ネガティブ（量子力学）

量子力学において、負性は計算が容易な量子もつれの尺度である。これは分離可能性のPPT基準から導かれる尺度である。^[1]これはもつれ単調であることが示されており^{[2] [3]}、したがってもつれの適切な尺度である。

サブシステムの負性は、密度行列の観点から次のように定義できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )\equiv {\frac {||\rho ^{\Gamma _{A}}||_{1}-1}{2}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \rho ^{\Gamma _{A}}}$はサブシステムに関する部分転置である${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle ||X||_{1}={\text{Tr}}|X|={\text{Tr}}{\sqrt {X^{\dagger }X}}}$は、演算子のトレースノルムまたは特異値の合計です。${\displaystyle X}$

代替の同等の定義は、 の負の固有値の絶対値の合計です。 ${\displaystyle \rho ^{\Gamma _{A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=\left|\sum _{\lambda _{i}}\right|=\sum _{i}}\frac {|\lambda _{i}}|-\lambda _{i}}}$

すべての固有値は どこにありますか。${\displaystyle \lambda_{i}}$

• は凸関数です:${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\sum _{i}p_{i}\rho _{i})\leq \sum _{i}p_{i}{\mathcal {N}}(\rho _{i})}$

• エンタングルメントは単調ですか？

${\displaystyle {\mathcal {N}}(P(\rho ))\leq {\mathcal {N}}(\rho )}$

ここで、任意のLOCC演算は${\displaystyle P(\rho )}$${\displaystyle \rho }$

対数的負性は、簡単に計算できるエンタングルメントの尺度であり、抽出可能なエンタングルメントの上限である。^[4] これは次のように定義される。

${\displaystyle E_{N}(\rho )\equiv \log _{2}||\rho ^{\Gamma _{A}}||_{1}}$

ここで は部分転置演算であり、 はトレースノルムを表します。 ${\displaystyle \Gamma _{A}}$${\displaystyle ||\cdot ||_{1}}$

それは次のように否定性に関連している：^[1]

${\displaystyle E_{N}(\rho ):=\log _{2}(2{\mathcal {N}}+1)}$

対数の負性

• 状態がエンタングルされている場合でもゼロになることがあります（状態がPPT エンタングルされている場合）。
• 他のほとんどのエンタングルメント測定のように、純粋状態のエンタングルメントのエントロピーには還元されません。
• テンソル積に対して加法である：${\displaystyle E_{N}(\rho \otimes \sigma )=E_{N}(\rho )+E_{N}(\sigma )}$
• は漸近連続ではありません。つまり、二部ヒルベルト空間の列（通常は次元が増加する）に対して、トレース距離でに収束する（通常は が増加する）量子状態の列を持つことはできますが、その列はに収束しません。${\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots }$${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\ldots }$${\displaystyle \rho ^{\otimes n_{1}},\rho ^{\otimes n_{2}},\ldots }$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle E_{N}(\rho _{1})/n_{1},E_{N}(\rho _{2})/n_{2},\ldots }$${\displaystyle E_{N}(\rho )}$
• 蒸留可能なエンタングルメントの上限である

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