絡み合いの証人

量子情報理論では、エンタングルメントの証拠とは、特定のエンタングルメント状態を分離可能な状態から区別する関数です。エンタングルメントの証拠は、密度行列の線形または非線形関数です。線形の場合、エンタングルメント状態の期待値が分離可能な状態の可能な期待値の範囲外にある観測可能値と見なすこともできます。

複合量子系が状態空間 を持つとする。混合状態ρは状態空間上のトレースクラス正演算子でトレース 1 を持つ。状態の族は、トレースノルムを持つエルミートトレースクラス演算子によって生成される実バナッハ空間のサブセットとして見ることができる。混合状態ρ は、トレースノルムで次の形式の状態で近似できる場合、 分離可能である。${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\,\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

ここで、 と はそれぞれサブシステムAとB上の純粋状態です。したがって、分離可能な状態の族は純粋な積状態の閉じた凸包です。ハーン・バナッハの定理の次の変形を利用します。 ${\displaystyle \rho_{i}^{A}}$${\displaystyle \rho_{i}^{B}}$

定理と を実バナッハ空間内の互いに素な凸閉集合とし、そのうちの 1 つがコンパクト である場合、 2 つの集合を分離する 有界関数fが存在する。${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

これは、実ユークリッド空間では、凸集合とその外側の点が与えられた場合、常に両者を分離するアフィン部分空間が存在するという事実を一般化したものである。アフィン部分空間は、関数fとして現れる。現在の文脈では、分離可能状態の族は、トレースクラス演算子の空間における凸集合である。ρがエンタングルメント状態（つまり凸集合の外側にある状態）である場合、上記の定理により、分離可能状態からρ を分離する関数f が存在する。この関数f 、またはその演算子としての識別を、エンタングルメントの証人と呼ぶ。閉じた凸集合とその外側にある点を分離する超平面は複数存在するため、エンタングルメント状態に対しては、エンタングルメントの証人が複数存在する。トレースクラス演算子のバナッハ空間の双対空間は、有界演算子の集合と同型であるという事実を思い出してください。したがって、 f をエルミート演算子Aと同一視できます。したがって、いくつかの詳細を除けば、エンタングルメント状態を与えられたエンタングルメント証拠の存在を示しました。

定理すべてのエンタングルメント状態ρに対して、 となるエルミート演算子 A が存在し 、すべての分離可能な状態σに対して となる。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\rho )<0}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\sigma )\geq 0}$

と の両方が有限次元の場合、トレースクラス演算子とヒルベルト・シュミット演算子の間に違いはありません。したがって、その場合、A はリース表現定理によって与えられます。直接の系として、次のようになります。 ${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle H_{B}}$

定理混合状態σが分離可能であるのは、

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\sigma )\geq 0}$

任意の有界演算子 A に対して が成り立ち、すべての積の純粋状態に対して が成り立つ。 ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\cdot P\otimes Q)\geq 0}$${\displaystyle P\otimes Q}$

状態が分離可能な場合、定理から得られる望ましい結果は明らかに成り立ちます。一方、エンタングルメント状態が与えられた場合、そのエンタングルメント証拠の 1 つが与えられた条件に違反します。

したがって、トレースクラスバナッハ空間の有界関数fとf が積純粋状態に対して正である場合、f、またはそのエルミート演算子としての識別は、エンタングルメントの証拠です。このようなfは、何らかの状態のエンタングルメントを示します。

エンタングルメントの証人と非完全正値写像の間の同型性を用いて、ホロデッキスらは次のように示した。

定理 が有限次元であると仮定します。上の有界作用素から 上の有界作用素への任意の正の写像 Λ に対して、作用素が正であり、 が上の恒等写像、 上の有界作用素である場合、混合状態は分離可能です。 ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle \sigma \in L(H_{A})\otimes L(H_{B})}$${\displaystyle H_{B}}$${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle (I_{A}\otimes \Lambda )(\sigma )}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle \;L(H_{A})}$${\displaystyle H_{A}}$

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• RBホームズ『幾何関数解析とその応用』 Springer-Verlag、1975年。
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