クラインの二次関数

数学では、 3 次元射影空間Sの直線は​​、 5 次元射影空間Tの点として考えることができます。 この 5 次元空間では、 Sの各直線を表す点は、クラインの二次曲面と呼ばれる二次曲面Q上にあります。

Sの基底ベクトル空間が 4 次元ベクトル空間 Vである場合、T は基底ベクトル空間としてVの 6 次元外正方形Λ ² Vを持ちます。このようにして得られた線座標はプルッカー座標として知られています。

これらのプリュッカー座標は二次関係を満たす。

${\displaystyle p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0}$

Q を定義すると、

${\displaystyle p_{ij}=u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i}}$

2つのベクトルuと vによって張られる線の座標です。

3次元空間Sは、二次曲面Qから再び再構築できます。 Qに含まれる平面は、 2つの同値類に分類されます。同じ類の平面は点で交わり、異なる類の平面は線または空集合で交わります。これらの類をCとC ′ とします。Sの幾何学は次のようにして取得されます。

1. Sの点はCの平面です。
2. Sの線はQの点です。
3. Sの平面はC ′の平面です。

SとQの幾何学が同型であるという事実は、ディンキン図A ₃とD ₃の同型性によって説明できます。

• Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications、169 ページ、Cambridge University Press ISBN  978-0-521-48277-6
• アーサー・ケイリー(1873)「5次元空間における2次曲面の上線について」数学論文集9:79–83。
• Felix Klein (1870) 「Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades」、Mathematische Annalen 2: 198
• Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry 、第1巻、S ₅における線座標の点座標としての解釈、331 ページ、Ginn and Company。
• ワード、リチャード・サミュエル;ウェルズ、レイモンド・オニール・ジュニア(1991)、ツイスター幾何学と場の理論、ケンブリッジ大学出版局、Bibcode :1991tgft.book.....W、ISBN 978-0-521-42268-0。