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数学、特に射影幾何学では、平面上の配置は、有限個の点と有限個の直線の配置から成り、各点が同じ数の直線に接続し、各直線が同じ数の点に接続します。[ 1 ]
特定の配置については以前から研究されていましたが（例えば、 1849年にトーマス・カークマンによって）、配置の正式な研究は、1876年にテオドール・レイエが著書『位置の幾何学』の第2版で、デザルグの定理に関する議論の中で初めて導入しました。エルンスト・シュタイニッツは1894年にこの主題に関する博士論文を執筆し、ヒルベルトとコーン＝フォッセンの1932年の著書『実際的幾何学』によって普及しました。この著書は、英語では『Hilbert & Cohn-Vossen (1952) 』として再版されています。
構成は、ユークリッド平面や射影平面などの特定の幾何学における点と線の具体的な集合として研究することも（これらはその幾何学において実現可能であると言われる）、抽象的な接続幾何学の一種として研究することもできる。後者の場合、構成は正則ハイパーグラフや双正則二部グラフと密接に関連しているが、いくつかの追加の制約がある。すなわち、接続構造の任意の2つの点は最大で1つの線と関連付けることができ、任意の2つの線は最大で1つの点と関連付けることができる。つまり、対応する二部グラフ（構成のレヴィグラフ）の周長は少なくとも6でなければならない。
平面上の配置は ( p γ ℓ π ) で表され、ここでpは点の数、ℓ は線の数、γ は点あたりの線の数、π は線あたりの点の数である。これらの数値は必ず次の式を満たす。
この製品は点と線の交点（フラグ）の数です。
同じ記号を持つ配置、例えば ( p γ ℓ π ) は、必ずしも同型である必要はありません。例えば、 (9 3 9 3 ) 配置には 3 つの異なる配置があります。パップス配置と、あまり知られていない 2 つの配置です。
いくつかの構成では、p = ℓとなり、結果としてγ = πとなります。これらは対称構成 またはバランス構成と呼ばれ[ 2 ]、繰り返しを避けるために表記が簡略化されることがよくあります。たとえば、(9 3 9 3 ) は (9 3 ) と略されます。
注目すべき射影構成には、以下のようなものがある。
構成 ( p γ ℓ π ) の射影双対は、( ℓ π p γ ) 構成であり、そこでは「点」と「線」の役割が交換されます。したがって、構成のタイプは双対ペアで存在しますが、双対の結果が同型構成になる場合は例外です。これらの例外は自己双対構成と呼ばれ、そのような場合はp = ℓとなります。[ 5 ]
n = 7から始まるタイプ ( n 3 )の非同型構成の数は、次の数列で与えられる。
これらの数値は、実現可能性に関係なく、構成を抽象的な接続構造としてカウントします。[ 6 ] Gropp (1997)が論じている ように、10 個の (10 3 ) 構成のうち 9 個、および (11 3 ) と (12 3 ) 構成のすべてはユークリッド平面で実現可能ですが、n ≥ 16ごとに、少なくとも 1 つの実現不可能な ( n 3 ) 構成があります。Gropp はまた、このシーケンスにおける長年の誤りを指摘しています。1895 年の論文ですべての (12 3 ) 構成をリストアップしようと試み、228 個を発見しましたが、229 番目の構成である Gropp 構成は 1988 年まで発見されませんでした。
構成を構築するための手法はいくつかあり、一般的には既知の構成から出発します。これらの手法の中で最も単純なもののいくつかは、対称な（pγ）構成を構築するものです。
自己双対構成 ( p k ) の中には、巡回構成であり、頂点がゼロからインデックス付けされ、後続の行のインデックスがpを法として前方に巡回される {0,1,3} のような 1 つの「生成線」によって構築できるものがあります。これは、有効な場合、対称構成を生成することが保証されます。無効な生成線は、非連結構成を生成するか、任意の 2 点間に最大 1 つの線が必要であるという公理を破る可能性があります。[ 7 ]
構成 ( p 2 ) としてのすべての多角形は、生成線 { 0,1 }を持つ自明な循環構成です。三角形 (3 2 ) は線 {{ 0,1 }、{1,2}、{2,0}} を持ちます。
ファノ平面（7 3）は、最小の自己双対次数3の対称構成であり、生成線{ 0,1,3 }によって、線{{ 0,1,3 }、{1,2,4}、{2,3,5}、{3,4,6}、{4,5,0}、{5,6,1}、{6,0,2}}として定義できます。これらは構成表でも表すことができます。
最小の自己双対次数5の対称構成は（21 5）であり、これは巡回構成であり、線{ 0,3,4,9,11 }によって生成できます。[ 8 ]
位数nの任意の有限射影平面PG(2, n ) は、[( n 2 + n +1) n +1 ] 構成です。射影平面は素数のべき乗であるすべての位数nに対して存在することが知られているため、これらの構成は無限の対称構成の族を提供します。
n = q m ( qプライム)のPG(2, n )の自己同型写像は ( m !)( n 3 -1)( n 3 - n )( n 3 - n 2 )/( n -1) である。[ 9 ]
すべての対称構成が実現可能というわけではありません。具体的には、nはべき乗素数でなければなりません。例えば、PG(2,6) や (43 7 ) 構成は存在しません。[ 10 ]しかし、Gropp (1990)は、 k ≥ 3の場合、すべてのp ≥ 2 ℓ k + 1に対して( p k ) 構成が存在することを示す構成を提供しました。ここで、ℓ kは次数kの最適ゴロム定規の長さです。
構成の概念は、例えば空間内の点や線、平面など、より高次元に一般化することができます。 [ 11 ]このような場合、2つの点が複数の線に属することはないという制約は緩和される可能性があります。なぜなら、2つの点が複数の平面に属する可能性があるからです。
注目すべき3次元構成としては、互いに内接する2つの正四面体からなるメビウス構成、12個の点と12個の平面からなり、各平面に6個の点、各点に6個の平面を持つレイ構成、 27個の点からなる3×3×3のグリッドとそれらを通る27本の直交線からなるグレイ構成、そして30個の点、12本の線、各点に2本の線、各線に5個の点を持つシュレーフリのダブルシックス構成などがある。
点と擬似線によって実現される射影平面上の構成は、位相構成と呼ばれます。[ 2 ]例えば、点と線 (19 4 ) の構成は存在しないことが知られていますが、これらのパラメータを持つ位相構成は存在します。
構成の概念のもう1つの一般化は、点と円の構成に関するものであり、注目すべき例としては、(8 3 6 4 )ミケル構成が挙げられる。[ 2 ]
{{citation}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)。