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数学において、接続構造とは、2種類のオブジェクトと、それらのオブジェクト間の単一の関係からなる抽象的なシステムのことです。ユークリッド平面上の点と直線を2種類のオブジェクトとみなし、すべての点と直線について、どの点がどの直線に接続するかという関係以外の、この幾何学のすべての性質を無視します。残ったものが、ユークリッド平面の接続構造です。
入射構造は、平面（アフィン平面、射影平面、メビウス平面など）から抽象化され、したがって一般化される幾何学的文脈で考察されることが最も多いが、その概念は非常に広範であり、幾何学的設定に限定されるものではない。幾何学的設定においても、入射構造は点と線だけに限定されるものではなく、より高次元のオブジェクト（平面、立体、n次元空間、円錐曲線など）も使用できる。有限構造の研究は、有限幾何学と呼ばれることもある。[ 1 ]
関係構造は、( P、L、I )の三つ組で、Pは要素が点と呼ばれる集合、Lは要素が直線と呼ばれる別の集合、I ⊆ P × Lは関係 です。I の要素はフラグと呼ばれます。 ( p、l ) がIに含まれる場合、点pが直線l上に「ある」 、または直線lが点pを「通過する」と言うことができます。この関係の対称性を反映するより「対称的な」用語は、「pはlに隣接している」または「lはpに隣接している」であり、 p I lという表記は( p、l ) ∈ Iと同義です。[ 2 ]
一般的な状況では、L はPの部分集合の集合である場合があり、その場合、接続I は包含関係 ( p がlの要素である場合に限りp I l ) となります。この種の接続構造は集合論的と呼ばれます。[ 3 ]これは常に当てはまるわけではなく、たとえば、Pがベクトルの集合でL が正方行列の集合である場合、次のように定義できます。 この例は、点と線という幾何学的な言語が用いられているものの、オブジェクトの種類は必ずしもこれらの幾何学的オブジェクトである必要はないことも示している。
接合構造は、各線が同じ数の点と接合している場合に均一である。2番目の例を除いて、これらの例はすべて、各線が3つの点と接合する均一な接合構造である。
任意のグラフ（単純グラフである必要はなく、ループや多重辺があっても構いません）は、1つの線につき2つの点を持つ一様接続構造です。これらの例では、グラフの頂点が点集合を形成し、グラフの辺が線集合を形成します。接続とは、頂点が辺の端点であることを意味します。
接続構造は、その一般性を完全に研究することは稀であり、いくつかの追加公理を満たす接続構造を研究するのが一般的である。例えば、部分線形空間は、以下の条件を満たす接続構造である。
上記の最初の公理をより強い公理に置き換えると、次のようになります。
より具体的な例として、kネットが挙げられます。これは、線がk個の平行クラスに分類される接続構造です。同じ平行クラスに属する2本の線は共通点を持たず、異なるクラスに属する2本の線はちょうど1つの共通点を持ち、各点は各平行クラスの1本の線にのみ属します。kネットの例としては、アフィン平面上の点の集合と、k個の平行クラスのアフィン線が挙げられます。
「点」と「線」の役割を入れ替えると、 双対構造 を得る。 ここで、I ∗はIの逆関係である。定義から直ちに次のことが導かれる。
双対構造C ∗と同型な構造Cを自己双対構造と呼ぶ。上記のファノ平面は自己双対入射構造である。
連結構造の概念は非常に単純で、様々な分野で用いられており、それぞれ独自の用語が用いられ、これらの構造に関して一般的に問われる質問の種類が規定されている。連結構造は幾何学的な用語を用いるが、グラフ理論ではハイパーグラフ、組み合わせ設計理論ではブロック設計と呼ばれる。また、一般的には集合システムまたは集合族とも呼ばれる。
各ハイパーグラフまたは集合システムは、全体集合が「点」の役割を、対応する部分集合の族が「線」の役割を、そして接続関係が集合メンバーシップ「∈ 」の役割を果たす接続構造とみなすことができる。逆に、すべての接続構造は、線とそれに接続する点の集合を同一視することで、ハイパーグラフとして見ることができる。
（一般的な）ブロックデザインとは、集合Xと、Xの部分集合の族F（部分集合の重複は許容される）からなるものです。通常、ブロックデザインは数値的な正則性条件を満たすために必要です。接続構造として、Xは点の集合、Fは直線の集合であり、この文脈では通常ブロックと呼ばれます（重複するブロックには異なる名前が付けられる必要があるため、 Fは実際には集合であり、多重集合ではありません）。F のすべての部分集合のサイズが同じ場合、ブロックデザインは均一であると呼ばれます。X の各要素が同じ数の部分集合に現れる場合、ブロックデザインは正則であると言われます。均一デザインの双対は正則デザインであり、その逆もまた同様です。
ブロック設計／ハイパーグラフは以下のように表される。
この入射構造はファノ平面と呼ばれます。ブロック構造としては、均一かつ規則的です。
与えられたラベル付けでは、線は、nim加算を用いてラベルの合計がゼロになる3つの点からなる点のサブセットに正確に対応します。あるいは、各数値をバイナリで表記すると、バイナリ体上の長さ3の非ゼロベクトルと同一視できます。部分空間を生成する3つのベクトルは線を形成します。この場合、それはベクトルの合計がゼロベクトルであることと同等です。
連結構造は様々な方法で表現できる。集合PとLが有限集合であれば、これらの表現によって構造に関するすべての関連情報をコンパクトに符号化できる。
（有限）接続構造の接続行列は、行が点{p i }でインデックス付けされ、列が線{ l j }でインデックス付けされた(0,1) 行列であり、 ij番目の要素はp i I l jの場合に 1 、それ以外の場合は 0 です。[ a ]接続行列は、点と線の任意の順序に依存するため、一意に決定されません。[ 6 ]
上記の図（例2）に示す不均一な入射構造は、次のように表されます。
この構造における発生行列は次のとおりです。 これは発生率表に対応します。
入射構造Cに入射行列Mがある場合、双対構造C ∗ の入射行列は転置行列M Tであり、その行列によって定義されます。
点と線の順序付けが存在し、その順序付けで構築された接続行列が対称行列となる場合、接続構造は自己双対である 。
上記の例1で示したラベルと、 A、B、C、D、G、F、Eの順に並べられた点、およびl、p、n、s、r、m、qの順に並べられた線を用いると、ファノ平面の入射行列は次のようになる。 これは対称行列であるため、ファノ平面は自己双対入射構造となる。
入射図（入射構造の図）は、平面上の点を点で表し、点を線に対応させる視覚的な手段を用いて点を結ぶことによって構成されます。[ 6 ]点はどのような方法で配置しても構いません。点間の距離や点間の関係に制限はありません。入射構造では、点が他の2点の間にあるという概念はありません。線上の点の順序は定義されていません。これは、中間性の概念を持つ順序付き幾何学と比較してください。線の描写についても同様のことが言えます。特に、線は「直線セグメント」で描かれる必要はありません（上記の例1、3、4を参照）。グラフの図式表現と同様に、2つの「線」が点以外の場所で交差することは、入射構造の観点からは何の意味もありません。それは単なる表現上の偶然です。これらの発生率の数値は、グラフのように見える場合もあるが、発生率の構造がグラフでない限り、それらはグラフではない。
入射構造は、入射の通常の幾何学的意味を持つユークリッド平面上の点と曲線でモデル化できます。入射構造の中には、点と（直線）線で表現できるものもあります。表現できる構造は実現可能と呼ばれます。周囲空間が言及されていない場合は、ユークリッド平面が想定されます。ファノ平面（上記の例 1）は、少なくとも 1 つの曲線が必要なため、実現できません。メビウス-カントール構成（上記の例 4）は、ユークリッド平面では実現できませんが、複素平面では実現可能です。[ 7 ]一方、上記の例 2 と 5 は実現可能であり、そこに示されている入射図がそれを証明しています。シュタイニッツ（1894）[ 8 ]は、n 3構成（n個の点とn 本の線、各線に 3 つの点、各点を通る 3 つの線を持つ入射構造）は、実現可能であるか、表現に 1 つの曲線のみを使用する必要があることを示しました。[ 9 ]ファノ平面は一意であり ( 7 3 ) メビウス-カントール配置は一意である ( 8 3 ) 。
各接続構造C は、その構造のLevi グラフまたは接続グラフと呼ばれる二部グラフに対応します。任意の二部グラフは 2 色で彩色できるため、Levi グラフには黒と白の頂点彩色を与えることができ、黒い頂点は C の点に対応し、白い頂点はCの線に対応します。このグラフのエッジは、接続構造のフラグ (接続点/線ペア) に対応します。元の Levi グラフは、次数 2 の一般化四角形の接続グラフ(上記の例 3) でしたが、[ 10 ]この用語はHSM Coxeter [ 11 ]によって任意の接続構造の接続グラフを指すように拡張されました。 [ 12 ]
ファノ平面のレヴィグラフはヒーウッドグラフである。ヒーウッドグラフは連結かつ頂点推移的であるため、黒と白の頂点を入れ替える自己同型写像（例えば、ヒーウッドグラフの図における垂直軸に関する鏡映によって定義されるもの）が存在する。これは、ファノ平面が自己双対であることを意味する。
左側のメビウス・カントール配置のレヴィグラフ（上記の例4）の具体的な表現は、図の中心を中心としてπ /4回転（時計回りまたは反時計回り）すると、青と赤の頂点が入れ替わり、辺が辺に写像されることを示しています。つまり、このグラフには色交換自己同型写像が存在するということです。したがって、メビウス・カントール配置として知られる接続構造は自己双対です。
入射構造の概念を一般化して、2 種類以上のオブジェクトを含めることが可能です。k 種類のオブジェクトを持つ構造は、ランクk の入射構造またはランクkジオメトリと呼ばれます。[ 12 ]形式的には、これらはk + 1 個のタプルS = ( P 1 , P 2 , ..., P k , I )で定義され、 P i ∩ P j = ∅であり、
これらの構造に対するレヴィグラフは、各タイプに対応する頂点が同じ色で着色された多部グラフとして定義される。
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=\{1,2,3,4,5,6,7\},\\[2pt]L&=\left\{{\begin{array}{ll}\{1,2,3\},&\{1,4,5\},\\\{1,6,7\},&\{2,4,6\},\\\{2,5,7\},&\{3,4,7\},\\\{3,5,6\}\end{array}}\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70aeee4befaab31d3311386533d341765cff2eb4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&=\{A,B,C,D,E,P\}\\[2pt]L&=\left\{{\begin{array}{ll}l=\{C,P,E\},&m=\{P\},\\n=\{P,D\},&o=\{P,A\},\\p=\{A,B\},&q=\{P,B\}\end{array}}\right\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce04cba7be03271484e4f00649d3d08dab3e2ded)
