|w^{-}\right\rangle \to \left|\gamma \right\rangle \left|\gamma \right\rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left|v^{+}\right\rangle \left|v^{-}\right\rangle +i\left|v^{+}\right\rangle \left|w^{-}\right\rangle +i\left|w^{+}\right\rangle \left|v^{-}\right\rangle -\left|\gamma \right\rangle \left|\gamma \right\rangle \right).}$

検出器は をクリックし、検出器は をクリックするので、これは次のようになります。 ${\displaystyle |c\rangle}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|v\rangle +i|w\rangle )}$${\displaystyle |d\rangle}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|v\rangle -i|w\rangle )}$

${\displaystyle \left|e^{+}e^{-}\right\rangle \to {\frac {1}{4}}\left(3\left|c^{+}\right\rangle \left|c^{-}\right\rangle +\left|c^{+}\right\rangle \left|d^{-}\right\rangle +\left|d^{+}\right\rangle \left|c^{-}\right\rangle -\left|d^{+}\right\rangle \left|d^{-}\right\rangle -2\left|\gamma \right\rangle \left|\gamma \right\rangle \right).}$

確率はこれらの振幅の絶対値の二乗なので、各粒子がそれぞれのc検出器で検出される確率は 16 分の 9、1 つの粒子がc検出器で検出され、もう 1 つの粒子がd検出器で検出される確率はそれぞれ16 分の 1 、または両方の粒子が d 検出器で検出される確率はそれぞれ 16 分の 1、電子と陽電子が消滅してどちらも検出されない確率は 16 分の 4 (4 分の 1) である。両方の d検出器で検出されることは次のように表されること に注意してください。

${\displaystyle {\frac {|v^{+}\rangle -i|w^{+}\rangle }{\sqrt {2}}}{\frac {|v^{-}\rangle -i|w ^{-}\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{2}}\left(|v^{+}\rangle |v^{-}\rangle -i|v^{+}\rangle |w^{-}\rangle -i|w^{+}\rangle |v^{-}\rangle -|w^{+}\rangle |w^{- }\rangle \right).}$

これは、最終ビームスプリッターの前の状態の上記の式とは直交しません。それらの間のスカラー積は 1/4 であり、逆説的に、これが発生する確率は 16 分の 1 であることを示しています。

この状況は、相互作用のない同時測定 2 つの観点から分析できます。左側の干渉計の観点からは、d ⁺でのクリックは、妨害する電子がu ^{−に存在することを意味します。同様に、右側の干渉計では、} d ⁻でのクリックは、u ⁺での陽電子の存在を意味します。実際、 d ⁺ (またはd ⁻ )でクリックが記録されるたびに、もう 1 つの粒子がu ⁻ (またはu ⁺ )に見つかります。粒子が独立している (ローカルな隠れた変数によって記述される) と仮定すると、粒子がd ⁺とd ⁻に同時に出現することは決してないという結論になります。これは、粒子がu ⁺とu ⁻にあったことを意味しますが、これは消滅プロセスのため発生しません。

すると、パラドックスが生じます。なぜなら、粒子がd ⁺とd ⁻で同時に出現することがあるからです(確率p  = 1/16)。量子力学的には、この用語は、実際のところ、最終ビーム スプリッターの直前の状態が最大限にエンタングルされていない性質を持つことから生じます。 ${\displaystyle \left|d^{+}\right\rangle \left|d^{-}\right\rangle }$

2001 年のYakir Aharonovらによる論文^[6]では、各ブランチの電子または陽電子の数は理論的に観測可能で、wブランチでは 0、vブランチでは 1 であることが指摘されています。しかし、任意の組み合わせの電子と陽電子のペアの数も観測可能であり、単一粒子の値の積では与えられません。したがって、wwペア (両方の粒子がw経路上にある) の数は 0、各wvペアは 1、vv 組み合わせの数は -1 であることがわかります。彼らは、 v経路の電子と陽電子を一時的に箱の中に閉じ込め、それらの相互の静電引力の効果を観察することによって、これを物理的に観測できる方法を提案しました。彼らは、実際には箱の間に反発力が見られるだろうと述べました。

2009 年にジェフ・ランディーンとエフライム・M・スタインバーグは、光子を使った「ハーディのパラドックス」システムを設定した論文^{[3]を発表しました。405 nm レーザーが}バリウムホウ酸塩結晶を通過し、互いに直交する偏光を持つ 810 nm 光子のペアを生成します。次に、これらの光子はビームスプリッターに当たり、50% の確率で光子をバリウムホウ酸塩結晶に戻します。405 nm のポンピングビームもミラーで反射し、バリウムホウ酸塩に戻ります。810 nm 光子の両方が結晶に戻った場合、戻ってきたポンプビームとの相互作用によって消滅します。いずれにせよ、結晶を通過する光子ビームとビーム スプリッターを通過する光子ビームは、どちらも「垂直偏光」ビームと「水平偏光」ビームに分離され、ハーディのスキームにおける「電子」と「陽電子」に対応します。2 つの「電子」ビーム (1 種類の偏光を持つ光子) はビーム スプリッターで結合され、1 つまたは 2 つの検出器に送られます。「陽電子」(その他の光子) も同様です。古典的には、著者が「ダーク ポート」と呼ぶ場所では光子は検出されないはずです。光子が最初のビーム スプリッターから両方向に進むと、光子同士が干渉し合うからです。一方、光子が 1 つの経路のみを通ると、逆説によりダーク ポートで光子の両方を検出することができません。偏光を 20 度回転させ、特定のビームに半波長板を使用し、検出器で同時発生率を測定することで、異なるアーム (経路) と組み合わせの「占有」を計算できる弱い測定を行うことができました。アハロノフと同僚が予測したように、両方の光子が外側 (消滅なし) の経路を取る組み合わせでは負の値が得られました。結果は予測どおりではなく、これは不完全な切り替え (消滅) と相互作用のない測定によるものだと彼らは考えています。

• 不確定性原理
• 波動関数の崩壊

• エフライム・スタインバーグの講義2012年、Wayback Machineに 2015-10-02 アーカイブ