フロイデンタールの懸垂定理

数学、特にホモトピー理論の分野において、フロイデンタールの懸垂定理は、ホモトピー群の安定化の概念、そして最終的には安定ホモトピー理論につながる基本的な結果です。これは、懸垂をとりながら、問題の空間のホモトピー群の指数を増加させる動作を説明します。これは、1937年にハンス・フロイデンタールによって証明されました。

この定理はホモトピー除去定理の系である。

X をn連結の 尖端空間（尖端CW 複体または尖端単体集合）とする。写像

${\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)}$

地図を誘導する

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))}$

ホモトピー群上の写像で、Ω はループ関手、Σ は縮約された懸垂関手を表します。懸垂定理は、ホモトピー群上の誘導写像は、 k ≤ 2 nの場合は同型であり、k = 2 n + 1の場合はエピモーフィズムであると述べています。

ループ空間に関する基本的な結果は、次の関係を与える。

${\displaystyle \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)}$

したがって、この定理は、写像の観点から述べることもできる。

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X),}$

ただし、この場合はインデックス作成に注意する必要があるという小さな注意点があります。

上で述べたように、フロイデンタールの懸垂定理はホモトピー除去からすぐに導かれます。この証明は、自然写像 を用いて行われます。空間が-連結である場合、空間のペアは-連結であり、ここで は上の縮小錐です。これは、相対ホモトピー長完全列から導かれます。 を、たとえばの 2 つのコピーとして分解することができ、その共通部分は です。すると、ホモトピー除去は包含写像を次のように言います。 ${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (CX,X)}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle (CX)_{+},(CX)_{-}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ((CX)_{+},X)\subset (\Sigma X,(CX)_{-})}$

は 上の同型と 上の全射を誘導する。同じ相対長完全列から、またさらに円錐は収縮可能であるため、 ${\displaystyle \pi _{i},i<2n+2}$${\displaystyle \pi _{2n+2}}$${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}(CX,X),}$

${\displaystyle \pi _{i}(\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i}(\Sigma X).}$

これらをまとめると、

${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i+1}(\Sigma X)}$

については、すなわち、上で主張したとおりです。なぜなら、左と右の写像は、 がどのように接続されているかに関係なく同型であり、中央の写像は除去による全射であるため、合成は主張したとおり全射だからです。 ${\displaystyle i+1<2n+2}$${\displaystyle i\leqslant 2n}$${\displaystyle i=2n+1}$${\displaystyle X}$

S ^{n を}n球面とし、それが ( n − 1) 連結であることに注意する。そのため、群はフロイデンタールの定理により安定する。これらの群は球面のk番目の安定ホモトピー群を表す。 ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$${\displaystyle n\geqslant k+2}$

より一般的には、 k ≥ 1 を固定すると、十分に大きいnに対してk ≤ 2 nとなり、任意のn連結空間X は対応する安定したホモトピー群を持つことになります。これらの群は、実際には、安定したホモトピーカテゴリにおけるXに対応するオブジェクトのホモトピー群です。

• Freudenthal, H. (1938)、「Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen」、Compositio Mathematica、5 : 299–314。
• Goerss, PG; Jardine, JF (1999)、単純ホモトピー理論、Progress in Mathematics、vol. 174、バーゼル-ボストン-ベルリン: Birkhäuser。
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。
• ホワイトヘッド、GW (1953)、「フロイデンタールの定理について」、Annals of Mathematics、57 (2): 209–228、doi :10.2307/1969855、JSTOR  1969855、MR  0055683。