無通信定理

物理学 において、通信禁止定理（信号不伝達原理とも呼ばれる）は、量子情報理論における必須定理である。この定理は、量子もつれ状態の測定中、観測者間の空間的な距離に関わらず、一方の観測者から他方の観測者へ情報を伝達することは不可能であると主張する。この結論は、量子力学における因果律を維持し、情報伝達が光速を超えることによって特殊相対性理論に違反しないことを保証する。

この定理が重要なのは、量子もつれによって遠く離れた事象間に相関関係が生じ、それが一見すると超光速通信を可能にするように見えるからである。しかし、非通信定理は、局所的な因果律の破綻が、アインシュタインが最初に提唱した「遠隔作用」という概念を用いて超光速通信を行うことを意味しないことを示している。

無通信定理は、量子力学の枠組みでは、量子もつれ状態であろうとなかろうと、注意深く準備された混合状態または純粋状態によって古典的な情報ビットを送信することは不可能であると述べている。この定理は、クラウス行列が可換であれば量子もつれ状態を介した通信は不可能であり、これはすべての通信に適用できるという十分条件にすぎない。相対性理論と量子場理論の観点からは、光速よりも速い、あるいは「瞬間的な」通信も許されない。 ^{[ 1 ]： 100}十分条件にすぎないため、通信が許されない他の理由も存在する可能性がある。

この定理の基本的な前提は、量子力学的システムがいくつかのエンタングル状態を持つ初期状態に準備され、この初期状態がヒルベルト空間Hにおける混合状態または純粋状態として記述できるというものである。一定時間後、システムは2つの部分に分割され、それぞれにいくつかの非エンタングル状態と量子エンタングル状態の半分が含まれる。そして、2つの部分は空間的に分離され、AとBとなり、それぞれ異なる観測者、アリスとボブに送られる。アリスとボブは、システム全体 ( AとB )のそれぞれの部分に対して量子力学的測定を自由に行うことができる。問題は、アリスがAに対して行う操作で、ボブがBを観測することで検出できるものがあるかどうかである。この定理は「ない」と答える。

この定理を導く上で重要な前提は、アリスもボブも、いかなる形であれ、初期状態の準備に影響を与えることが許されないということである。もしアリスが初期状態の準備に参加できるとしたら、そこにメッセージをエンコードすることは容易にできてしまうだろう。したがって、アリスもボブも初期状態の準備には参加しない。この定理は、初期状態が何らかの形で「ランダム」である必要も、「バランスが取れている」必要も、「均一」である必要もない。実際、初期状態を準備する第三者が、アリスとボブが受信するメッセージを容易にエンコードすることができる。簡単に言えば、この定理は、何らかの方法で準備された初期状態が与えられた場合、アリスがどのような行動をとっても、ボブに検出されることはない、ということを述べているのである。

証明は、ヒルベルト空間H全体を、アリスとボブがアクセスできる部分空間であるH _AとH _Bの 2 つの部分に分割する方法を定義することから始まります。システムの全体状態は密度行列σ で表されます。この定理の目的は、ボブが測定前の状態 σ と測定後の状態P (σ) を区別できないことを証明することです。これは、部分空間H _A上でトレースを取ってσ のトレースとP (σ)のトレースを比較することによって数学的に達成されます。トレースは部分空間上のものだけなので、技術的には部分トレースと呼ばれます。このステップの鍵は、(部分) トレースがボブの視点からシステムを適切に要約していることです。つまり、ボブがアクセスできる、または将来アクセスできる可能性のあるすべてのもの、測定または検出できるものはすべて、システム σ のH _A上の部分トレースによって完全に記述されます。アリスが測定を行ってもこのトレースが変化しないという事実が、通信禁止定理の証明の結論となります。^{[ 1 ] : 100}

この定理の証明は、ベル検定の設定でよく説明される。ベル検定では、2人の観測者アリスとボブが共通の二体システムに対して局所的な観測を行い、量子力学の統計的手法、すなわち密度状態 と量子演算を用いる。^{[ 1 ] : 100 [ 2 ] [ 3 ] : 96}

アリスとボブは、基礎となるヒルベルト空間が $${\displaystyle H=H_{A}\otimes H_{B}.}$$

収束問題を回避するため、すべてが有限次元であると仮定する。複合システムの状​​態は、H上の密度演算子によって与えられる。H 上の任意の密度演算子σ は、次の形式の和である。 $$\displaystyle \sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}}$$ ここで、 T _iと S _iはそれぞれH _AとH _B上の演算子です。以下では、T _iと S _{i が} 状態射影演算子であると仮定する必要はありません。つまり、必ずしも非負である必要はなく、トレースが 1 である必要もありません。つまり、σ は密度行列の定義よりもやや広い定義を持つことができます。それでも定理は成り立ちます。分離可能な状態の場合、定理は自明に成り立つことに注意してください。共有状態 σ が分離可能であれば、アリスによる任意の局所操作によってボブのシステムが損なわれることはないことは明らかです。したがって、この定理の要点は、共有エンタングル状態を介して通信は実現できないということです。

アリスは自身のサブシステムに対して局所的な測定を行う。一般に、これはシステム状態に対する以下の種類の量子操作によって記述される。 $${\displaystyle P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),}$$ ここで、V _kはクラウス行列と呼ばれ、 $${\displaystyle \sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.}$$

用語 $${\displaystyle I_{H_{B}}}$$ その表現から $${\displaystyle (V_{k}\otimes I_{H_{B}})}$$ これは、アリスの測定装置がボブのサブシステムと相互作用しないことを意味する。

結合システムが状態σで準備されていると仮定し、議論のために非相対論的な状況を想定すると、アリスが測定を行った直後（時間遅延なし）、ボブのシステムの相対状態は、アリスのシステムに対する全体状態の部分トレースによって与えられる。記号で表すと、アリスの操作後のボブのシステムの相対状態は次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {tr} _{H_{A}}}$これは、アリスのシステムに関する部分的なトレースマッピングです。

この状態は直接計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).\end{aligned}}}$$

このことから、統計的に見て、ボブはアリスが行ったこととランダムな測定値（あるいはアリスがそもそも何かを行ったかどうか）を区別できないと主張される。

• 無通信定理は無クローン定理を暗示しており、量子状態は（完全に）コピーできないと述べている。つまり、クローンは古典情報の通信が起こるための十分条件である。これを理解するために、量子状態がクローンできると仮定してみよう。最大エンタングルしたベル状態の一部がアリスとボブに分配されると仮定する。アリスは次のようにしてボブにビットを送信できる。アリスが「0」を送信したい場合、 z方向の電子のスピンを測定し、ボブの状態を崩壊させる。${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$または${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$アリスが「1」を送信するには、自分の量子ビットには何も操作を加えません。ボブは電子の状態のコピーを多数作成し、それぞれのコピーのz方向のスピンを測定します。ボブは、すべての測定結果が同じであれば、アリスが「0」を送信したことを知ることができます。そうでなければ、測定結果は異なります。${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$または${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$等しい確率で。これにより、アリスとボブは互いに古典的なビットを通信できるようになる（空間的な距離を越えて、因果律に違反する可能性がある）。
• 本稿で議論する非通信定理のバージョンは、アリスとボブが共有する量子システムが複合システム、すなわちその基礎となるヒルベルト空間がテンソル積であり、その第１の因子がアリスが相互作用できるシステムの部分を表し、第２の因子がボブが相互作用できるシステムの部分を表すと仮定している。量子場理論では、この仮定はアリスとボブが空間的に分離されているという仮定に置き換えることができる。^{[ 4 ]}この非通信定理の別のバージョンは、量子場理論の規則に従うプロセスを使用して光速を超える通信を実現することはできないことを示している。

1978年、フィリップ・H・エーベルハルトの論文「ベルの定理と局所性のさまざまな概念」は、量子システムを介した光速を超える通信の不可能性を厳密に実証した。^{[ 5 ]}エーベルハルトは局所性に関するいくつかの数学的概念を導入し、量子力学が因果律を維持しながらそれらのほとんどと矛盾することを示した。

さらに、1988年にエーベルハルトとロナルド・R・ロスによる論文「量子場理論は超光速通信を提供できない」では、相対論的量子場理論が本質的に超光速通信を禁じていることが分析されている。^{[ 6 ]}この研究は、量子場特性の誤った解釈が超光速通信の主張につながった経緯を詳しく説明し、それを妨げる数学的原理を指摘している。

通信に関して言えば、量子チャネルは共有量子状態を介して古典情報を転送するために常に使用できます。^{[ 7 ] [ 8 ]} 2008年にマシュー・ヘイスティングスは、最小出力エントロピーがすべての量子チャネルで加算的ではない反例を証明しました。したがって、ピーター・ショアによる等価性の結果により、^{[ 9 ]}ホレボ容量は単に加算的であるだけでなく、エントロピーのように超加算的であり、結果として、古典容量よりも多くを転送できる量子チャネルが存在する可能性があります。^{[ 10 ] [ 11 ]}通常、全体的な通信は量子チャネルと非量子チャネルを介して同時に発生し、一般に時間順序と因果律は破られません。

2015年8月24日、オランダのデルフト工科大学の物理学者ロナルド・ハンソン率いるチームが、検出の抜け穴と通信の抜け穴の両方に同時に対処した初のベル実験を報告した最新の論文をプレプリントウェブサイトarXivにアップロードした。研究チームは、光子と物質粒子の利点を組み合わせた「エンタングルメントスワッピング」と呼ばれる巧妙な技術を使用した。最終的な測定では、2つの電子間のコヒーレンスがベル限界を超えていることが示され、量子力学の標準的な見解を再び支持し、アインシュタインの隠れた変数理論を否定した。さらに、電子は容易に検出できるため、検出の抜け穴はもはや問題ではなくなり、2つの電子間の距離が大きいため、通信の抜け穴も解消される。^{[ 12 ]}

• 非放送定理
• 削除不可定理
• 隠蔽禁止定理
• テレポート不可定理

• Florig, Martin; Summers, Stephen J. (1997). 「観測量の代数の統計的独立性について」. Journal of Mathematical Physics . 38 (3). AIP Publishing: 1318–1328 . Bibcode : 1997JMP....38.1318F . doi : 10.1063/1.531812 . ISSN 0022-2488 .