高次元代数

数学、特に（高）圏理論において、高次元代数は、圏構造の研究である。非可換代数位相幾何学に応用され、抽象代数を一般化する。

高次元代数を定義するための第一歩は、高次圏理論の2圏の概念であり、それに続いて、より「幾何学的な」二重圏の概念が続く。^{[1] [2] [3]}

したがって、より高レベルの概念は、カテゴリーのカテゴリー、またはスーパーカテゴリーとして定義され、カテゴリーの概念を高次元に一般化します。これは、ローヴェアの抽象カテゴリーの基本理論 (ETAC) の公理の解釈である構造と見なされます。 ^{[4] [5] [6] [7]}したがって、スーパーカテゴリーとスーパーカテゴリーは、メタカテゴリー^{[8] 、} マルチカテゴリー、およびマルチグラフ、k部グラフ、またはカラーグラフ(カラー図とグラフ理論における定義を参照)の概念の自然な拡張と見なすことができます。

超圏は1970年に初めて導入され、^{[9]その後、}理論物理学（特に場の量子論と位相量子場理論）や数理生物学、数理生物物理学への応用のために開発されました。^[10]

高次元代数のその他の経路には、二元カテゴリ、二元カテゴリの準同型、可変カテゴリ（インデックス付きカテゴリまたはパラメーター化カテゴリとも呼ばれる）、トポイ、有効降下、および強化カテゴリと内部カテゴリが含まれます。

高次元代数（HDA）において、二重群体は1次元群体を2次元に一般化したものである^{[11] 。後者の群体は、すべての可逆な矢印、つまり}射を持つカテゴリの特殊なケースとして考えることができる。

二重群体は、高次元多様体（またはn次元多様体）などの幾何学的オブジェクトに関する情報を捉えるためによく使用されます。 ^[11]一般に、n次元多様体は、局所的にはn次元ユークリッド空間のように見えるが、大域的な構造は非ユークリッドである可能性がある空間です。

二重群体は、ロナルド・ブラウンが「二重群体と交差加群」（1976）で初めて導入し、 ^[11]非可 換代数位相幾何学への応用に向けてさらに発展しました。^{[12] [13] [14] [15]}関連する「双対」概念は二重代数体であり、より一般的な概念はR代数体です。

非アーベル代数位相を参照

量子場の理論では、量子カテゴリー^{[16] [17] [18]}と量子二重群が存在する。 ^{[18]量子二重群は、} 2-関数を介して定義される基本群であると考えることができ、これにより、量子基本群 (QFG) の物理的に興味深いケースを二カテゴリSpan(Groupoids)の観点から考え、次に多様体とコボルディズムの 2-ヒルベルト空間と 2-線型写像を構成することができる。次のステップでは、このような 2-関数の自然変換を介して、コーナーを持つコボルディズムを取得する。その後、ゲージ群SU(2)を用いて、「拡張TQFT 、または ETQFT は、量子重力の Ponzano-Regge モデルと同等の理論を与える」と主張された。^{[18]同様に、SU} _q (2)の表現を使用して Turaev-Viro モデルを取得できる。したがって、ゲージ理論、あるいは多くの種類の量子場理論（QFT）や局所量子物理学の状態空間を、対称性によって与えられる変換群の観点から記述することができ、たとえばゲージ理論の場合は、この場合は接続である状態に作用するゲージ変換によって記述することができる。量子群に関連する対称性の場合には、群の表現圏である2ベクトル空間の代わりに、量子群の表現圏である構造^[16]が得られる。

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