双曲面の座標系

双曲平面では、ユークリッド平面と同様に、各点は 2 つの実数によって一意に識別できます。双曲幾何学では、平面を座標指定するために、質的に異なるいくつかの方法が使用されています。

この記事では、2 次元双曲面で使用されるいくつかの座標系の概要を説明します。

以下の説明では、平面の定数ガウス曲率は -1 です。Sinh 、cosh、tanhは双曲関数です。

極座標系は、平面上の各点が基準点からの距離と基準方向からの 角度によって決定される2 次元 座標系です。

基準点（直交座標系の原点に類似）は極と呼ばれ、基準方向における極からの光線は極軸と呼ばれます。極からの距離は放射座標または半径と呼ばれ、角度は角座標または極角と呼ばれます。

双曲余弦定理から、極座標で与えられた2点間の距離は

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle r_{1},\theta _{1}\rangle ,\langle r_{2},\theta _{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh r_{1}\cosh r_{2}-\sinh r_{1}\sinh r_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)\,.}$

を で微分すると次のようになります。 ${\displaystyle r=r_{1}=r_{2},\theta =\theta _{2}-\theta _{1}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {dist} (\langle r,\theta _{1} \rangle ,\langle r,\theta _{1}+\theta \rangle )\right|_{\theta =0}&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh ^{2}r-\sinh ^{2}r\cos(\theta ) \right)\right|_{\theta =0}\\&=\sinh(r)\end{aligned}}}$

対応する計量テンソルが得られる。${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} r)^{2}+\sinh ^{2}r\,(\mathrm {d} \theta )^{2 }\,.}$

直線は次の式で表される。

${\displaystyle \theta =\theta _{0}\pm {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ または }}\quad \tanh r=\tanh r_{0}\sec(\theta -\theta _{0})}$

ここで、r ₀と θ _{0 は、}極に最も近い線上の点の座標です。

ポアンカレ半平面モデルは、象限Q = {( x,y ): x > 0, y > 0}の双曲面モデルと密接に関連しています。そのような点では、幾何平均 と双曲角により、上半平面に点 ( u,v ) が生成されます。象限の双曲計量は、ポアンカレ半平面計量に依存します。ポアンカレモデルの動きはその象限に持ち越され、特に実軸の左または右へのシフトは、象限の双曲回転に対応します。物理学と経済学の比率の研究において象限が論議の対象領域であるため、その点は双曲座標によって配置されると言われています。 ${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle u=\ln {\sqrt {x/y}}}$

双曲幾何学では長方形は存在しません。双曲幾何学における四辺形の角度の合計は、常に 4直角未満です(ランベルト四辺形を参照)。また、双曲幾何学には等距離線はありません (ハイパーサイクルを参照)。これらすべてが座標系に影響を与えます。

ただし、双曲平面幾何学にはさまざまな座標系があります。すべては、選択された有向線 ( x軸) 上の実際の (非理想的な) 点 (原点) を選択することに基づいており、その後は多くの選択肢が存在します。

軸座標xa とya_は、原点を通るx軸に垂直なy軸を構築することによって求められます。 ^[1]

デカルト座標系と同様に、座標は点からx軸とy軸に垂線を下ろして求められます。x _{a は}x軸上の垂線の足から原点までの距離です(一方が正、もう一方が負とみなされます)。y _{a は}y軸上の垂線の足から原点まで の距離です。

すべての点とほとんどの理想的な点には軸座標がありますが、すべての実数のペアが点に対応するわけではありません。

その時は理想的なポイントです。 ${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})=1}$${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$

そうだとしたら、それは全く意味がありません。 ${\displaystyle \tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})>1}$${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$

点からx軸までの距離は です。点からy軸までの距離は です。 ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\right)}$${\displaystyle \operatorname {artanh} \left(\tanh(x_{a})\cosh(y_{a})\right)}$

軸座標と極座標の関係（原点が極であり、正のx軸が極軸であると仮定）は、

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {artanh} \,({\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}\,)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\tanh y}{\tanh x+{\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}}}\right)\,.}$

ロバチェフスキー座標x _ℓとy _{ℓ は}、 x軸に垂線を下ろして求められます。x _{ℓ は、} x軸に垂線を下ろした足から原点までの距離です（軸座標と同様に、片側が正でもう一方が負です）。^[1]

y _{ℓ は}、指定された点からその点の足までの垂線に沿った距離です (一方が正、もう一方が負)。

${\displaystyle x_{l}=x_{a}\ ,\ \tanh(y_{l})=\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\ ,\ \tanh(y_{a} )={\frac {\tanh(y_{l})}{\cosh(x_{l})}}}$。

^{ロバチェフスキー座標は、曲線の長さ[2]}や直線と曲線の間の面積の積分に役立ちます。^{[例が必要]}

ロバチェフスキー座標は、双曲幾何学の発見者の一人であるニコライ・ロバチェフスキーにちなんで名付けられました。

次のようにして、直交座標系を構築します。双曲面（標準化された曲率は -1）の直線（ x軸）を選択し、その直線上の点を、 x軸上の原点（ x =0）からの距離（片側が正、もう片側が負）でラベル付けします。平面上の任意の点について、x軸に垂線を落とすことで、座標xとyを定義できます。xは垂線の足のラベルになります。yは、指定された点の垂線に沿った足からの距離（片側が正、もう片側が負）になります。この場合、2 つの点間の距離は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$

この式は双曲三角形に関する式から導き出すことができます。

対応する計量テンソルは次のようになります。 ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2} }$

この座標系では、直線はx軸に垂直（方程式x = 定数）であるか、または次の形式の方程式で記述されます。

${\displaystyle \tanh y=A\cosh x+B\sinh x\quad {\text{ }}\quad A^{2}} のとき$

ここで、AとB は直線を特徴付ける実パラメータです。

ロバチェフスキー座標と極座標の関係（原点が極であり、正のx軸が極軸であると仮定）は、

${\displaystyle x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,(\sinhr\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {arcosh} \,(\cosh x\cosh y)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\sinh y}{\sinh x\cosh y+{\sqrt {\cosh ^{2}x\cosh ^{2}y-1}}}}\right)\,.}$

別の座標系では、各双曲点は、ある与えられたホロサイクルを基準として定義された 2 つの実数で表されます。これらの数値は、からホロサイクル までの双曲距離と、固定された参照点との間のホロサイクルに沿った（符号付き）弧の長さです。ここで、 はホロサイクル上で に最も近い点です。^[3]${\displaystyle P}$${\displaystyle x_{h}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y_{h}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P_{h}}$${\displaystyle P_{h}}$${\displaystyle P}$

モデルベースの座標系は、双曲幾何学のモデルの1 つを使用し、モデル内のユークリッド座標を双曲座標として取ります。

点のベルトラミ座標は、点が双曲面のベルトラミ-クラインモデルにマッピングされ、 x軸が線分(-1,0)-(1,0)にマッピングされ、原点が境界円の中心にマッピングされるときの点の直交座標です。^[1]

次の式が成り立ちます。

${\displaystyle x_{b}=\tanh(x_{a}),\ y_{b}=\tanh(y_{a})}$

点のポアンカレ座標は、点が双曲面のポアンカレ円板モデルにマッピングされたときの点の直交座標であり、 ^[1] x軸は線分(-1,0)-(1,0)にマッピングされ、原点は境界円の中心にマッピングされます。

ポアンカレ座標は、ベルトラミ座標で表すと次のようになります。

${\displaystyle x_{p}={\frac {x_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}}$

点のワイエルシュトラス座標は、点が双曲面の双曲面モデルにマッピングされ、 x軸が（半）双曲線 にマッピングされ、原点が点（0,0,1）にマッピングされるときの点の直交座標です。^[1]${\displaystyle (t\ ,\ 0\ ,\ {\sqrt {t^{2}+1}})}$

軸座標（ x _a、  y _a） の点Pは、

${\displaystyle \left({\frac {\tanh x_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {\tanh y_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\right)}$

ジャイロベクトル空間

ジャイロベクトル空間から#三角形の中心

三角形の中心の研究は​​伝統的にユークリッド幾何学に関するものであるが、三角形の中心は双曲幾何学でも研究することができる。ジャイロ三角法を使用すると、ユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方で同じ形式を持つ三角重心座標の式を計算することができる。式が一致するためには、式は角度の合計が180度であるという指定をカプセル化してはなりません。[ ^{4] [5] [6]}