エンタングルメントのエントロピー

エンタングルメントのエントロピー（またはエンタングルメント エントロピー）は、2 つの部分からなる複合量子システムを構成する 2 つのサブシステム間の量子エンタングルメントの度合いの尺度です。複合システムの純粋な二部量子状態が与えられれば、サブシステムの状態に関する情報を記述する縮小密度行列を得ることができます。エンタングルメントのエントロピーは、任意のサブシステムの縮小密度行列のフォン ノイマン エントロピーです。これがゼロでない場合、2 つのサブシステムがエンタングルされていることを示します。

より数学的に言うと、2 つのサブシステムAとB を 記述する状態が分離可能な状態である場合、縮小密度行列は純粋状態です。したがって、状態のエントロピーはゼロです。同様に、Bの密度行列のエントロピーも 0 になります。したがって、縮小密度行列のエントロピーがゼロでないということは、システム内にエンタングルメントが存在することを示しています。 ${\displaystyle |\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle }$${\displaystyle \rho _{A}=\オペレータ名 {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \ファイ_{A}|}$

量子系が粒子で構成されていると仮定します。系の二分割とは、系を と の 2 つの部分に分割し 、それぞれ と の粒子 を含む 分割です。二分割エンタングルメント エントロピーは、この二分割に関して定義されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k+l=N}$

二分フォン ノイマン エンタングルメント エントロピーは、その縮小状態のどちらかのフォン ノイマン エントロピーとして定義されます。なぜなら、それらは同じ値だからです (二分状態に関する状態のシュミット分解から証明できます)。結果は、どちらを選択したかに依存しません。つまり、純粋状態の場合、次のように表されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr} [\rho _{A}\operatorname {log} \rho _{A}]=-\operatorname {Tr} [\rho _{B}\operatorname {log} \rho _{B}]={\mathcal {S}}(\rho _{B})}$

ここで、およびは各パーティションの 縮小密度行列です。${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})}$${\displaystyle \rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})}$

エンタングルメント エントロピーは、状態のシュミット分解の特異値を使用して表すことができます。任意の純粋状態は、次のように表すことができます。ここで、 およびはそれぞれサブシステムとサブシステム 内の正規直交状態です。エンタングルメントのエントロピーは単純に次のようになります。 ${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}}$${\displaystyle |u_{i}\rangle _{A}}$${\displaystyle |v_{i}\rangle _{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\textstyle -\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\log(\alpha _{i}^{2})}$

エントロピーをこのように記述すると、部分トレースを計算するかサブシステムを計算するかに関係なく、エンタングルメント エントロピーは同じであることが明確にわかります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

多くのエンタングルメント測定は、純粋状態で評価するとエンタングルメントのエントロピーに減少します。その中には次のようなものがあります。

• 蒸留可能な絡み合い
• エンタングルメントコスト
• 形成の絡み合い
• エンタングルメントの相対エントロピー
• 押しつぶされた絡み合い

エンタングルメントのエントロピーに還元されないエンタングルメント測定には次のようなものがあります。

• ネガティブ
• 対数の負性
• エンタングルメントの堅牢性^[1]

レニイエンタングルメントエントロピーは、縮約密度行列とレニイ指数によっても定義されます。これは、縮約密度行列の レニイエントロピーとして定義されます。${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {log} \operatorname {tr} (\rho _{A}^{\alpha })={\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{B})}$

限界では、レニイエンタングルメントエントロピーがフォンノイマンエンタングルメントエントロピーに近づくことに注意してください。 ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

位置と、運動量と、システムハミルトニアンを 持つ2つの結合した量子調和振動子を考える。${\displaystyle q_{A}}$${\displaystyle q_{B}}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle p_{B}}$

${\displaystyle H=(p_{A}^{2}+p_{B}^{2})/2+\omega _{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^{2})/{2}+{\omega _{2}^{2}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}}$

のとき、系の純粋な基底状態密度行列は となり、位置基底では となる。すると^[2]${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}}$${\displaystyle \rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|}$${\displaystyle \langle q_{A},q_{B}|\rho _{AB}|q_{A}',q_{B}'\rangle \propto \exp \left(-{\omega _{+}(q_{A}+q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{+}(q'_{A}+q'_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right)}$

${\displaystyle \langle q_{A}|\rho _{A}|q_{A}'\rangle \propto \exp \left({\frac {2(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}q_{A}q_{A}'-(8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2})(q_{A}^{2}+q_{A}'^{2})}{8(\omega _{+}+\omega _{-})}}\right)}$

は、温度と熱平衡にある周波数の単一量子調和振動子の密度行列と正確に等しいので（つまり、はボルツマン定数）、 の固有値は非負の整数 に対してである。したがって、フォン・ノイマン・エントロピーは ${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \lambda _{n}=(1-e^{-\omega /k_{B}T})e^{-n\omega /k_{B}T}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle -\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})}$。

同様に、Renyi エントロピー。 ${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )}$

量子状態が面積法則を満たすのは、エンタングルメントエントロピーの主要項が2つのパーティションの境界に比例して最大限に増加する場合である。面積法則は、局所ギャップ量子多体系の基底状態では非常に一般的である。これには重要な応用があり、その1つは量子多体系の複雑さを大幅に軽減することです。たとえば、密度行列繰り込み群と行列積状態は、暗黙的にこのような面積法則に依存しています。 ^[3]

• ヤンジング、ドミニク (2009)。 「もつれのエントロピー」。グリーンバーガーでは、ダニエル。ヘンシェル、クラウス。ワイナート、フリーデル（編）。量子物理学の大要。スプリンガー。 205–209ページ。土井：10.1007/978-3-540-70626-7_66。ISBN 978-3-540-70626-7。