超高密度コーディング

量子情報理論において、超高密度符号化（高密度符号化とも呼ばれる）は、送信者と受信者がエンタングルされたリソースを事前に共有するという仮定の下、少数の量子ビットのみを送信することによって多数の古典的な情報ビットを通信する量子通信プロトコルである。最も単純な形式では、このプロトコルには、この文脈ではしばしばアリスとボブと呼ばれる2つの当事者が関与し、最大限にエンタングルされた量子ビットのペアを共有し、アリスが1つの量子ビットのみを送信することによって2つのビット（つまり、00、01、10、または11のいずれか）をボブに送信できるようにする。^{[1] [2]}このプロトコルは、 1970年にチャールズ・H・ベネットとスティーブン・ウィーズナーによって最初に提案され^{[3] （ただし、彼らによって公開されたのは1992年までなかった）、1996年にクラウス・マトル、ハラルド・ヴァインフルター、ポール・G・クワット、}アントン・ツァイリンガーによってエンタングルされた光子対を使用して実験的に実現された。 [ ^{2]超高密度符号化は}量子テレポーテーションの逆として考えることができます。量子テレポーテーションでは、アリスとボブが事前に共有されたベルペアを持っている限り、2つの古典ビットを通信することによってアリスからボブに1つの量子ビットを転送します。^[2]

単一の量子ビットによる 2 ビットの送信は、アリスが自分のもつれ状態に対して実行する4 つの 量子ゲート操作の中から選択できることにより可能になります。アリスは、送信したいビットのペアに応じて、実行する操作を決定します。次に、アリスは、選択したゲートによって生成された量子ビット状態をボブに送信します。この量子ビットは、アリスが操作を選択するために使用した 2 つのビットに関する情報をエンコードしており、ボブは、それらの間の事前共有されたもつれのおかげで、この情報を取得できます。アリスの量子ビットを受信し、ペアに対して操作を行い、両方を測定すると、ボブは 2 つの古典的な情報ビットを取得します。アリスとボブがもつれを事前に共有しない場合は、ホレボの定理に違反するため、超高密度プロトコルは不可能であることを強調しておく価値があります。

超高密度符号化は、安全な量子秘密符号化の基本原理です。送信される情報を復号するために両方の量子ビットが必要であるため、盗聴者がメッセージを傍受するリスクが排除されます。^[4]

アリスが、量子ビット（古典ビットではなく）を使用して、2 つの古典ビットの情報（00、01、10、または 11）をボブに送信したいとします。これを行うには、第三者であるチャーリーがベル回路またはゲートを使用してエンタングルメント状態（ベル状態など）を準備します。次に、チャーリーはこれらの量子ビットの 1 つ（ベル状態）をアリスに送信し、もう 1 つをボブに送信します。アリスは、エンタングルメント状態の量子ビットを取得すると、ボブに送信する 2 ビット メッセージ（00、01、10、または 11）に応じて、特定の量子ゲートを量子ビットに適用します。その後、アリスのエンタングルメント量子ビットはボブに送信され、ボブは適切な量子ゲートを適用して測定を行った後、古典的な 2 ビット メッセージを取得できます。アリスは、ボブの射影測定から正しい古典ビットを取得するためにどのゲートを適用するかをボブに伝える必要がないことに注意してください。

プロトコルは、準備、共有、エンコード、送信、デコードという 5 つのステップに分けられます。

プロトコルはエンタングルメント状態の準備から始まり、これは後にアリスとボブの間で共有される。例えば、次のベル状態は

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

が作成されます。ここで、 はテンソル積を表します。一般的な使用法では、テンソル積記号は省略されることがあります。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle +|1_{A}1_{B}\rangle )}$。

ベル状態の準備ができたら、添え字Aで示される量子ビットがアリスに送信され、添え字Bで示される量子ビットがボブに送信されます。アリスとボブは、互いに無制限の距離にある別の場所にいる可能性があります。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

エンタングルメント状態の準備と共有と、手順の残りのステップとの間には、任意の期間が存在する場合があります。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

量子ゲートを量子ビットに局所的に適用することで、アリスはエンタングルメント状態を4 つのベル状態(もちろん も含む) のいずれかに変換できます。このプロセスでは、2 つの量子ビット間のエンタングルメントを「破壊」できないことに注意してください。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

ここで、アリスがボブに送信する古典的な 2 ビット メッセージに応じて、エンタングルされた量子ビットに対して実行する必要がある操作について説明します。これらの特定の操作が実行される理由については後で説明します。4 つのケースがあり、アリスが送信する可能性のある 4 つの 2 ビット文字列に対応しています。

1. アリスが古典的な2ビットの文字列00をボブに送りたい場合、彼女は恒等量子ゲートを自分の量子ビットに適用して、それが変化しないようにします。その結果生じるエンタングルメント状態は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {I} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle |B_{00}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle +|1_{A}1_{B}\rangle )}$

言い換えれば、アリスとボブの間で共有されているエンタングルメント状態は変化していない、つまり依然として です。この表記は、アリスが 2 ビットの文字列 00 を送信しようとしていることを示しています。 ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$${\displaystyle |B_{00}\rangle }$

2. アリスが古典的な2ビットの文字列01をボブに送信したい場合、彼女は量子NOT（またはビット反転）ゲート、を自分の量子ビットに適用し、結果として生じる量子もつれ状態は次のようになります。 ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle |B_{01}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}0_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )}$

3. アリスが古典的な2ビットの文字列10をボブに送りたい場合、彼女は量子位相反転ゲートを 自分の量子ビットに適用し、その結果生じるエンタングルメント状態は次のようになる。 ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle |B_{10}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle -|1_{A}1_{B}\rangle )}$

4. 代わりに、アリスが古典的な2ビットの文字列11をボブに送信したい場合は、彼女は量子ゲートを自分の量子ビットに適用し、結果として生じるエンタングルメント状態は次のようになります。 ${\displaystyle Z*X=iY={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle |B_{11}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}1_{B}\rangle -|1_{A}0_{B}\rangle )}$

行列、、 はパウリ行列として知られています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$

上記の操作のいずれかを実行した後、アリスは従来の物理媒体を介して 量子ネットワークを使用して、エンタングルされた量子ビットをボブに送信できます。

ボブがアリスがどの古典ビットを送信したかを調べるために、A を制御量子ビット、B をターゲット量子ビットとしてCNOTユニタリ演算を実行します。次に、エンタングルされた量子ビット A に対してユニタリ演算を実行します。言い換えると、アダマール量子ゲート H は A にのみ適用されます (上図を参照)。 ${\displaystyle H\otimes I}$

• 結果として生じたエンタングルメント状態が、上記のユニタリ演算を適用した後のエンタングルメント状態は次のようになる。${\displaystyle B_{00}}$${\displaystyle |00\rangle }$
• 結果として生じたエンタングルメント状態が、上記のユニタリ演算を適用した後のエンタングルメント状態は次のようになる。${\displaystyle B_{01}}$${\displaystyle |01\rangle }$
• 結果として生じたエンタングルメント状態が、上記のユニタリ演算を適用した後のエンタングルメント状態は次のようになる。${\displaystyle B_{10}}$${\displaystyle |10\rangle }$
• 結果として生じたエンタングルメント状態が、上記のユニタリ演算を適用した後のエンタングルメント状態は次のようになる。${\displaystyle B_{11}}$${\displaystyle |11\rangle }$

ボブによって実行されるこれらの操作は、エンタングルメント状態を 4 つの 2 量子ビット基底ベクトルの1 つに投影する測定として考えることができます(結果と以下の例からわかるように)。 ${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$

例えば、結果として生じるエンタングルメント状態（アリスが実行した操作後）が であった場合、Aを制御ビット、BをターゲットビットとするCNOTはに変化します。ここで、アダマールゲートをAのみに適用して、 ${\displaystyle B_{01}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}0_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )}$${\displaystyle B_{01}}$${\displaystyle B_{01}'={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}1_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )}$

${\displaystyle B_{01}''={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )\right)}_{A}\otimes |1_{B}\rangle +{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\right)}_{A}\otimes |1_{B}\rangle \right].}$

簡単にするために、下付き文字は削除できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{01}''&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )\otimes |1\rangle +{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes |1\rangle \right)\\&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|11\rangle )+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|11\rangle )\right)={\tfrac {1}{2}}|01\rangle -{\tfrac {1}{2}}|11\rangle +{\tfrac {1}{2}}|01\rangle +{\tfrac {1}{2}}|11\rangle =|01\rangle .\end{aligned}}}$

現在、ボブは基底状態 を持っているので、アリスが 2 ビットの文字列 01 を送信したいと言っていることがわかります。 ${\displaystyle |01\rangle }$

超高密度符号化は、安全な量子通信の一形態です。^[4]盗聴者（一般にイブと呼ばれる）がアリスの量子ビットをボブに渡す途中で傍受した場合、イブが取得できるのはエンタングルメント状態の一部だけです。ボブの量子ビットにアクセスできないため、イブはアリスの量子ビットから情報を取得できません。第三者は超高密度符号化を通じて通信される情報を盗聴することはできず、どちらかの量子ビットを測定しようとすると、その量子ビットの状態が崩れ、ボブとアリスに警告が届きます。

一般的な密な符号化方式は、量子チャネルを記述するために使用される言語で定式化できます。アリスとボブは最大限にエンタングルされた状態ωを共有しています。アリスとボブが最初に所有するサブシステムをそれぞれ 1 と 2 とラベル付けします。メッセージx を送信するために、アリスは適切なチャネルを適用します。

${\displaystyle \;\Phi _{x}}$

サブシステム1では、これは次のように行われます。

${\displaystyle \omega \rightarrow (\Phi _{x}\otimes I)(\omega )}$

ここで、I はサブシステム 2 上の恒等写像を表します。アリスはサブシステムをボブに送信し、ボブは結合されたシステムで測定を実行してメッセージを復元します。ボブの測定は、となる半正定値演算子を持つPOVM によってモデル化されます。ボブの測定装置がメッセージを記録する確率は、したがって 、目的の送信を実現するには、がクロネッカー デルタ である ことが必要です 。 ${\displaystyle \{F_{y}\}_{y}}$${\displaystyle F_{y}}$${\textstyle \sum _{y}F_{y}=I}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle p(y|x)=\langle F_{y},(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )\rangle \equiv \operatorname {Tr} [F_{y}(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )].}$$$${\displaystyle p(y|x)=\operatorname {Tr} [F_{y}(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )]=\delta _{xy},}$$${\displaystyle \delta _{xy}}$

超高密度符号化のプロトコルは、さまざまなシステムを使用して、さまざまなレベルのチャネル容量と忠実度でいくつかの実験で実現されています。 2004年には、最大エンタングルメント状態のトラップされたベリリウム9イオンが使用され、忠実度0.85でチャネル容量1.16が達成されました。 ^[5] 2017年には、光ファイバーを介して忠実度0.87でチャネル容量1.665が達成されました。 ^[6]高次元の量子クォート（非縮退の自発的なパラメトリックダウンコンバージョンによって光子対に形成される状態）を使用して、忠実度0.98でチャネル容量2.09（限界は2.32）に達しました。^[7] 核磁気共鳴（NMR）も3者間で共有するために使用されています。^[8]

• ワイルド、マーク・M、2017年、「量子情報理論」、ケンブリッジ大学出版局、eprint arXiv:1106.1145 でも入手可能

• 量子ビット、量子力学、コンピュータのコースノート
• 超高密度コーディング: 1 つの量子ビットを使用して 2 つのビットを送信する方法 ( YouTubeのMichael Nielsen著)