分離可能な状態

量子力学では、分離可能状態は、積状態の凸結合として記述できる多部分量子状態です。積状態は、各空間の状態のテンソル積として記述できる多部分量子状態です。これらの定義の背後にある物理的な直感は、積状態は異なる自由度の間に相関関係がないのに対し、分離可能状態は相関関係がある可能性があるが、そのような相関関係はすべて、エンタングルメントによるものではなく、古典的なランダム変数によるものとして説明できるというものです。

純粋状態の特殊なケースでは、定義は単純化されます。純粋状態は、積状態である場合にのみ分離可能です。

状態が分離不可能な場合、その状態はエンタングルされていると言われます。一般に、状態が分離可能かどうかを判断するのは簡単ではなく、その問題はNP 困難として分類されます。

まず、二部状態と呼ばれる 2 つの自由度を持つ複合状態を考えます。量子力学の公理により、これらはテンソル積空間のベクトルとして記述できます。この議論では、ヒルベルト空間と有限次元 の場合に焦点を当てます。${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

と をそれぞれと の正規直交基底とする。の基底は、またはより簡潔な表記では となる。テンソル積の定義から、ノルム 1 の任意のベクトル、つまり合成系の純粋状態は次のように表すことができる。 ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}}$${\displaystyle \{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}}$${\displaystyle \{|a_{i}b_{j}\rangle \}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

ここで、は定数です。が単純なテンソルとして、つまりi番目の空間に純粋状態を持つ の形式で記述できる場合、それは積状態であり、特に分離可能であると言われています。そうでない場合は、エンタングルドと呼ばれます。積状態と分離可能状態の概念は純粋状態では一致しますが、より一般的な混合状態の場合には一致しないことに注意してください。 ${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

純粋状態がエンタングルメント状態にあるのは、その部分状態が純粋でないときのみである。これを確認するには、のシュミット分解を次のように 書く。${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k} \rangle ),}$

ここで、は正の実数、は のシュミット階数、および はそれぞれ、およびにおける正規直交状態の集合である。 状態がエンタングルメント状態となるのは、 の場合のみである。同時に、部分状態は次の形式をとる。 ${\displaystyle {\sqrt {p_{k}}}>0}$${\displaystyle r_{\psi}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}}$${\displaystyle \{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle r_{\psi}>1}$

${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.}$

したがって、 は純粋であり、つまり は単位ランクの射影であり、 である場合に限り、 となり、これは が分離可能であることと同等です。 ${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle r_{\psi }=1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

物理的に言えば、これはサブシステムに明確な（純粋な）状態を割り当てることは不可能であり、代わりにサブシステムは純粋な状態の統計的集合、つまり密度行列として記述されるべきであることを意味します。したがって、部分状態のフォン・ノイマン・エントロピーがゼロでない 場合にのみ、純粋な状態はエンタングルメント状態になります。${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |}$${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )}$

正式には、状態の積を積空間に埋め込むことは、セグレ埋め込みによって与えられる。^[1]つまり、量子力学的純粋状態は、セグレ埋め込みの像内にある場合にのみ分離可能である。

たとえば、 の 2 量子ビット空間では、、、の状態はすべて、 の場合と同様に、積（したがって分離可能）な純粋状態です。一方、や のような状態は分離可能ではありません。 ${\displaystyle H_{1}=H_{2}=\mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle |0\rangle \otimes |0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle \otimes |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle \otimes |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle \otimes |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\sqrt {1/3}}|0\rangle +{\sqrt {2/3}}|1\rangle }$${\displaystyle {\sqrt {1/2}}|00\rangle +{\sqrt {1/2}}|11\rangle }$${\displaystyle {\sqrt {1/3}}|01\rangle +{\sqrt {2/3}}|10\rangle }$

混合状態の場合を考えてみましょう。複合システムの混合状態は、に作用する密度行列 によって記述されます。このような状態は、それぞれのサブシステムの混合状態である 、およびが存在する場合に分離可能です。${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p_{k}\geq 0}$${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

どこ

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

それ以外の場合はエンタングルメント状態と呼ばれます。上記の表現では、一般性を失うことなく、およびがすべてランク 1 の射影である、つまり適切なサブシステムの純粋な集合を表していると仮定できます。定義から、分離可能な状態の族が凸集合であることは明らかです。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

テンソル積の定義から、任意の密度行列、つまり合成状態空間に作用する任意の行列は、 および 自体が状態であり、 であるという要件を削除すれば、目的の形式で簡単に記述できることに留意してください。これらの要件が満たされている場合は、全体の状態を相関のない積状態 上の確率分布として解釈できます。 ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

量子チャネルに関しては、ローカルアクションと古典的な通信を使用して、他の任意の状態から分離可能な状態を作成できますが、エンタングルメント状態は作成できません。

状態空間が無限次元の場合、密度行列はトレース 1 を持つ正のトレースのクラス演算子に置き換えられ、トレースのノルムで上記の形式の状態で近似できる場合、状態は分離可能です。

ゼロでない が 1 つだけ存在する場合、状態は と表現でき、単純分離状態または積状態と呼ばれます。積状態の特性の 1 つは、エントロピーに関して、 ${\displaystyle p_{k}}$${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

${\displaystyle S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).}$

上記の議論は、2つ以上のサブシステムからなる量子システムの場合にも簡単に一般化できます。システムがn個のサブシステムを持ち、状態空間を持つとします。純粋状態は、次の形式をとる場合、分離可能です。 ${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$${\displaystyle |\psi \rangle \in H}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .}$

同様に、 Hに作用する混合状態ρは、それが凸和である場合に分離可能である。

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.}$

あるいは、無限次元の場合、ρ は、トレースノルムで上記の形式の状態によって近似できる場合に分離可能です。

状態が一般に分離可能かどうかを判断する問題は、分離可能性問題と呼ばれることもある。量子情報理論では、これは難しい問題だと考えられています。多くの場合NP困難であることが示されており^{[2] [3]}、一般的にそうであると信じられています。固定次元に対して直接的な力ずくのアプローチを使用して問題を解決しようとすると、この困難さをある程度理解できます。この問題は、低次元であってもすぐに手に負えなくなります。したがって、より洗練された定式化が必要です。分離可能性の問題は現在研究の対象となっています。

分離可能性基準は、状態が分離可能であるために満たさなければならない必要条件です。低次元（2 X 2および2 X 3）の場合、Peres-Horodecki基準は実際には分離可能性の必要十分条件です。その他の分離可能性基準には、範囲基準、削減基準、および不確実性関係に基づく基準が含まれます（ただし、これらに限定されません）。^{[4] [5] [6] [7]}離散変数システムにおける分離可能性基準のレビューについては、 文献^{[8]を参照してください。}

連続変数システムでは、ペレス・ホロデッキ基準も適用されます。具体的には、サイモン^[9]は、カノニカル演算子の2次モーメントの観点からペレス・ホロデッキ基準の特定のバージョンを定式化し、それが-モードガウス状態に対して必要かつ十分であることを示しました（一見異なるが本質的に同等のアプローチについては、文献[10]を参照）。後に、サイモンの条件は-モードガウス状態に対しても必要かつ十分であるが、-モードガウス状態に対してはもはや十分ではないことが判明しました^{[ 11} ] 。サイモンの条件は、カノニカル演算子の高次モーメントを考慮に入れることで一般化できます^{[12] [13]}またはエントロピー測定を使用します。^{[14] [15]}${\displaystyle 1\oplus 1}$${\displaystyle 1\oplus n}$${\displaystyle 2\oplus 2}$

量子力学は射影ヒルベルト空間上にモデル化することができ、そのような 2 つの空間のカテゴリカル積はセグレ埋め込みである。二部の場合、量子状態は、セグレ埋め込みの 像内にある場合にのみ分離可能である。Jon Magne Leinaas、Jan Myrheim、Eirik Ovrum は、論文「エンタングルメントの幾何学的側面」^[16]でこの問題を説明し、一般状態行列のサブセットとして分離可能な状態の幾何学を研究している。このサブセットは、Peres-Horodecki 基準を満たす状態のサブセットといくらか交差する。この論文で、Leinaas らは、一般的なケースで分離可能性をテストするための数値的アプローチも示している。

一般的なケースで分離可能性をテストすることはNP困難な問題です。^{[2] [3]} Leinaas et al. ^[16]は、与えられた状態が分離可能かどうかをテストするための反復的な確率的アルゴリズムを定式化しました。アルゴリズムが成功すると、与えられた状態を分離可能な状態として明示的にランダムに表現します。そうでない場合は、与えられた状態から最も近い分離可能な状態までの距離を返します。

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