グループイド

数学、特に圏論とホモトピー理論において、類群（あまり一般的ではないがブラント類群または仮想群）は、いくつかの同等の方法で群の概念を一般化します。類群は次のように考えることができます。

• 二項演算を置き換える部分関数を持つグループ。
• すべての射が逆であるカテゴリ。この種のカテゴリは、群論との類推により逆と呼ばれる、射に対する単項演算によって拡張されたものと見なすことができます。 ^[1]オブジェクトが 1 つしかない群は通常のグループです。

依存型付けが存在する場合、一般にカテゴリは型付けされたモノイドと見なすことができ、同様に、群は単に型付けされたグループと見なすことができます。射は 1 つのオブジェクトから別のオブジェクトへ移動し、依存型のファミリーを形成します。したがって、射は、 、のように型付けされる可能性があります。合成は全関数 、つまり となり、 となります。 ${\displaystyle g:A\rightarrow B}$${\displaystyle h:B\rightarrow C}$${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$

特殊なケースとしては次のようなものがあります:

• セトイド：同値関係を伴う集合、
• Gセット：グループのアクションを備えたセット。${\displaystyle G}$

群体は多様体などの幾何学的対象を推論するためによく使われる。ハインリッヒ・ブラント （1927）はブラント半群を介して暗黙的に群体を導入した。^[2]

群体は、二項部分関数 ^[要出典]を持つ集合からなる代数構造として考えることができます。正確には、単項演算と部分関数を持つ空でない集合です。ここで、 * は二項演算ではありません。これは、のすべての要素のペアに対して必ずしも定義されているわけではないためです。 が定義される正確な条件はここでは明確に述べられておらず、状況によって異なります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle *}$

および^{−1 の}演算には、次の公理的性質があります。、、のすべての場合において、 ${\displaystyle \ast}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

1. 結合性:および が定義されている場合、 およびも定義され、それらは等しくなります。逆に、またはのいずれかが定義されている場合、それらは両方とも定義され(互いに等しくなり)、およびも定義されます。${\displaystyle a*b}$${\displaystyle b*c}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle a*(b*c)}$${\displaystyle (a*b)*c}$${\displaystyle a*(b*c)}$${\displaystyle a*b}$${\displaystyle b*c}$
2. 逆:および は常に定義されます。${\displaystyle a^{-1}*a}$${\displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. 恒等式:が定義されている場合、、 となります。(前の 2 つの公理は、これらの式が定義されており、一義的であることを既に示しています。)${\displaystyle a*b}$${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$

これらの公理から、2 つの簡単で便利な特性が導き出されます。

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$、
• が定義されている場合、 となる。^[3]${\displaystyle a*b}$${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

群体とは 、すべての射が同型、すなわち可逆であるような小さなカテゴリである。 ^{[1]より明確に}言えば、群体Gは_、

• オブジェクトxとyの各ペアに対して、 xからyへの射(または矢印)の(空の場合もある) 集合G ( x , y )。 f がG ( x , y )の要素であることを示すために、 f  : x → yと書きます。
• すべてのオブジェクトxに対して、 G ( x , x )の指定された要素。${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• オブジェクトx、y、zの 3 つの 各組に対する関数。${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$
• 各オブジェクトx、yのペアに対して、任意のf  : x → y、g  : y → z、h  : z → wに対して次を満たす関数: ${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$
  • ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$そして;${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$
  • ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$;
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$そして。${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$

f がG ( x , y )の要素である場合、x はfのソースと呼ばれ、s ( f ) と表記されます。また、y はfのターゲットと呼ばれ、t ( f ) と表記されます。

群体Gは と表記されることもあります。ここで はすべての射の集合であり、2 つの矢印はソースとターゲットを表します。 ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$

より一般的には、有限ファイバー積を許容する任意のカテゴリ内の 群オブジェクトを検討することができます。

代数的定義と圏論的定義は、今示すように同等です。圏論的な意味での群体が与えられた場合、G をすべての集合G ( x , y ) の互いに素な和集合(つまり、 xからyへの射の集合)とします。すると、 と はGの部分演算となり、実際にはどこでも定義されます。 ∗ を、⁻¹を と定義すると、代数的な意味での群体が得られます。G ₀ (および) への明示的な参照は省略できます。 ${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {comp} }$${\displaystyle \mathrm {inv} }$${\displaystyle \mathrm {id} }$

逆に、代数的な意味での群Gが与えられたとき、その元に 同値関係を と定義する場合、それはa ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹の場合に限ります。G 0 を の同値類の集合、つまり とします_。のとき、a ∗ a −1を^と表します。 ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$${\displaystyle 1_{x}}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle x\in G_{0}}$

ここで、が存在するすべての元fの集合を と定義します。 と が与えられている場合、それらの合成は と定義されます。 これが適切に定義されていることを確認するには、と が存在するので も存在することに注意してください。 この場合、 x上の恒等写像は であり、 fの圏論的逆はf ⁻¹です。 ${\displaystyle G(x,y)}$${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$${\displaystyle f\in G(x,y)}$${\displaystyle g\in G(y,z),}$${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$${\displaystyle 1_{x}}$

上記の定義における集合は、カテゴリー理論で一般的に行われているように、 クラスに置き換えることができます。

群体Gが与えられた場合、G内の頂点群、等方性群、またはオブジェクト群は、形式G ( x , x )のサブセットです。ここで、 xはGの任意のオブジェクトです。上記の公理から、すべての要素のペアが合成可能であり、逆元が同じ頂点群にあるため、これらが実際にグループであることが簡単にわかります。

点における群Gの軌道は、G 内の射によって x に接続できるすべての点を含む集合によって与えられます。2 つの点とが同じ軌道上にある場合、それらの頂点群とには同型があります。つまり、が からへの任意の射である場合、同型は写像 によって与えられます。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle G(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

軌道は集合 X の分割を形成し、群体が軌道を 1 つしか持たない場合 (カテゴリとして連結されている場合と同義)、群体は推移的と呼ばれます。その場合、すべての頂点群は同型です (一方、これは推移性の十分な条件ではありません。反例については以下のセクションを参照してください)。

の部分群は、それ自身が群である部分圏です。が部分圏として広域または完全である場合、すなわち、任意の に対してまたはである場合、それぞれ広域または完全であると呼ばれます。 ${\displaystyle G\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$${\displaystyle x,y\in Y}$

群体射は、単に2 つの (カテゴリ理論的な) 群体間の関数です。

群体の射の特定の種類は興味深い。群体の射は、の各オブジェクトと から始まるの各射に対して、 から始まるの射が存在し、 となるとき、ファイブレーションと呼ばれる。さらにそのようなが一意であるとき、ファイブレーションは被覆射または群体の被覆と呼ばれる。群体の被覆射は、空間の被覆マップをモデル化するために使用できるため、特に有用である。 ^[4]${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p(e)=b}$${\displaystyle e}$

また、与えられた群体の被覆射のカテゴリは、その群体の集合への作用のカテゴリと同値であることも事実です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

位相空間 が与えられたとき、を集合 とします。点 から点 への射は、 からへの連続パスの同値類であり、2 つのパスが同値なのは、それらがホモトピック である場合です。このような 2 つの射は、最初に最初のパスをたどり、次に 2 番目のパスをたどることで合成されます。ホモトピー同値性により、この合成が結合的 であることが保証されます。この群はの基本群と呼ばれ、 と表記されます(または、 と表記されることもあります)。^[5]通常の基本群は、点 の頂点群です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi_{1}(X)}$${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle x}$

基本群の軌道はの経路連結成分である。したがって、経路連結空間の基本群は推移的であり、任意の基点における基本群は同型であるという既知の事実が回復される。さらに、この場合、基本群と基本群はカテゴリとして同値である（一般理論については以下のセクションを参照）。 ${\displaystyle \pi_{1}(X)}$${\displaystyle X}$

この考え方の重要な拡張は、が「基点」の選択された集合である基本群を考えることです。ここではの（広い）部分群であり、エンドポイントが に属するパスのみを考慮します。集合は、手元の状況の幾何学に従って選択できます。 ${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \pi_{1}(X,A)}$${\displaystyle \pi_{1}(X)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

が集合体、つまり同値関係を持つ集合である場合、この同値関係を「表す」群体は次のように形成されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim}$

• 群体のオブジェクトは の要素です。${\displaystyle X}$
• 内の任意の 2 つの要素とに対して、から への単一の射( で表記) が存在するのは、 の場合に限ります。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (y,x)}$${\displaystyle x\sim y}$
• との合成はです。${\displaystyle (z,y)}$${\displaystyle (y,x)}$${\displaystyle (z,x)}$

この群の頂点群は常に自明です。さらに、この群は一般に推移的ではなく、その軌道はまさに同値類です。2 つの極端な例があります。

• のすべての要素がの他のすべての要素と関係がある場合、のペア群が得られ、これは全体を矢印の集合として持ち、推移的です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$
• のすべての要素がそれ自身とのみ関係している場合、単位群が得られます。これは矢印の集合としてを持ち、完全に非推移的です（すべてのシングルトンは軌道です）。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s=t=id_{X}}$${\displaystyle \{x\}}$

• が滑らかな多様体の滑らかな射影的沈み込みである場合、は同値関係である^[6] 。なぜなら、は位相空間の射影写像の下での商位相と同型な位相を持つからである。と書くと、群体が得られる。${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$ ${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$

  ${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

  これは滑らかな多様体の射影的沈み込みの凡庸な群と呼ばれることもあります。
• 反射性の要件を緩和し、部分同値関係を考慮すると、集合の計算可能実現体に関する同値の半決定可能概念を考慮することが可能になります。これにより、群体を集合論の計算可能な近似として使用することができ、 PER モデルと呼ばれます。カテゴリとして考えると、PER モデルは、自然数のオブジェクトとサブオブジェクトの分類子を持つデカルトの閉じたカテゴリであり、Martin Hylandによって導入された有効トポスを生み出します。

チェフ群^{[6] p. 5}は、ある多様体の開被覆によって与えられる同値関係に関連付けられた特別な種類の群である。そのオブジェクトは、互いに交わらない和集合によって与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$、

そしてその矢印は交差点である

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$。

ソースマップとターゲットマップは誘導マップによって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

そして包含マップ

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

群の構造を与える。実際、これをさらに拡張して、

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

は - 個の合成可能な矢印の組を表す - 反復ファイバー積として表される。ファイバー積の構造写像は暗黙的にターゲット写像である。${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

は、への写像が目標写像である直交座標である。この構成は、いくつかの∞群のモデルとして見ることができる。また、この構成のもう1つの成果物は、kコサイクルである。${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

アーベル群の定数層は関数として表すことができる。

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

コホモロジー類の明示的な表現を与える。

群が 集合 に作用する場合、この群作用を表す作用群（または変換群）を次のように形成できます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

• オブジェクトは の要素です。${\displaystyle X}$
• 内の任意の 2 つの要素とに対して、からへの射はとなる の要素に対応します。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gx=y}$
• 射の合成は、の二項演算を解釈します。${\displaystyle G}$

より明確に言えば、作用群は、およびを持ち、ソース マップとターゲット マップとを持つ小さなカテゴリです。これは、右作用の場合は(または) と表記されることがよくあります。群における乗算 (または合成) は、 という条件で定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$${\displaystyle s(g,x)=x}$${\displaystyle t(g,x)=gx}$${\displaystyle G\ltimes X}$${\displaystyle X\rtimes G}$${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$${\displaystyle y=gx}$

において、頂点群はとなる頂点群から構成され、これは与えられた作用に対するにおける等方性部分群に過ぎません (これが頂点群が等方性群とも呼ばれる理由です)。同様に、作用群の軌道は群作用の軌道であり、群作用が推移的 である場合に限り、群は推移的です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (g,x)}$${\displaystyle gx=x}$${\displaystyle x}$

-集合を記述する別の方法は、関数カテゴリです。ここで、は 1 つの要素を持つ群 (カテゴリ) で、群 と同型です。実際、このカテゴリのすべての関数は集合 を定義し、内の任意の に対して(つまり、 内のすべての射に対して)、一対一 :を誘導します。関数のカテゴリ構造により、 が集合 に対する -作用を定義することが保証されます。 (一意の)表現可能な関数 :は、 のCayley 表現です。実際、この関数はと同型であり、したがって は定義により「集合」である集合 に送信され、の射(つまり、の要素) は集合 の順列 に送信されます。Yoneda埋め込みから、群 はの順列群のサブグループである群と同型であることが推測されます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {Gr} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{g}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$${\displaystyle G}$

各数をその負の数まで取る有限集合への の群作用、つまりおよび を考えます。商群は、この群作用 からの同値類の集合であり、へ の群作用を持ちます。${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$${\displaystyle -2\mapsto 2}$${\displaystyle 1\mapsto -1}$${\displaystyle [X/G]}$${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$${\displaystyle [0]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

に写像する任意の有限群は、アフィン空間への群作用を与えます（これは自己同型群であるため）。すると、商群は の形を取ることができ、これは原点に安定点を持つ 1 つの点を持ちます。このような例は、オービフォールドの理論の基礎を形成します。よく研究されるオービフォールドの別のファミリーは、重み付き射影空間とその部分空間であり、たとえばカラビ・ヤウ オービフォールドなどがあります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

群の射を持つ群の図が与えられた場合

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

ここで、および のとき、 、、およびの3 つ組 をオブジェクトとする群を形成できます。射は、 およびの 3 つ組 に対して、のに可換図式が存在し、となるようなおよびの射のペアとして定義できます。^[7]${\displaystyle f:X\to Z}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle X\times _{Z}Y}$${\displaystyle (x,\phi ,y)}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha :x\to x'}$${\displaystyle \beta :y\to y'}$${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$${\displaystyle \phi ,\phi '}$

2つの用語の複合体

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

具体的な アーベル圏のオブジェクトの集合は、群体を形成するために使用できます。これは、オブジェクトとして集合 を持ち、矢印として集合を持ちます。ソース射は への射影にすぎず、ターゲット射は への射影とへの射影の合成です。つまり、が与えられた場合、 ${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

もちろん、アーベル圏がスキーム上の連接層の圏である場合、この構成を使用して群のプレ層を形成できます。

ルービックキューブなどのパズルは群論（ルービックキューブ群を参照）を使用してモデル化できますが、特定のパズルは群としてモデル化する方が適しています。^[8]

15のパズルの変形は群体を形成します（すべての動きを合成できるわけではないので、群ではありません）。^{[9] [10] [11]}この群体は構成に作用します。

マシュー群は、ジョン・ホートン・コンウェイによって導入された群であり、 13 個の点に作用し、1 つの点を固定する要素がマシュー群M ₁₂のコピーを形成します。

群体が1つのオブジェクトしか持たない場合、その射の集合は群を形成します。代数的定義を使用すると、そのような群体は文字通り単なる群です。^[12]群論の多くの概念は群体に一般化され、群準同型の概念が関数の概念に置き換えられます。

あらゆる推移的/連結群、つまり上で説明したように、任意の 2 つのオブジェクトが少なくとも 1 つの射によって連結されている群は、(上で定義した) 作用群と同型です。推移性により、作用の下には 1 つの軌道のみがあ​​ります。${\displaystyle (G,X)}$

先ほど述べた同型は一意ではなく、自然な選択はないことに注意してください。推移群に対してこのような同型を選択することは、本質的に、から への群同型である 1 つのオブジェクトを選択し、以外の各オブジェクトに対して、からへの射影を選択することに相当します。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle G(x_{0})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$

群体が推移的でない場合は、それは上記のタイプの群体の互いに素な和集合と同型であり、その連結成分とも呼ばれます(連結成分ごとに異なるグループとセットを持つ可能性があります)。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

圏論的な用語では、群の各連結成分は、単一のオブジェクト、つまり単一のグループを持つ群と同値（ただし同型ではない）である。したがって、任意の群は無関係なグループの多重集合と同値である。言い換えれば、同型性ではなく同値性を求めるには、集合を指定する必要はなく、グループのみを指定する必要がある。たとえば、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G.}$

• の基本群は、の各パス連結成分の基本群の集合と同値ですが、同型性には各成分の点の集合を指定する必要があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 同値関係を持つ集合は、各同値類に対する自明群の 1 つのコピーと同値です (群として) 。ただし、同型性では各同値類が何であるかを指定する必要があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$
• 群の作用を備えた集合は、作用の各軌道に対する1 つのコピーと（群として）同等ですが、同型性では各軌道がどの集合であるかを指定する必要があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

群体を単なる群の集まりに縮小すると、それが自然ではないため、カテゴリー理論の観点から見ても、いくつかの情報が失われます。したがって、上記の例のように、群体が他の構造の観点から生じる場合、群体全体を維持すると役立つ場合があります。それ以外の場合は、それぞれを単一のグループの観点から見る方法を選択する必要があり、この選択は任意です。位相幾何学の例では、同じパス接続コンポーネント内の 各ポイントから各ポイントへのパス（またはパスの同値クラス）の一貫した選択を行う必要があります。${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

よりわかりやすい例として、1 つの自己準同型を持つ群体の分類は、純粋に群論的な考察に還元されません。これは、1 つの自己準同型を持つベクトル空間の分類が自明ではない という事実に似ています。

群の射には群の射よりも多くの種類があります。たとえば、ファイバー化、被覆射、普遍射、商射などがあります。したがって、群の部分群は、の剰余類の集合に対するの作用を生じ、したがって、たとえば から への被覆射が生じます。ここで、はと同型の頂点群を持つ群です。このようにして、群の表現を群の表現に「持ち上げる」ことができ、これは部分群の表現に関する情報を得るのに便利な方法です。詳細については、参考文献の Higgins および Brown の書籍を参照してください。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$

オブジェクトが群体であり、射が群体射であるカテゴリは、群体カテゴリ、または群体のカテゴリと呼ばれ、Grpdと表記されます。

カテゴリGrpdは、小カテゴリのカテゴリと同様に、デカルト閉です。任意の群に対して、射をオブジェクトとし、射の自然な同値性を矢印とする群を構築できます。したがって、が単なるグループである場合、そのような矢印は射の共役です。主な結果は、任意の群に対して自然な一対一が存在することです 。${\displaystyle H,K}$${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$${\displaystyle H\to K}$${\displaystyle H,K}$${\displaystyle G,H,K}$

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

この結果は、すべての群が単なる群である場合でも興味深いものです。 ${\displaystyle G,H,K}$

Grpdのもう一つの重要な特性は、完全かつ共完全であることです。

包含には左と右の両方の随伴項があります。 ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

ここで、はすべての射を反転するカテゴリの局所化を表し、はすべての同型のサブカテゴリを表します。 ${\displaystyle C[C^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$

神経関数は、 Grpd を単体集合のカテゴリの完全なサブカテゴリとして埋め込みます。群体の神経は常にKan 複体です。 ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$