射影調和共役

2つの点が与えられた場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、 させて${\displaystyle M}$それらを中間点とすることができる。一般性を失うことなく、それらに接辞を付けることができる。${\displaystyle -1}$、${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle 0}$それぞれ複素平面上において。すると、任意の点に対して${\displaystyle C}$接辞付き${\displaystyle z}$調和共役は${\displaystyle C}$接辞を持つ${\displaystyle 1/z}$これを調和共役と呼ぶ${\displaystyle D}$次のような恒等式が得られます。

• マクローリン：$MC ⋅ MD = MA² = MB²$（複素数では単純にこうなります）${\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1^{2}=(-1)^{2}}$）
• ニュートン：${\displaystyle DB\cdot DA=DC\cdot DM}$（複素数では、${\displaystyle (z+1)(z-1)=(z-0)(z-{\frac {1}{z}})}$）

射影範囲上の4つの順序付けられた点は、平面内にテトラスティグムが 存在し、最初の点と3番目の点がコドットであり、他の2つの点が3番目のコドットのコネクタ上にある場合、調和点と呼ばれます。^{[ 6 ]}

p が調和点を持つ直線上にない点である場合、 pと調和点を結ぶ線は調和直線である。同様に、平面束の軸が調和点を持つ直線に対してねじれている場合、調和点上の平面は調和平面である。^{[ 6 ]}

このような関係にある4つの要素の集合は、調和四つ組と呼ばれている。^{[ 7 ]}

円錐曲線が円である場合、円の延長された直径上では、円に関する調和共役は円の逆になります。この事実は、スモゴルジェフスキーの定理の 1 つから導かれます。^{[ 8 ]}

円kと円 qが互いに直交している場合、 kの中心を通ってqと交わる直線は、 kに関して対称な点で交わります。 

つまり、線がkの延長さ​​れた直径である場合、 qとの交点は調和共役となる。

曲線として考える${\displaystyle C}$方程式で与えられる楕円

$\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

させて${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$楕円の外側の点であり、${\displaystyle L}$直線${\displaystyle P}$楕円と交わる点${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$。 させて${\displaystyle A}$座標を持っています${\displaystyle (\xi ,\eta )}$次にポイントを取ります${\displaystyle Q(x,y)}$の上${\displaystyle L}$そして、次のような楕円の内部${\displaystyle A}$線分を分割する${\displaystyle PQ}$比率において${\displaystyle 1}$に${\displaystyle \lambda }$つまり

${\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }$。

これらの方程式を解く代わりに${\displaystyle \xi }$そして${\displaystyle \eta }$ 代入によって以下の式が解であることを検証する方が簡単である。

${\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}$

その時点から${\displaystyle A}$楕円上にある${\displaystyle C}$1つは

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}$

または

${\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}$

この方程式は、${\displaystyle \lambda }$- はヨアヒムタール方程式と呼ばれます。その2つの根は${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$位置を決定する${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$に関連して${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$一緒に${\displaystyle \lambda _{1}}$と${\displaystyle A}$そして${\displaystyle \lambda _{2}}$と${\displaystyle B}$すると、さまざまな線分は次のように与えられます。

${\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}$

そして

${\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}$

したがって、

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}$

この表現が${\displaystyle -1}$、 我々は持っています

${\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}$

したがって${\displaystyle A}$分ける${\displaystyle PQ}$「内部的に」同じ割合で${\displaystyle B}$ 分ける${\displaystyle PQ}$「外部的に」。

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}$

値付き${\displaystyle -1}$（自己逆数となる）は調和交差比として知られています。${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}$上記のように、${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}$したがって係数${\displaystyle \lambda }$ヨアヒムタールの式では、すなわち

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}$

これは、点（極）の極線と呼ばれる直線の式です。${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$この極性は${\displaystyle P}$は、楕円への接線の接点弦です。${\displaystyle P}$. もし私たちが${\displaystyle P}$楕円上で（${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}$) 方程式は、${\displaystyle P}$また、楕円の準線が焦点の極線であることも示すことができる。