ホワイトヘッドの定理

ホモトピー理論（数学の一分野）において、ホワイトヘッドの定理は、CW 複体XとY の間の連続写像 f がすべてのホモトピー群上で同型写像を誘導する場合、f はホモトピー同値であると述べている。この結果は、1949 年の 2 つの画期的な論文でJHC ホワイトヘッドによって証明され、そこで彼が導入した CW 複体の概念を扱う正当性を与えている。これは代数的位相幾何学のモデル結果であり、特定の代数的不変量（この場合はホモトピー群）の振る舞いが写像の位相的特性を決定する。

より詳しくは、XとYを位相空間とする。連続写像

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

およびX内の点xに対して、任意のn ≥ 0に対して誘導準同型写像を考える

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x)),}$

ここでπ _n ( X , x )は基点xを持つXのn次ホモトピー群を表す。（n = 0の場合、π ₀ ( X )は単にXのパス成分の集合を意味する。）写像fは、 関数

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)}$

は全単射であり、準同型写像はX内のすべてのxとすべてのn ≥ 1に対して全単射です。 ( XとY が経路連結されている場合、最初の条件は自動的に決まり、X内の単一の点xに対して 2 番目の条件を述べるだけで十分です。) ホワイトヘッドの定理は、1 つの CW 複体から別の CW 複体への弱いホモトピー同値性はホモトピー同値性であると述べています。(つまり、写像f : X → Yにはホモトピー逆g : Y → Xがありますが、これは仮定からはまったく明らかではありません。) これは、CW 複体にホモトピー同値である 空間XとYについても同じ結論を意味します。${\displaystyle f_{*}}$

これをHurewicz の定理と組み合わせると、有用な帰結が得られます。つまり、すべての整数ホモロジー群に同型性を誘導する単連結CW 複体間の連続写像はホモトピー同値です。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

注意: X と Y がホモトピー同値であると結論付けるには、各 n について π n ( X ) が π n ( Y ) に同型であると仮定するだけでは不十分です。ホモトピー群に同型を誘導する写像 f : X → Y が本当に必要です 。たとえば、_X = S 2 _× RP 3および Y = RP 2 × S 3 を取ります。すると、^XとY^は同じ基本群、^つまり巡回群^Z / 2と、同じ普遍被覆、つまり S 2 × S 3 を持ちます。したがって、それらは同型^{ホモトピー}群を^持ちます。一方、それらのホモロジー群は異なります ( Künneth の公式からわかるように)。したがって、XとY はホモトピー同値ではありません。

ホワイトヘッドの定理は、一般的な位相空間、さらにはR ⁿのすべての部分空間には当てはまりません。たとえば、平面のコンパクトな部分集合であるワルシャワ円は、すべてのホモトピー群が 0 ですが、ワルシャワ円から単一の点への写像はホモトピー同値ではありません。ホワイトヘッドの定理をより一般的な空間に一般化できる可能性の研究は、形状理論の主題の一部です。

任意のモデルカテゴリでは、コフィブラント-フィブラントオブジェクト間の弱い同値性はホモトピー同値性です。

• JHC ホワイトヘッド、「組合せホモトピー I.」、アメリカ数学会誌、55 (1949)、213–245
• JHC ホワイトヘッド、「組合せホモトピー II.」、アメリカ数学会誌、55 (1949)、453–496
• A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN  0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0 (定理 4.5 を参照)