ペレス・ホロデツキ基準

ペレス・ホロデツキ基準は、結合密度行列にとって必要条件である。${\displaystyle \rho }$2つの量子力学系の${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$分離可能であるためには、この条件を満たす必要があります。これは、正の部分転置を表すPPT基準とも呼ばれます。2×2 および 2×3 次元の場合、この条件は十分条件でもあります。これは、シュミット分解が適用されない混合状態の分離可能性を判定するために使用されます。この定理は、1996 年にAsher Peres ^{[ 1 ]}と Horodecki ファミリー ( Michał、Paweł、およびRyszard ) ^{[ 2 ]}によって発見されました。

高次元においては、このテストは決定的なものではなく、量子もつれの証拠に基づくテストなど、より高度なテストで補完する必要がある。

一般的な状態${\displaystyle \rho }$これはヒルベルト空間に作用する$\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

その部分転置（Bパーティに関して）は次のように定義される。

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

名前の「部分」は、状態の一部のみが転置されることを意味することに注意してください。より正確には、${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$A側には同一性マップが適用され、B側には転置マップが適用される。

この定義は、状態をブロック行列として記述するとより明確になります。

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

どこ${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$、各ブロックは次元の正方行列である${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$すると部分転置は次のようになります。

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

基準では、${\displaystyle \rho \;\!}$が分離可能であれば、すべての固有値は$\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$は非負である。言い換えれば、$\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$負の固有値を持つ、${\displaystyle \rho \;\!}$は必ず絡み合っている。これらの記述の逆は、積空間の次元が の場合に限り真である。$2×2$または${\displaystyle 2\times 3}$。

結果は、どの政党が交代したかとは無関係です。$\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$。

この2量子ビットのヴェルナー状態ファミリーを考えてみましょう。

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

これは凸結合と見なすことができる${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$は最大エンタングル状態、単位元は最大混合状態である。

その密度行列は

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

部分転置

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

その最小固有値は${\displaystyle (1-3p)/4}$したがって、状態は絡み合っている。${\displaystyle 1\geq p>1/3}$。

ρが分離可能であれば、次のように書くことができる。

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

この場合、部分転置の影響は些細なものである。

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

転置写像は固有値を保持するため、スペクトルは${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$はスペクトルと同じである${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$、特に${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$正半定値でなければならない。したがって${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$また、正定値半正定値でなければならない。これはPPT基準の必要性を証明するものである。

PPTであることが2×2および3×2（等価的に2×3）の場合にも十分であることを示すのは、より複雑である。ホロデッキ夫妻は、すべてのエンタングル状態に対してエンタングルメントの証拠が存在することを示した。これは幾何学的な性質の結果であり、ハーン・バナッハの定理（下記の参考文献を参照）を援用する。

量子もつれの目撃者の存在から、${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$すべての正の写像Λに対して正であることは、ρの分離可能性の必要十分条件であり、ここでΛは写像する。${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$に${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

さらに、すべての肯定的な地図${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$に${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$は、完全に正の写像と完全に共正の写像の和に分解できます。${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$そして${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$言い換えれば、そのような写像Λはすべて次のように書ける。

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

どこ${\displaystyle \Lambda _{1}}$そして${\displaystyle \Lambda _{2}}$これらは完全に正であり、Tは転置写像である。これはストーマー・ウォロノヴィッチの定理から導かれる。

大まかに言えば、転置写像はこれらの次元で負の固有値を生成できる唯一の写像です。したがって、${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$正の値です。${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$は任意のΛに対して正である。したがって、Peres–Horodecki基準は分離可能性に対しても十分であると結論付けられる。${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$。

しかし、高次元では、このような方法では分解できない写像が存在し、この基準はもはや十分ではありません。その結果、正の部分転置を持つエンタングル状態が存在します。このような状態は、束縛エンタングル状態であるという興味深い性質を持ち、つまり量子通信の目的で蒸留することはできません。

Peres–Horodecki 基準は連続変数システムに拡張されています。Rajiah Simon ^{[ 3 ]}は、PPT 基準の特定のバージョンを正準演算子の 2 次モーメントの観点から定式化し、それが必要かつ十分であることを示しました。${\displaystyle 1\oplus 1}$-モードガウス状態（一見異なるが本質的に同等のアプローチについては文献^{[ 4 ]を参照）。後に[ 5 ]}、サイモンの条件は、${\displaystyle 1\oplus n}$-モードガウス状態だが、もはや十分ではない${\displaystyle 2\oplus 2}$-モードガウス状態。サイモンの条件は、正準演算子の高次モーメントを考慮に入れることによって一般化できる^{[ 6 ] [ 7 ]}、またはエントロピー尺度を使用することによって一般化できる^{[ 8 ] [ 9 ]。}

二体システムの対称状態の場合、密度行列の部分転置の正値は、特定の二体相関の符号と関連しています。ここで、対称性とは、

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

保持する、${\displaystyle F_{AB}}$フリップまたはスワップのオペレーターは、2つの当事者を交換しています${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$対称部分空間の完全基底は次の形式である。${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$と ${\displaystyle m\neq n}$そして${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$ここに来たのは${\displaystyle n}$そして${\displaystyle m,}$${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$必ず成り立つ、${\displaystyle d}$ これは、2つの当事者の次元です。

このような状態については、${\displaystyle \rho }$^{正の部分転置を持つのは、 [ 10 ]}の場合のみである。

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

すべての通信事業者に適用されます${\displaystyle M.}$したがって、もし${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$一部では${\displaystyle M}$すると、その状態は非PPTエンタングルメントを持つことになる。

さらに、二部対称PPT状態は次のように記述できる。

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}\otimes M_{k},}$

どこ${\displaystyle p_{k}}$確率と${\displaystyle M_{k}}$満たす ${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k})=1}$ そして${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{2})=1.}$ しかし、量子ビットよりも大きなサブシステムの場合、${\displaystyle M_{k}}$負の固有値を持つ可能性があるため、必ずしも物理的に純粋な密度行列ではありません。この場合、もつれ状態でさえ、分離可能な状態の形式と非常によく似た、単一パーティの非物理的状態のテンソル積の混合として記述できます。キュービットの場合、${\displaystyle M_{k}}$これらは物理密度行列であり、2つの量子ビットの場合、すべてのPPT状態が分離可能であるという事実と一致しています。

このような擬似混合の概念は、擬似分離可能状態の定義により、非対称状態および多粒子ケースに拡張されている^{[ 11 ]。}

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}^{(1)}\otimes M_{k}^{(2)}\otimes ...\otimes M_{k}^{(N)},}$

どこ${\displaystyle N}$はサブシステムの数であり、${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$ 満たす${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{(n)})=1}$ そして${\displaystyle {\rm {Tr}}[(M_{k}^{(n)})^{2}]=1.}$ 単一サブシステムの非物理的状態${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$これらは、量子ビットよりも大きなシステムであっても、ブロッホ球の高次元版上に存在する状態です。分離可能状態は擬似分離可能状態の集合の部分集合であり、量子ビットの場合はこの2つの集合は一致します。量子ビットよりも大きなシステムでは、このような量子状態はエンタングル状態になる可能性があり、その場合、擬似分離可能状態または擬似分離不可能な二分割を持つことができます。

• カロル・ジチコフスキ、インゲマル・ベングトソン著『量子状態の幾何学』ケンブリッジ大学出版局、2006年
• Woronowicz, SL (1976). "低次元行列代数の正値写像". Reports on Mathematical Physics . 10 (2): 165–183 . Bibcode : 1976RpMP...10..165W . doi : 10.1016/0034-4877(76)90038-0 .