量子疑似テレパシー

量子疑似テレパシーは、量子もつれを利用して古典的な通信の必要性を排除するものです。^{[1] [2]}非局所的なゲームでは、もつれを利用できるプレイヤーは確実に勝てるのに対し、もつれを利用できないプレイヤーは勝てない場合、そのゲームは量子疑似テレパシーを示していると言われます。接頭辞の 疑似は、量子疑似テレパシーでは当事者間の情報交換が伴わないという事実を指します。代わりに、量子疑似テレパシーでは、状況によっては当事者間の情報交換が不要になります。

量子疑似テレパシーは、量子力学の非局所的特性を示すための思考実験として一般的に使用されています。しかし、量子疑似テレパシーは実験的に検証できる現実世界の現象です。したがって、これはベル不等式の破れを実験的に確認した特に印象的な例です。

^{非古典的な}相関関係を示す単純な魔方陣ゲームは、ベルの定理の 簡略化された実証を開発したN.デイビッド・マーミン^{[4] [5]}、アシェル・ペレス^[6]、アダン・カベロ^{[7] [8]による}一連の論文に基づいて、PKアラヴィンド[3]によって導入されました。このゲームは量子疑似テレパシーを実証するために再定式化されました。^[9]

これは、アリスとボブという2 人のプレイヤーと審判が参加する協力ゲームです。審判は、プラス記号とマイナス記号のある 3×3 の表の 1 行をアリスに、1 列をボブに記入するよう求めます。回答は次の制約に従う必要があります。アリスの行にはマイナス記号が偶数個含まれている必要があり、ボブの列にはマイナス記号が奇数個含まれている必要があり、行と列が交差するセルには両者とも同じ記号を割り当てる必要があります。うまくいけば勝ち、うまくいかなければ負けです。

アリスとボブは一緒に戦略を練ることができますが、どの行と列を埋める必要があるかがわかった後は、コミュニケーションを取ることはできません (そうしないとゲームがつまらないものになってしまうため)。

アリスとボブが常に勝てる古典的な戦略を考え出せれば、その戦略を答えをコード化した 3×3 の表として表すことができることは容易に想像できます。しかし、この仮想表のマイナス記号の数は偶数と奇数の両方である必要があるため、これは不可能です。つまり、各行にはマイナス記号が偶数個含まれている必要があり、マイナス記号の合計数は偶数になります。また、各列にはマイナス記号が奇数個含まれている必要があり、マイナス記号の合計数は奇数になります。

もう少し分析を進めると、最善の古典的戦略は、各セルにアリスとボブの答え (異なる場合もある) の両方が含まれる表で表せることがわかります。アリスの行とボブの列のパリティを尊重しながら、9 つのセルのうち 8 つで答えを同じにすることができます。これは、審判が、答えが一致するセルの 1 つと交差する行と列を要求した場合、審判は勝ち、そうでない場合は負けることを意味します。審判がそれらを均一にランダムに要求するという通常の仮定の下では、最善の古典的勝利確率は 8/9 です。

量子疑似テレパシーを使用すると、ゲームが開始したら、アリスとボブは通信なし で100% の確率でゲームに勝つことができます。

これには、アリスとボブがエンタングルメント状態にある粒子のペアを 2 つ持っていることが必要です。これらの粒子は、ゲームの開始前に準備されている必要があります。各ペアの 1 つの粒子はアリスが持ち、もう 1 つの粒子はボブが持つため、それぞれ 2 つの粒子を持つことになります。アリスとボブは、どの列と行を埋めるべきかを知ると、その情報を使用して、それぞれの粒子に対してどの測定を行うかを選択します。測定の結果は、それぞれにとってランダムであるように見えます (また、いずれかの粒子の観測された部分確率分布は、もう一方のパーティが行った測定とは無関係です)。そのため、実際の「通信」は行われません。^[要出典]

しかし、粒子を測定するプロセスは、測定結果の結合確率分布に十分な構造を課すため、アリスとボブが測定結果に基づいて行動を選択した場合、確率 1 でゲームに勝つことができる一連の戦略と測定が存在することになります。

アリスとボブは互いに光年離れていても、エンタングルメント粒子によって十分にうまく行動を調整し、確実にゲームに勝つことができることに注意してください。

このゲームの各ラウンドでは、エンタングルメント状態が 1 つ使用されます。Nラウンドをプレイするには、N個のエンタングルメント状態 (2N 個の独立したベル ペア、以下を参照) を事前に共有する必要があります。これは、各ラウンドで 2 ビットの情報を測定する必要があるためです (3 番目のエントリは最初の 2 つのエントリによって決定されるため、測定する必要はありません)。これにより、エンタングルメントが破壊されます。以前のゲームの古い測定値を再利用する方法はありません。

アリスとボブが量子もつれ状態を共有し、もつれ状態のコンポーネントの特定の測定値を使用してテーブルエントリを導き出すことが、このトリックの目的です。適切な相関状態は、もつれたベル状態のペアで構成されます。

${\displaystyle \left|\varphi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{a}\otimes \left|+\right\rangle _{b}+\left|-\right\rangle _{a}\otimes \left|-\right\rangle _{b}{\bigg )}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{c}\otimes \left|+\right\rangle _{d}+\left|-\right\rangle _{c}\otimes \left|-\right\rangle _{d}{\bigg )}}$

ここで、およびは、それぞれ固有値 +1 と −1 を持つパウリ演算子S _xの固有状態です。一方、添え字 a、b、c、および d は各ベル状態の要素を識別し、aとc はアリスに、bとd はボブに渡されます。記号はテンソル積を表します。 ${\displaystyle \left|+\right\rangle }$${\displaystyle \left|-\right\rangle }$${\displaystyle \otimes }$

これらの成分の観測量はパウリ行列の積として表すことができます。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

これらのパウリスピン演算子の積は、3×3 テーブルを埋めるために使用できます。各行と各列には、固有値 +1 と -1 を持つ相互に交換可能な観測値の集合が含まれ、各行の観測値の積は恒等演算子であり、各列の観測値の積は恒等演算子のマイナスに等しくなります。これは、いわゆるメルミン・ペレスの魔方陣です。下の表に示されています。

実際には、各行の要素の積が +1 で、各列の要素の積が -1 となるようなエントリ +1 と -1 を持つ 3×3 テーブルを構築することはできませんが、スピン マトリックスに基づくより豊富な代数構造を使用すれば、それを実現することは可能です。

ゲームは、各プレイヤーがプレイのラウンドごとにエンタングルメント状態の自分の部分で 1 つの測定を行うことで進行します。アリスの各測定は、行の値を与え、ボブの各測定は、列の値を与えます。特定の行または列内のすべての観測量は可換であり、したがってそれらを同時に測定できる基底が存在するため、これを行うことができます。アリスの最初の行については、彼女は両方の粒子を基底で測定する必要があり、2 行目については基底で測定する必要があり、3 行目についてはエンタングルメント基底で測定する必要があります。ボブの最初の列については、彼は最初の粒子を基底で、2 番目の粒子を基底で測定する必要があり、2 列目については、彼は最初の粒子を基底で、2 番目の粒子を基底で測定する必要があり、3 列目については、彼は両方の粒子を別のエンタングルメント基底であるベル基底で測定する必要があります。上記の表が使用されている限り、測定結果は常に、アリスの行では +1、ボブの列では -1 になることが保証されます。もちろん、異なる行と列は互いに互換性 がないため、完全に新しいラウンドごとに新しいエンタングルメント状態が必要になります。${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

上記のゲームは、量子疑似テレパシーによって確率1で勝てる最も単純な2人用ゲームであることが実証されています。^[10]量子疑似テレパシーが発生する他のゲームも研究されており、その中には、より大きな魔方陣ゲーム、^{[11]、グラフ着色ゲーム [12]（量子}彩色数の概念の元となったゲーム）、[13]、2人以上の参加者が参加するマルチプレイヤーゲームなどがあります。^[ 14 ^]

2022年7月、ある研究では、メルミン・ペレスの魔方陣ゲームの非局所版をプレイすることで量子疑似テレパシーを実験的に実証したと報告された。^[15]

グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー (GHZ) ゲームは、量子疑似テレパシーのもう 1 つの例です。通常、このゲームの勝率は 0.75 です。しかし、量子戦略では、プレイヤーは勝率 1 を達成でき、常に勝つことができます。

ゲームでは、アリス、ボブ、キャロルの 3 人のプレーヤーが審判と対戦します。審判は各プレーヤーに 2 進数の質問 ( または)をします。3 人のプレーヤーはそれぞれ、または の形式で回答します。したがって、ゲームがプレイされるとき、審判の 3 つの質問x、y、z は4 つのオプション から選ばれます。たとえば、質問 3 つが選ばれると、アリスは審判からビット 0 を、ボブはビット 1 を、キャロルはビット 1 を受け取ります。受け取った質問ビットに基づいて、アリス、ボブ、キャロルはそれぞれ 0 または 1 の形式で回答a、b、cで​​応答します。プレーヤーは、ゲームの開始前に一緒に戦略を立てることができます。ただし、ゲーム中は通信は許可されません。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}}$${\displaystyle (0,1,1)}$

プレイヤーが勝利するのは の場合です。ここで はOR 条件を示し、 は2 を法とする答えの合計を示します。言い換えると、 の場合、3 つの答えの合計は偶数でなければなりません。それ以外の場合、答えの合計は奇数でなければなりません。 ${\displaystyle \mathrm {mod} _{2}(a+b+c)=x\lor y\lor z}$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle mod_{2}}$${\displaystyle x=y=z=0}$

古典的には、アリス、ボブ、キャロルは常に合計が奇数になる決定論的な戦略を採用できます (例: アリスは常に 1 を出力します。ボブとキャロルは常に 0 を出力します)。プレイヤーは 75% の確率で勝ち、質問が の場合のみ負けます。 ${\displaystyle (0,0,0)}$

実際、これは古典的に最も良い勝利戦略です。4つの勝利条件のうち最大3つしか満たすことができません。 をそれぞれ質問0と1に対するアリスの回答、 を質問0と1に対するボブの回答、 を質問0と1に対するキャロルの回答とします。勝利条件を満たすすべての制約は次のように記述できます。 ${\displaystyle a_{0},a_{1}}$${\displaystyle b_{0},b_{1}}$${\displaystyle c_{0},c_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}+b_{0}+c_{0}=0\mod 2\\&a_{1}+b_{1}+c_{0}=1\mod 2\\&a_{1}+b_{0}+c_{1}=1\mod 2\\&a_{0}+b_{1}+c_{1}=1\mod 2\end{aligned}}}$$

4 つの勝利条件をすべて満たす古典的な戦略があると仮定すると、4 つの条件はすべて当てはまります。観察すると、各項は左辺に 2 回出現します。したがって、左辺の合計 = 0 mod 2 です。ただし、右辺の合計 = 1 mod 2 です。この矛盾は、4 つの勝利条件をすべて同時に満たすことはできないことを示しています。

ここで、アリス、ボブ、キャロルが量子戦略を採用することを決定した興味深い部分に到達しました。3 人は、 GHZ 状態と呼ばれる3 者間のエンタングルメント状態を共有しています。 ${\textstyle |{\psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle )}$

質問 0 を受け取った場合、プレーヤーは X 基底で測定を行います。質問 1 を受け取った場合、プレーヤーは Y 基底で測定を行います。どちらの場合も、測定結果がペアの最初の状態である場合はプレーヤーは 0 を答え、結果がペアの 2 番目の状態である場合は 1 を答えます。 ${\textstyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle ),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )\right\}}$

この戦略では、プレイヤーが確率 1 でゲームに勝つことは簡単に確認できます。

• 量子疑似テレパシーの理解とシミュレーション
• 量子疑似テレパシー