削減基準

量子情報理論において、還元基準は、混合状態が分離可能であるために満たさなければならない必要条件である。言い換えれば、還元基準は分離可能性基準である。これは最初に証明され^[1] 、1999年に独立して定式化された。^[2]還元基準の違反は、問題の状態の蒸留可能性と密接に関係している。 ^[1]

H ₁とH _{2 を}それぞれ有限次元nとmのヒルベルト空間とする。L ( H _i )はH _iに作用する線型作用素の空間を表す。状態空間がテンソル積である二部量子系を考える。

${\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}.}$

（正規化されていない）混合状態ρ は、 Hに作用する正の線形演算子（密度行列）です。

線型写像 Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) は、正の元の錐を保存する場合、つまりAが正であればΦ ( A ) も正である場合には正であると言われます。

正写像とエンタングルメント証拠との間の一対一対応から、状態ρがエンタングルメントされている場合、かつ、その 場合のみ、正写像Φが存在し、

${\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )}$

は正ではない。したがって、ρが分離可能であれば、すべての正の写像Φに対して、

${\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )\geq 0.}$

したがって、すべての正の写像（ただし完全に正ではない）Φ は、このようにして分離可能性の必要条件を生じます。簡約基準は、この特別な例です。

H ₁ = H ₂と仮定し、正の写像 Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) を次のように 定義する。

${\displaystyle \Phi (A)=\operatorname {Tr} AA.}$

Φは正だが完全に正ではないことが分かっている。したがって、混合状態ρが分離可能であるということは、

${\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )\geq 0.}$

直接計算すると、上記の式は次の式と同じであることがわかる。

${\displaystyle I\otimes \rho _{1}-\rho \geq 0}$

ここでρ _1はρの2番目の系に関する 部分トレースである。双対関係

${\displaystyle \rho _{2}\otimes I-\rho \geq 0}$

も同様の方法で得られる。削減基準は上記の 2 つの不等式から構成される。

上記の最後の 2 つの不等式は、 ρの下限とともに、量子フレシェ不等式、つまり、分離可能な量子状態に当てはまる古典的なフレシェ確率的境界の量子版 と見ることができます。上限は前の境界、 であり、下限は 、とともに明らかな制約です。ここで、は適切な次元の単位行列です。下限はで得られています。^{[3] : 定理 A.16}これらの境界は分離可能な密度行列によって満たされますが、エンタングルメント状態はこれらに違反する可能性があります。エンタングルメント状態は、最も強い古典的な依存性よりも強い一種の確率的依存性を示し、実際にフレシェのような境界に違反します。これらの境界のベイズ解釈を与えることが可能であることも言及する価値があります。^[3]${\displaystyle I\otimes \rho _{1}\geq \rho }$${\displaystyle \rho _{2}\otimes I\geq \rho }$${\displaystyle \rho \geq 0}$${\displaystyle \rho \geq I\otimes \rho _{1}+\rho _{2}\otimes II}$${\displaystyle I}$