位相量子場理論

ゲージ理論と数理物理学において、位相量子場理論（または位相場理論、TQFT）は、位相不変量を計算する量子場理論です。

TQFT は物理学者によって発明されたが、代数位相幾何学における結び目理論や四次元多様体理論、代数幾何学におけるモジュライ空間理論などと関連しており、数学的にも興味深い。ドナルドソン、ジョーンズ、ウィッテン、コンツェビッチはいずれも位相場理論に関連する数学的研究で フィールズ賞を受賞している。

凝縮物質物理学において、トポロジカル量子場理論は、分数量子ホール状態、ストリングネット凝縮状態、その他の強く相関した量子液体状態などのトポロジカルに秩序立った状態の低エネルギー有効理論です。

位相場理論では、相関関数は時空の計量に依存しません。つまり、理論は時空の形状の変化に敏感ではなく、時空が歪んだり収縮したりしても相関関数は変化しません。したがって、相関関数は位相不変量です。

位相場理論は、素粒子物理学で使われる平坦なミンコフスキー時空ではそれほど興味深いものではありません。ミンコフスキー空間は点 に収縮できるため、ミンコフスキー空間に適用された TQFT は、自明な位相不変量をもたらします。したがって、TQFT は通常、たとえばリーマン面などの曲がった時空に適用されます。既知の位相場理論のほとんどは、 5 次元未満の時空で定義されています。より高次元の理論もいくつか存在するようですが、あまりよく理解されていません^[要出典]。

量子重力は（ある適切な意味で）背景に依存しないと考えられており、TQFT は背景に依存しない量子場理論の例を提供します。これにより、このクラスのモデルに関する理論的な調査が継続的に行われています。

(注意: TQFT には有限の自由度しかないとよく言われます。これは基本的な特性ではありません。物理学者や数学者が研究するほとんどの例でたまたま当てはまりますが、必ずしもそうとは限りません。位相シグマモデルは無限次元の射影空間を対象としており、そのようなものを定義できれば、それは可算無限の自由度を持つことになります。)

既知の位相場理論は、シュワルツ型 TQFT とウィッテン型 TQFT の 2 つの一般的なクラスに分類されます。ウィッテン TQFT は、コホモロジー場理論と呼ばれることもあります。(Schwarz 2000) を参照してください。

シュワルツ型TQFTでは、システムの相関関数または分配関数は、計量独立作用関数の経路積分によって計算されます。たとえば、 BFモデルでは、時空は2次元多様体Mであり、観測量は2形式F、補助スカラーB、およびそれらの導関数で構成されます。経路積分を決定する作用は、

${\displaystyle S=\int \limits _{M}BF}$

時空計量は理論のどこにも現れないので、理論は明示的に位相不変である。最初の例は 1977 年にA. Schwarzによるもので、その作用関数は次のようになる。

${\displaystyle S=\int \limits _{M}A\wedge dA.}$

もう一つのより有名な例は、結び目不変量に適用できるチャーン・サイモンズ理論です。一般に、分割関数は計量に依存しますが、上記の例は計量に依存しません。

ウィッテン型 TQFTの最初の例は、1988 年のウィッテンの論文 (Witten 1988a)、つまり4 次元の位相的ヤン・ミルズ理論に登場しました。その作用関数には時空計量g _{αβ が}含まれていますが、位相的なねじれにより計量に依存しないことがわかります。システムの応力エネルギー テンソルT ^{αβが計量から独立しているかどうかは、} BRST 演算子が閉じているかどうかによって決まります。ウィッテンの例に倣って、弦理論には他にも多くの例があります。

Witten 型 TQFT は、次の条件が満たされる場合に発生します。

1. TQFT の作用は対称性を持ちます。つまり、 が対称変換 (たとえば、リー導関数) を表す場合、が成立します。${\displaystyle S}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta S=0}$
2. 対称変換は正確である、すなわち${\displaystyle \delta ^{2}=0}$
3. すべての に対してを満たす既存の観測量 が存在します。${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$${\displaystyle \delta O_{i}=0}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$
4. 応力エネルギーテンソル（または同様の物理量）は、任意のテンソルに対して という形式になります。${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }}$${\displaystyle G^{\alpha \beta}}$

例（Linker 2015）：を満たす微分作用素を持つ2形式体が与えられたとき 、作用は対称性を持つ。${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta ^{2}=0}$${\displaystyle S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B}$${\displaystyle \delta B\wedge \delta B=0}$

${\displaystyle \delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0}$。

さらに、次が成り立ちます（が に独立であり、関数微分と同様に動作するという条件の下で）。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B}$。

この式は別の 2 次元形式 と比例します。 ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S}$${\displaystyle \delta G}$${\displaystyle G}$

ここで、対応するハール測度の観測可能値の平均は「幾何学的」フィールドに依存しないため、位相的になります。 ${\displaystyle \left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0}$。

3 番目の等式は、 という事実と、対称変換におけるハール測度の不変性を利用しています。は単なる数なので、そのリー導関数はゼロになります。 ${\displaystyle \delta O_{i}=\delta S=0}$${\displaystyle \int d\mu O_{i}Ge^{iS}}$

アティヤは、シーガルが共形場理論に対して提案した公理（その後、シーガルのアイデアはシーガル（2001）で要約された）と、ウィッテンの超対称性の幾何学的意味（ウィッテン（1982））に触発されて、位相的量子場理論に対する一連の公理を提唱した。アティヤの公理は境界を微分可能（位相的または連続的）変換で接着することによって構築され、シーガルの公理は共形変換に対するものである。これらの公理は、シュワルツ型 QFT の数学的処理に比較的有用であったが、ウィッテン型 QFT の全体構造を捉えているかどうかは明らかではない。基本的なアイデアは、TQFT は、特定のコボルディズムのカテゴリからベクトル空間のカテゴリへの関数であるというものである。

実際には、アティヤ公理と呼ぶことができる公理が 2 組あります。これらの公理は基本的に、単一の固定されたn次元リーマン / ローレンツ時空M上で定義された TQFT に適用されるか、すべてのn次元時空上で一度に定義された TQFTに適用されるかが異なります。

Λ を 1 の可換環とします(ほとんどすべての実世界では、 Λ = Z、R 、またはCとなります)。アティヤはもともと、基底環 Λ 上に定義されたd次元の位相量子場理論 (TQFT) の公理を次のように提案しました。

• それぞれの有向閉滑らかなd次元多様体Σ（ホモトピー公理に対応）に関連付けられた有限生成Λ加群Z （Σ）
• 各有向滑らかな( d + 1)次元多様体(境界付き) M (加法公理に対応)に関連付けられた要素Z ( M )∈Z ( ∂M )。

これらのデータは、次の公理に従います (4 と 5 は Atiyah によって追加されました)。

1. Z はΣ とMの向きを保存する微分同相写像に関して関数的であり、
2. Zは逆向きのΣであり、つまりZ (Σ*) = Z (Σ)*である。ここでΣ*は逆向きのΣであり、Z (Σ)*は双対モジュールを表す。
3. Zは乗法です。
4. d次元空多様体ではZ ( ) = Λであり、 ( d + 1)次元空多様体ではZ ( ) = 1である。${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$
5. Z ( M* ) = Z ( M ) (エルミート公理)。Z ( M ) をエルミートベクトル空間間の線型変換と見なすことができる場合、これはZ ( M * )がZ ( M )の随伴であることと同等です。${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$

注意：閉多様体Mに対してZ ( M ) を数値不変量とみなす場合、境界を持つ多様体に対してはZ ( M ) ∈ Z (∂ M ) を「相対的」不変量とみなすべきである。f  : Σ → Σ を方向保存微分同相写像とし、 Σ × Iの両端をfで同一視する。これにより多様体 Σ _fが得られ、公理から次のことが分かる。

${\displaystyle Z(\Sigma _{f})=\operatorname {Trace} \ \Sigma (f)}$

ここでΣ( f )はZ (Σ)の誘導自己同型である。

注意：境界Σを持つ多様体Mに対して、常に二重多様体を形成することができ、これは閉多様体である。第5公理は、 ${\displaystyle M\cup _{\Sigma }M^{*}}$

${\displaystyle Z\left(M\cup _{\Sigma }M^{*}\right)=|Z(M)|^{2}}$

ここで右側では、エルミート（おそらく不定）計量のノルムを計算します。

物理的には（2）+（4）は相対論的不変性と関連しており、（3）+（5）は理論の量子的性質を示しています。

Σ は物理空間 (通常、標準物理学ではd = 3)を示し、 Σ × Iの余分な次元は「虚」時間です。空間Z (Σ) は量子論のヒルベルト空間であり、ハミルトニアン Hを持つ物理理論は時間発展演算子e ^itHまたは「虚時間」演算子e ^−tHを持ちます。位相的QFTの主な特徴はH = 0であり、これは円筒 Σ × Iに沿って実際のダイナミクスや伝播がないことを意味します。ただし、介在する多様体Mを介して Σ ₀からΣ ₁への非自明な「伝播」(またはトンネル振幅) が存在する可能性があり、これはMのトポロジを反映しています。 ${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$

∂ M = Σ の場合、ヒルベルト空間Z ( Σ ) 内の区別されたベクトルZ ( M ) は、 Mによって定義される真空状態であると考えられます。 閉じた多様体Mの場合、数Z ( M ) は真空の期待値です。統計力学との類似性から、これは分配関数とも呼ばれます。

ゼロ ハミルトニアンを持つ理論が合理的に定式化できる理由は、QFT に対するファインマン経路積分アプローチにあります。これは相対論的不変性 (一般的な ( d + 1) 次元「時空」に適用される) を組み込んでおり、理論は適切なラグランジアン(理論の古典的フィールドの関数) によって正式に定義されます。時間における 1 次導関数のみを含むラグランジアンは、正式にはゼロ ハミルトニアンにつながりますが、ラグランジアン自体はMのトポロジーに関連する重要な特徴を持つ場合があります。

1988 年、M. アティヤは、当時考えられていた位相的量子場理論の多くの新しい例を説明した論文を発表しました (Atiyah 1988a)(Atiyah 1988b)。この論文には、いくつかの新しい位相不変量と、キャソン不変量、ドナルドソン不変量、グロモフの理論、フレアーホモロジー、ジョーンズ-ウィッテン理論などの新しいアイデアが含まれています。

この場合、 Σ は有限個の点から構成されます。1 つの点にベクトル空間V = Z (点) を関連付け、n点にn重テンソル積V ^{⊗ n} = V  ⊗ … ⊗  Vを関連付けます。対称群 S _{n は}V ^{⊗ n}に作用します。量子ヒルベルト空間を得るための標準的な方法は、古典的なシンプレクティック多様体(または位相空間) から始めて、それを量子化することです。S _{n を}コンパクトなリー群Gに拡張し、シンプレクティック構造が線束から来る「積分可能な」軌道を考えると、量子化によってGの既約表現Vが得られます。これが、ボレル・ヴェイユの定理またはボレル・ヴェイユ・ボットの定理の物理的な解釈です。これらの理論のラグランジアンは古典的な作用 (線束のホロノミー) です。したがって、 d = 0の位相的 QFT は、リー群と対称群の古典的な表現理論に自然に関連付けられます。

コンパクトなシンプレクティック多様体Xの閉じたループによって与えられる周期境界条件を考慮する必要があります。Witten (1982) のホロノミーとともに、 d = 0の場合にラグランジアンとして使用されるようなループは、ハミルトニアンを変更するために使用されます。閉じた表面Mの場合、理論の不変量Z ( M ) は、グロモフの意味での擬似正則写像 f  : M → Xの数です ( Xがケーラー多様体の場合、それらは通常の正則写像です)。この数が無限になる場合、つまり「モジュライ」がある場合は、Mに関する追加のデータを固定する必要があります。これは、いくつかの点P _{i を}選択し、次に、固定された超平面上にあるように制約されたf ( P _i )を持つ正則写像f  : M → Xを調べることによって実行できます。Witten (1988b) は、この理論に関連するラグランジアンを書き留めています。フローアーは、ウィッテンのモース理論の考えに基づいて、フローアーホモロジーという厳密な扱いを与えた。境界条件が周期的ではなく区間上にある場合、経路の始点と終点は2つの固定されたラグランジアン部分多様体上にある。この理論は、グロモフ-ウィッテン不変量理論として発展してきた。

もう 1 つの例は、正則 共形場理論です。ヒルベルト空間は無限次元であるため、当時は厳密には位相量子場理論とは見なされていなかった可能性があります。共形場理論は、古典位相がループ群(LG)の中心拡大で構成されるコンパクト リー群Gにも関連しています。これらを量子化すると、 LGの既約 (射影) 表現の理論のヒルベルト空間が生成されます。グループ Diff ₊ ( S ¹ ) は、対称群の代わりになり、重要な役割を果たします。結果として、このような理論の分割関数は複素構造に依存するため、純粋に位相的ではありません。

この場合、ジョーンズ-ウィッテン理論が最も重要な理論です。ここで、閉曲面 Σ に関連付けられた古典的な位相空間は、 Σ 上の平坦なGバンドルのモジュライ空間です。ラグランジアンとは、3 次元多様体 (「フレーム化」されている必要があります) 上のG接続のチャーン-サイモンズ関数の整数倍です。レベルと呼ばれる整数倍k は理論のパラメーターであり、 k → ∞ で古典的な極限が得られます。この理論は、自然にd = 0 理論と結合して「相対」理論を作成できます。詳細はウィッテンによって説明されており、3 次元球面の (フレーム化された) リンクの分割関数は、適切な 1 の根に対するジョーンズ多項式の値に等しいことが示されています。理論は、関連する円分体上で定義できます。Atiyah (1988) を参照してください。境界を持つリーマン面を考慮すると、d = 2 理論を d = 0 に結合させる代わりに、それを d = 1 共形理論に結合させることができます。これはジョーンズ-ウィッテン理論に発展し、結び目理論と量子場理論の間の深いつながりの発見につながりました。 harvtxt error: no target: CITEREFAtiyah1988 (help)

ドナルドソンは、SU(2)-インスタントンのモジュライ空間を用いて滑らかな4次元多様体の整数不変量を定義した。これらの不変量は第2ホモロジー上の多項式である。したがって、4次元多様体は、H ₂の対称代数からなる追加データを持つはずである。ウィッテン (1988a) は、ドナルドソン理論を形式的に再現する超対称ラグランジアンを作成した。ウィッテンの公式は、ガウス-ボネ定理の無限次元類似体として理解できるかもしれない。後日、この理論はさらに発展して、N = 2、d = 4ゲージ理論においてSU(2)をU(1)に簡約するザイバーグ-ウィッテンゲージ理論となった。理論のハミルトニアン版は、3次元多様体上の接続空間の観点から、フローアによって開発された。フローアーは、ハミルトニアンを修正するために、ジョーンズ-ウィッテン理論のラグランジアンであるチャーン-サイモンズ関数を使用しています。詳細については、アティヤ (1988) を参照してください。ウィッテン (1988a) は、 d = 3 理論とd = 1 理論を結合する方法も示しています。これは、ジョーンズ-ウィッテン理論におけるd = 2 とd = 0の結合と非常によく似ています。 harvtxt error: no target: CITEREFAtiyah1988 (help)

現在、位相場理論は、固定された次元ではなく、同時にすべての次元上の 関数として見られています。

Bord _{M を、}その射がMのn次元部分多様体であり、その対象がそのような部分多様体の境界の連結成分であるカテゴリとします。2 つの射がMの部分多様体を介してホモトピックである場合、それらの射は同値であるとみなし、商カテゴリhBord _{Mを形成します。hBord M}の対象はBord _Mの対象であり、hBord _Mの射はBord _Mの射のホモトピー同値類です。M 上の TQFTは、 hBord _Mからベクトル空間のカテゴリへの 対称モノイド関数です。

境界が一致する場合、コボルディズムを縫い合わせて新しいボルディズムを形成できることに注目してください。これは、コボルディズム カテゴリの射の合成法則です。関数は合成を保存する必要があるため、縫い合わされた射に対応する線型写像は、各部分の線型写像の合成にすぎないことがわかります。

2次元位相量子場理論のカテゴリーと可換フロベニウス代数のカテゴリーの間には同値性がある。

すべての時空を一度に考えるには、 hBord _{M を}より大きなカテゴリに置き換える必要があります。そこで、 Bord _{n を}ボルディズムのカテゴリ、つまり、その射が境界を持つn次元多様体であり、そのオブジェクトが n 次元多様体の境界の連結成分であるカテゴリとします。(任意の ( n −1) 次元多様体がBord _n内のオブジェクトとして現れる可能性があることに注意してください。) 上記のように、Bord _n内の 2 つの射がホモトピックである場合はそれらを同値と見なし、商カテゴリhBord _nを形成します。Bord _{n は}、2 つのボルディズムをそれらの非交わりの和から作成されたボルディズムに写す操作の下でのモノイドカテゴリです 。 n次元多様体上の TQFT は、 hBord _nからベクトル空間のカテゴリへの関数であり、ボルディズムの非交わりの和をそれらのテンソル積に写します。

たとえば、(1 + 1) 次元境界条件 (1 次元多様体間の 2 次元境界条件) の場合、ズボンに関連付けられた写像は、境界成分のグループ化方法 (可換か余可換か) に応じて積または余積を与えます。一方、ディスクに関連付けられた写像は、境界成分のグループ化に応じて余単位 (トレース) または単位 (スカラー) を与えます。したがって、(1+1) 次元 TQFT はフロベニウス代数に対応します。

さらに、上記のボルディズムによって関連付けられた 4 次元、3 次元、2 次元の多様体を同時に考慮することができ、そこから豊富で重要な例を得ることができます。

位相量子場理論の発展を見ると、ザイバーグ・ウィッテンゲージ理論、位相弦理論、結び目理論と量子場理論の関係、量子結び目不変量への多くの応用を考慮する必要があります。さらに、それは数学と物理学の両方で非常に興味深いトピックを生み出しました。また、最近重要な関心事は、TQFT の非局所演算子です (Gukov & Kapustin (2013))。弦理論を基礎と見なすと、非局所 TQFT は、局所弦理論の計算効率の高い近似を提供する非物理的モデルと見なすことができます。

確率的（偏）微分方程式（SDE）は、量子縮退とコヒーレンスのスケールを超える自然界のすべてのもののモデルの基礎であり、本質的にはウィッテン型 TQFT です。すべての SDE は、位相的またはBRST 超対称性、を持ち、確率的ダイナミクスの演算子表現には、確率的進化演算子と可換な外微分があります。この超対称性は、連続フローによって位相空間の連続性を維持し、大域的非超対称基底状態による超対称の自発的崩壊の現象には、カオス、乱流、1/fおよびパチパチというノイズ、自己組織化臨界性などの確立された物理的概念が含まれます。任意の SDE の理論の位相セクターは、ウィッテン型 TQFT として認識できます。 ${\displaystyle \delta }$

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