自然放出

自然放出とは、量子力学システム (分子、原子、素粒子など)が励起エネルギー状態からより低いエネルギー状態 (基底状態など) に遷移し、量子化された量のエネルギーを光子の形で放出するプロセスです。自然放出は、私たちの周りで見られる光の大部分を占めています。非常に普遍的なため、本質的に同じプロセスに多くの名前が付けられています。原子 (または分子) が加熱以外の手段で励起された場合、自然放出はルミネセンスと呼ばれます。たとえば、ホタルは発光します。また、励起原子の生成方法に応じて、さまざまな形式のルミネセンスがあります (エレクトロルミネセンス、化学発光など)。励起が放射線の吸収によって行われる場合、自然放出は蛍光と呼ばれます。分子が準安定レベルを持ち、励起放射線がオフになってからかなり経っても蛍光を発し続けることがあります。これをリン光と呼びます。暗闇で光るフィギュアは燐光性です。レーザーは自然放出によって始まり、その後、連続動作中に誘導放出によって動作します。

自然放出は古典的な電磁気学では説明できず、基本的には量子過程である。自然放出現象を正しく予測した最初の人物はアルバート・アインシュタインであり、1916年に始まった一連の論文で、現在アインシュタインA係数と呼ばれているものに結実した。^{[1] [2]}アインシュタインの量子放射理論は、数十年前に量子電気力学と量子光学で表現されたアイデアを先取りしていた。 ^[3]その後、1926年に量子力学が正式に発見された後、自然放出率はディラックの量子放射理論によって第一原理から正確に説明された。^{[4]これは後に彼が}量子電気力学と呼んだ理論の前身である。^[5]現代の物理学者は、自然放出の物理的な説明を求められた場合、一般的に電磁場のゼロ点エネルギーを持ち出す。 ^{[6] [7]} 1963年に、ジェインズ・カミングスモデル^{[8]が開発され、光共振器内の量子化された場モード（つまり真空）と相互作用する}2準位原子のシステムを記述しました。このモデルは、周囲の真空場の境界条件に応じて自然放出の速度を制御できるという直感に反する予測を与えました。これらの実験から、ミラーと共振器が放射補正に与える影響を研究する 共振器量子電気力学（CQED）が生まれました。

光源（「原子」）がエネルギー の励起状態にある場合、エネルギー でより低いレベル（基底状態など）に自発的に崩壊し、2 つの状態間のエネルギーの差を光子として放出することがあります。光子は角周波数と エネルギー を持ちます。 ${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$

${\displaystyle E_{2}-E_{1}=\hbar \omega ,}$

ここで、は換算プランク定数です。注: 、ここで、はプランク定数、は線形周波数です。自然放出における光子の位相はランダムであり、光子が伝播する方向もランダムです。これは誘導放出には当てはまりません。自然放出のプロセスを示すエネルギー レベル図を以下に示します。 ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \nu }$

時刻における励起状態にある光源の数が で与えられる場合、 の減衰率は次のようになります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {\partial N(t)}{\partial t}}=-A_{21}N(t),}$

ここで、 は自然放出の速度です。速度方程式では、はこの特定の光源におけるこの特定の遷移に対する比例定数です。この定数はアインシュタインのA係数と呼ばれ、単位はs ⁻¹です。^[9] 上記の式を解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle A_{21}}$${\displaystyle A_{21}}$

${\displaystyle N(t)=N(0)e^{-A_{21}t}=N(0)e^{-\Gamma _{\!{\text{rad}}}t},}$

ここで、は励起状態にある光源の初期数、は時間、 は遷移の放射減衰率です。励起状態の数は、放射性崩壊と同様に、時間とともに指数関数的に減少します。1 寿命後、励起状態の数は元の値の 36.8% に減少します ( -時間)。放射減衰率は寿命に反比例します。 ${\displaystyle N(0)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Gamma _{\!{\text{rad}}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$${\displaystyle \Gamma _{\text{rad}}}$${\displaystyle \tau _{21}}$

${\displaystyle A_{21}=\Gamma _{21}={\frac {1}{\tau _{21}}}.}$

自発的遷移は、電子のエネルギーレベルは量子化されているが電磁場は量子化されていないシュレーディンガー方程式の枠組みでは説明できませんでした。原子の固有状態が適切に対角化されているとすると、原子の励起状態と基底状態の間の波動関数の重なりはゼロになります。したがって、量子化された電磁場がなければ、励起状態の原子は基底状態に崩壊できません。自発的遷移を説明するには、量子力学を量子場理論に拡張する必要があります。量子場理論では、電磁場は空間のあらゆる点で量子化されます。電子と電磁場の量子場理論は、量子電気力学として知られています。

量子電気力学（QED）では、電磁場は基底状態、QED真空を持ち、原子の励起定常状態と混合することができます。^[5]この相互作用の結果、原子の「定常状態」は、原子と電磁場の複合システムの真の固有状態ではなくなります。特に、励起状態から電子基底状態への電子遷移は、基底状態から励起状態（光子が1つ含まれる場の状態）への電磁場の遷移と混合します。自由空間での自然放出は、真空のゆらぎによって始まります。^{[10] [11]}

励起状態から基底状態への電子遷移は 1 つしかありませんが、電磁場が基底状態から 1 光子状態に移行する方法は多数あります。つまり、電磁場には、光子が放出されるさまざまな方向に対応する、無限に多くの自由度があります。同様に、電磁場によって提供される位相空間は、原子によって提供される位相空間よりも無限に大きいと言えます。光子放出のこの無限の自由度により、見かけ上不可逆な減衰、つまり自然放出が発生します。

電磁真空モードが存在する場合、結合原子真空システムは、光子のない励起状態原子と単一光子が放出された基底状態原子の波動関数の重ね合わせによって説明されます。

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a(t)e^{-i\omega _{0}t}|e;0\rangle +\sum _{k,s}b_{ks}(t)e^{-i\omega _{k}t}|g;1_{ks}\rangle }$

ここで、 およびは原子励起状態 - 電磁真空波動関数とその確率振幅、およびは単一光子（モード）の波動関数とその確率振幅を持つ基底状態原子、は原子遷移周波数、 は光子の周波数です。 および の和は、それぞれ放出された光子の波数と偏光です。 前述のように、放出された光子は異なる波数と偏光で放出される可能性があり、結果として得られる波動関数はこれらの可能性の重ね合わせです。 原子が基底状態（）にある確率を計算するには、適切なハミルトニアンで波動関数の時間発展を解く必要があります。^[4]遷移振幅を解くには、放出された光子が位相空間のさまざまな部分を均等に占める確率を考慮しなければならないため、すべての真空モードにわたって平均（積分）する必要があります。 「自発的に」放出された光子は伝播するモードが無限にあるため、原子が光子を再吸収して元の状態に戻る可能性はごくわずかで、原子の崩壊は事実上不可逆である。このような原子真空系の不可逆な時間発展が、励起原子の見かけ上の自発的崩壊の原因である。すべての真空モードを追跡すると、結合した原子真空系は単位時間発展し、崩壊プロセスが可逆的になる。空洞量子電磁力学は、真空モードが変更されて可逆的な崩壊プロセスをもたらすシステムの1つである。量子復活も参照のこと。QEDフレームワークにおける自発放出の理論は、 1930年にビクター・ワイスコフとユージン・ウィグナーによって画期的な論文で初めて計算された。^{[12] [13] [14]}ワイスコフ・ウィグナー計算は、原子および分子物理学における自発放射放出の標準的なアプローチであり続けている。^[15]ディラックもウィグナーとワイスコフの論文の数年前に同様の計算を開発していた。^[16]${\displaystyle |e;0\rangle }$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle |g;1_{ks}\rangle }$${\displaystyle b_{ks}(t)}$${\displaystyle ks}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{k}=c|k|}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |b(t)|^{2}}$

自然放出率（つまり放射率）はフェルミの黄金律で説明できます。^[17]放出率は2つの要素に依存します。1つは光源の内部構造を表す「原子部分」、もう1つは環境の電磁モードの密度を表す「場部分」です。原子部分は、2つの状態間の遷移の強さを遷移モーメントの観点から表します。自由空間などの均質媒体では、双極子近似による自然放出率は次のように表されます。

${\displaystyle \Gamma _{\text{rad}}(\omega )={\frac {\omega ^{3}n|\mu _{12}|^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}={\frac {4\alpha \omega ^{3}n|\langle 1|\mathbf {r} |2\rangle |^{2}}{3c^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {|\mu _{12}|^{2}}{\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}=4\alpha |\langle 1|\mathbf {r} |2\rangle |^{2}}$

ここで、は放出周波数、は屈折率、は遷移双極子モーメント、は真空誘電率、は換算プランク定数、は真空の光速、 は微細構造定数です。 この式は、双極子モーメント演算子 に対する遷移双極子モーメントの定義を表し、 は素電荷、 は位置演算子を表します。 （この近似は、高 Z 原子の内殻電子の場合には成り立ちません。） 上記の式は、自由空間における自然放出率が に比例して増加することを明らかに示しています。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu _{12}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\langle 1|\mathbf {r} |2\rangle |}$${\displaystyle |\mu _{12}|=|\langle 1|\mathbf {d} |2\rangle |}$${\displaystyle \mathbf {d} =q\mathbf {r} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \omega ^{3}}$

離散的な発光スペクトルを持つ原子とは対照的に、量子ドットはサイズを変えることで連続的に調整することができる。この特性は、フェルミの黄金律で説明される自発放出率の周波数依存性を確認するために使用されている。 ^[18]${\displaystyle \omega ^{3}}$

上記の速度式では、励起状態の数の減少は光の放出下でのみ起こると仮定されています。この場合、完全な放射減衰と言い、これは量子効率が 100% であることを意味します。光の放出下で起こる放射減衰の他に、非放射減衰という 2 番目の減衰メカニズムがあります。全体の減衰率を決定するには、放射減衰率と非放射減衰率を合計する必要があります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma _{\text{tot}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\text{tot}}=\Gamma _{\text{rad}}+\Gamma _{\text{nrad}}}$

ここで、は総崩壊率、は放射崩壊率、非放射崩壊率です。量子効率 (QE) は、光の放出が関与する放出プロセスの割合として定義されます。 ${\displaystyle \Gamma _{\text{tot}}}$${\displaystyle \Gamma _{\text{rad}}}$${\displaystyle \Gamma _{\text{nrad}}}$

${\displaystyle {\text{QE}}={\frac {\Gamma _{\text{rad}}}{\Gamma _{\text{nrad}}+\Gamma _{\text{rad}}}}.}$

非放射緩和では、エネルギーはフォノン（より一般的には熱）として放出されます。非放射緩和は、レベル間のエネルギー差が非常に小さい場合に発生し、通常、放射遷移よりもはるかに速い時間スケールで発生します。多くの材料（たとえば、半導体）では、電子は小さな非放射遷移を介して高エネルギーレベルから準安定レベルにすばやく移動し、次に光学遷移または放射遷移を介して最下層に最終的に移動します。この最後の遷移は、半導体のバンドギャップを越える遷移です。結晶構造は一般に結合を破壊せずに大きな振動をサポートできないため、大きな非放射遷移は頻繁に発生しません（これは一般に緩和では発生しません）。準安定状態は、レーザーの構築に利用される非常に重要な機能を形成します。具体的には、電子はゆっくりと崩壊するため、あまり損失することなくこの状態で意図的に電子を積み重ねることができ、その後、誘導放出を使用して光信号を増幅できます。

放出によってシステムが励起状態のままになると、追加の遷移が発生し、原子放射カスケードにつながる可能性があります。たとえば、低圧原子ビームでカルシウム原子が紫外線によって 4 ¹ S ₀基底状態から 6 ¹ P ₁状態に励起されると、カルシウム原子は 3 段階で崩壊し、最初に 6 ¹ S ₀に、次に 4 ¹ P ₁に、最後に基底状態になります。2 番目と 3 番目の遷移からの光子は相関偏光を持ち、量子もつれを示しています。^[19]これらの相関は、ジョン・クラウザー^{[20] :  880  [21] : 592}とアラン・アスペクト^{[22]によって、} 2022 年のノーベル物理学賞に貢献した研究で使用されました。^[23]

• 吸収（光学）
• 誘導放出
• 発光スペクトル
• スペクトル線
• 原子スペクトル線
• レーザー科学
• パーセル効果
• フォトニック結晶
• 真空ラビ振動
• ジェインズ・カミングスモデル

• 自然放出の詳細な計算: ワイスコフ-ウィグナー理論 2016-03-04 にWayback Machineでアーカイブ
• ブリトニーの半導体物理学ガイド