ドルド・トムの​​定理

代数トポロジーにおいて、ドルド・トムの​​定理は、連結CW複体の無限対称積のホモトピー群がその縮約ホモロジー群と一致することを述べている。その証明の最も一般的な形式は、ホモトピー群関手と無限対称積の合成が縮約ホモロジー理論を定義することを示すことである。その際に用いられる主要なツールの1つが準ファイブレーションである。この定理は、例えばアルムグレンの同型定理などによって、様々な形で一般化されている。

ホモトピーとホモロジーの関係を示す定理は他にもいくつかあり、例えばヒューレヴィッツの定理などが挙げられる。別のアプローチとしては、安定ホモトピー理論がある。フロイデンタールの懸垂定理のおかげで、後者が実際にはホモロジー理論を定義していることがわかる。しかしながら、これらのいずれもホモロジーを直接ホモトピーに還元することはできない。ドルド＝トムの定理のこの利点は、代数幾何学において特に興味深いものとなっている。

ドルド・トムの​​定理。連結CW複体Xに対して、π _n SP( X ) ≅ H̃ _n ( X )が成り立つ。ここで、 H̃ _nは縮約ホモロジーを表し、SPは無限対称積を表す。

また、 Hurewicz準同型写像h :  π n ( X ) → H̃ n ( X ) と互換性のある同型写像 φ : _π n SP ( _X ) → H̃ _n ( X )が存在_することも非常に有用であり、これは可換図式が存在することを意味する。

ここで、i _{*は包含関係}i : X = SP ¹ ( X ) → SP( X )によって誘導される写像です。

次の例は、XがCW 複体であるという要件を安易に放棄できないことを示しています。X = C H ∨ C Hをハワイアン イヤリング上の円錐の 2 つのコピーのウェッジ和とします。2 つのコピーの共通点は、すべての円と交わる点 0 ∈ Hであるとします。一方では、H ₁ ( X ) は無限群^{[ 1 ]}ですが、H ₁ ( C H ) は自明です。一方、 φ : SP( X ) × SP( Y ) → SP ( X ∨ Y ) は、φ([ x 1 , ..., x n ], [ y 1 , ..., y n ]) = ([ x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n ]) で定義され、コンパクトなXと_Yの同相写像_であるため、_π 1 ( SP ( _X ) ) ≅ π 1 ₍ SP ( C H ₎ ) _× π ₁ ( SP ₍ C H ) )_が成り立ちます。 

しかし、これはπ ₁ (SP( C H )) ≅ H ₁ ( C H ) または π ₁ (SP( X )) ≅ H ₁ ( X ) のいずれも成り立たないことを意味する。

関数族h _n = π _{nを示す必要がある。}${\displaystyle \circ }$SPはホモロジー理論を定義する。DoldとThomは最初の証明で、 Eilenberg -Steenrod公理のわずかな修正を選択した。すなわち、基点付き連結CW複体の圏からアーベル群の圏への関手族( _h̃n ) n∈N0_{が、以下の}条件を満たす場合に、縮約ホモロジー理論と呼ぶ_。

1. f ≃ g : X → Yの場合、f _* = g _* : h̃ _n ( X ) → h̃ _n ( Y ) となり、≃ はポインテッドホモトピー同値を表します。
2. XとAが連結している各ペア( X , A )に対して、自然な境界準同型写像∂  : h̃n ( X / A )→ h̃n _{- 1} ( A )が存在し、正確な数列が得られる_。
   $\displaystyle \qquad \dots \xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n}(A)\xrightarrow {i_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X)\xrightarrow {q_{*}} {\tilde {h}}_{n}(X/A)\xrightarrow {\partial } {\tilde {h}}_{n-1}(A)\xrightarrow {i_{*}} \dots }$
   ここで、 i : A → Xは包含写像であり、q : X → X / Aは商写像である。
3. n ≠ 1 の場合、h̃ _n ( S ¹ ) = 0 となります。ここで、 S ^{1 は}円を表します。
4. ( X _λ ) を基点を含む点付き空間Xのコンパクト部分空間のシステムとする。このとき、( X _λ ) は包含関係とともに直接システムとなる。${\displaystyle i_{\lambda }\colon X_{\lambda }\to X}$それぞれ$\displaystyle i_{\lambda }^{\mu }\colon X_{\lambda }\to X_{\mu }}$X _λ ⊂ X _μの場合の包含関係。h̃ n ( X _λ ) は射を持つ直接システムでもある_。${\displaystyle {i_{\lambda }^{\mu }}_{*}}$すると準同型写像
   ${\displaystyle \qquad i_{*}\colon \varinjlim {\tilde {h}}_{n}(X_{\lambda })\to {\tilde {h}}_{n}(X),}$
   によって誘発される${\displaystyle i_{\lambda *}}$同型写像であることが求められる。

縮小ホモロジー理論 ( h̃ _n ) _{n ∈ N 0}に対して、 G = h̃ ₁ ( S ^{1 ) となる自然な同型写像}h̃ _n ( X ) ≅ H̃ _n ( X ; G )が存在することを示すことができる。^{[ 2 ]}

明らかに、h _nは特性 1 を満たす関手であり、SP はホモトピー関手である。さらに、SP( S ¹ ) ≃ S ¹であることから、3 番目の特性は明らかである。したがって、残るは公理 2 と 4 を検証することだけである。この取り組みの核心は最初の点である。ここで準ファイブレーションが重要になる。

目標は、商写像p : X → X / Aによって誘導される写像p _* : SP( X ) → SP( X / A ) が、連結複体からなるCW ペア ( X , A ) の準ファイブレーションであることを証明することです。まず、すべての CW 複体は単体複体とホモトピー同値であるため、^{[ 3 ]} XとAは単体複体であると仮定できます。さらに、X は包含A → Xの写像シリンダーに置き換えられます。SP はホモトピー関手であるため、これは何も変更しません。帰納法によって、 p _* : E _n → B _nがB _n = SP ⁿ ( X / A ) およびE _n = p _* ⁻¹ ( B _n )の準ファイブレーションであることを証明すれば十分です。n = 0の場合、これは自明に満たされます。帰納段階では、B _{n を}B _{n −1}とB _n − B _{n −1}の開近傍に分解し、これら 2 つの集合がそれらの共通部分とともに区別される、すなわち、これら 3 つの集合のそれぞれの逆像に制限されたpが準ファイブレーションであることを示します。すると、 B _n自体がすでに区別されていることが示されます。したがって、 p _{*は確かに SP(} X )全体上の準ファイブレーションであり、そのような準ファイブレーションの長完全列は、 p _* ⁻¹ ([e]) ≅ SP( A ) が成り立つことから、公理 2 が満たされることを意味します。 

p _{* は}ファイブレーションではないのではないかと疑問に思う人もいるかもしれない。しかし、そうではないことがわかる。X − A内の任意のパスx _t ( t ∈ [0, 1))を取り、あるa ∈ Aに近づくものとし、これをX / A ⊂ SP( X / A )内のパスと解釈する。すると、このパスを SP( X )に持ち上げると、すべてのtに対してα _t ∈ Aであるx _t α _tの形になる。しかし、これはその終点a α _1がaの倍数であり、基点とは異なることを意味するため、ホモトピー持ち上げ特性が満たされない。

前の公理とは対照的に、第4の公理の検証は非常に初歩的な方法で行うことができる。

この証明は最も一般的であるように思われるが、様々な証明方法が存在することを念頭に置いておくべきである。例えば、因数分解ホモロジーや単体集合を用いた証明も確立されている。また、ホモロジー理論の他の概念（例えば、アイレンベルク＝スティーンロッド公理）を用いて定理を証明することもできる。

ヒューレヴィッチ準同型との互換性

Hurewicz準同型との互換性を検証するには、X = S ⁿの場合にこの命題が成り立つことを示せば十分である。これは、その場合、プリズムが得られるからである。

写像f : S ⁿ → Xで表される各 Element [ f ] ∈ π _n ( X ) について。この図では、おそらく一番下の辺を除いてすべての辺が可換です。したがって、1 ∈ π _n ( S ⁿ ) ≅ Zがどこに写像されるかを考えると、図全体が可換であることがわかります。ただし、ホモトピーまたはホモロジー群の懸垂同型を使用すると、タスクはS ¹の主張を示すことに帰着します。ただし、この場合、包含 SP ¹ ( S ¹ ) → SP( S ¹ ) はホモトピー同値です。

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• なぜドルド＝トムの定理なのか？（MathOverflowより）
• MathOverflowの「無限圏に対するドルド＝トムの定理？」
• StackExchangeのEilenberg-MacLaneスペースにおけるグループ構造