数学における群の種類
数学 において 、 古典群は 、実数、複素数、 四元数上の 特殊線型群 、および実数、複素数 、 四元数 の有限次元ベクトル空間上で定義される対称または歪対称双線型形式とエルミートまたは歪エルミート半線型形式の特殊 [1] 自己同型群として定義されます。 [ 2 ] これら の うち 、 複素 古典 リー 群 は 、 例外 群 とともに 単純 リー 群 の 分類をすべて網羅する 4 つの無限族の リー群 です。 コンパクト古典群は、 複素古典群の コンパクト実形式 です。古典群の有限類似体は 、リー型 の 古典 群です。「古典群」という用語は、 ヘルマン・ワイルによって造られ、1939 年の彼のモノグラフ 「古典群」 のタイトルになりました 。 [3]
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
古典群は、線型リー群という主題の最も奥深く、最も有用な部分を形成します。 [4] ほとんどの種類の古典群は、古典物理学と現代物理学に応用されています。いくつかの例を以下に示します。 回転群 SO(3)は、 ユークリッド空間 とすべての基本物理法則 の対称性であり、 ローレンツ群 O(3,1)は、 特殊相対性理論 の 時空 の対称群です 。 特殊ユニタリー群 SU(3)は、 量子色力学 の対称群であり 、 シンプレクティック群 Sp( m )は 、ハミルトン力学 と その
量子力学的 バージョンに応用されています。
古典グループ 古典群は 、 上 の 一般線型群 と、 以下で説明する非退化形式の自己同型群とを 正確に合わせたものである。 [5]これらの群は通常、その中心が離散的になるように、要素が 行列式 1を持つ部分群にさらに制限される 。行列式 1 条件を持つ古典群は、以下の表にリストされている。以降の表では、一般性を高めるために、行列式 1 条件は一貫して使用されてい ない 。
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
複素 古典群は SL( n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、 SO( n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、 Sp( n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
である 。群が複素群であるかどうかは、そのリー代数が複素数であるかどうかによって決まる。任意のリー代数は実代数であるため、 実古典群は すべての古典群を指す。 コンパクト古典群は、複素古典群の コンパクト実形式 である 。これらは、順に SU( n ) 、 SO( n ) 、 Sp( n ) である。コンパクト実形式の特徴付けの 1 つは、リー代数 g によるものである。 g = u + i u 、つまり u の 複素化 であり、 {exp( X ): X ∈ u }によって生成される連結群 K がコンパクトである場合、 K は コンパクト実形式である。 [6]
古典群は、実数形式を 使用して異なる方法で一様に特徴付けることができます 。古典群（ここでは行列式 1 の条件がありますが、これは必須ではありません）は次のとおりです。
複素線型 代数群 SL( n , )、SO( n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、 Sp( n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
とその 実数形式 。 [7] たとえば、 SO ∗ (2 n )は SO(2 n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
の実数形式 、 SU( p , q )は SL( n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
の実数形式 、 SL( n , )は
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
SL(2 n , )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
の実数形式です 。行列式 1 の条件がない場合、特性記述で特殊線型群を対応する一般線型群に置き換えます。問題の代数群はリー群ですが、「実数形式」の正しい概念を得るには「代数的」修飾子が必要です。
古典群は、 R n 、 C n 、および H n 上で定義された形式で定義されます 。ここで、 R と C は 、実数 と 複素数 の 体 です 。 四元数 H は 、乗法が可換ではないため、体を構成しません。四元数は、 除算環 、 スキュー体 、または 非可換体を 形成します。ただし、行列四元数群を定義することは可能です。このため、ベクトル空間 V は、以下の H だけでなく、 R 、 C 上でも定義できます。 H の場合 、 V は右 ベクトル空間であり、 R と C の場合と同様に、 左 からの行列乗算として群作用を表現できるようにします 。 [8]
F = R 、 C 、または H 上の有限次元右ベクトル空間上の 形式 φ : V × V → F が双線型 である とは、
φ
(
x
α
,
y
β
)
=
α
φ
(
x
,
y
)
β
,
∀
x
,
y
∈
V
,
∀
α
,
β
∈
F
.
{\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}
そしてもし
φ
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
=
φ
(
x
1
,
y
1
)
+
φ
(
x
1
,
y
2
)
+
φ
(
x
2
,
y
1
)
+
φ
(
x
2
,
y
2
)
,
∀
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
∈
V
.
{\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}
セスクイリニア と呼ばれる のは
φ
(
x
α
,
y
β
)
=
α
¯
φ
(
x
,
y
)
β
,
∀
x
,
y
∈
V
,
∀
α
,
β
∈
F
.
{\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}
そしてもし
φ
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
=
φ
(
x
1
,
y
1
)
+
φ
(
x
1
,
y
2
)
+
φ
(
x
2
,
y
1
)
+
φ
(
x
2
,
y
2
)
,
∀
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
∈
V
.
{\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}
これらの慣例が選ばれたのは、考慮されるすべてのケースで機能するからである。φ の 自己同型は、 V 上 の線型作用素の集合における 写像 Α であって、
φ のすべての自己同型集合は 群を形成し、それは φ の自己同型群と呼ばれ、 Aut( φ ) と表記される。これにより、古典群の予備的な定義が導かれる。
古典群は、 R 、 C 、または H 上の有限次元ベクトル空間上で双線型またはセスクイ線型形式を保存する群です 。 この定義には冗長性が ある 。F = R の場合、双線型はセスクイリニアと同値である。F = H の場合 、非ゼロの双線型形式は存在しない。 [9]
対称 形 とは、
φ
(
x
,
y
)
=
φ
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}
歪対称で ある のは、
φ
(
x
,
y
)
=
−
φ
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}
エルミートで あるの は
φ
(
x
,
y
)
=
φ
(
y
,
x
)
¯
{\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}
最後に、 歪エルミート であるのは、
φ
(
x
,
y
)
=
−
φ
(
y
,
x
)
¯
.
{\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}
双線型形式 φ は 、対称形式と歪対称形式の和として一意に表されます。φ を保存する変換は、 両方 の部分を別々に保存します。したがって、対称形式と歪対称形式を保存するグループは別々に研究できます。同じことが、必要な変更を加えた上で、エルミート形式と歪エルミート形式にも適用されます。このため、分類の目的では、純粋に対称、歪対称、エルミート、歪エルミート形式のみが考慮されます。形式の 正規形は、 特定の適切な基底の選択に対応します。これらは、座標で次の正規形を与える基底です。
Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:
φ
(
x
,
y
)
=
±
ξ
1
η
1
±
ξ
2
η
2
±
⋯
±
ξ
n
η
n
,
(
R
)
Bilinear symmetric form in orthonormal basis:
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
η
1
+
ξ
2
η
2
+
⋯
+
ξ
n
η
n
,
(
C
)
Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
η
m
+
1
+
ξ
2
η
m
+
2
+
⋯
+
ξ
m
η
2
m
=
n
−
ξ
m
+
1
η
1
−
ξ
m
+
2
η
2
−
⋯
−
ξ
2
m
=
n
η
m
,
(
R
,
C
)
Sesquilinear Hermitian:
φ
(
x
,
y
)
=
±
ξ
1
¯
η
1
±
ξ
2
¯
η
2
±
⋯
±
ξ
n
¯
η
n
,
(
C
,
H
)
Sesquilinear skew-Hermitian:
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
¯
j
η
1
+
ξ
2
¯
j
η
2
+
⋯
+
ξ
n
¯
j
η
n
,
(
H
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}}
歪エルミート形式の j は、 H の基底 ( 1 , i , j , k ) の 3 番目の基底要素です。これらの基底の存在の証明と シルベスターの慣性法則 、対称形式とエルミート形式におけるプラスとマイナスの符号の数 p と q の独立性、および各式における体の有無については、Rossmann (2002) または Goodman & Wallach (2009) で確認できます。ペア ( p , q ) 、場合によっては p − q は 、形式の
シグネチャ と呼ばれます。
R 、 C 、 H 体の発生の説明: H 上には非自明な双線型形式は存在しません 。対称双線型の場合、 R 上の形式のみが符号を持ちます。言い換えると、「符号」 ( p 、 q )を持つ複素双線型形式は、基底の変更によって、上記の式のすべての符号が「 + 」となる形式に簡約できます が、実数の場合は、この形式にすると p − q が 基底に依存しないため、これは不可能です。ただし、エルミート形式は、複素数の場合と四元数の場合の両方で、基底に依存しない符号を持ちます (実数の場合は対称の場合に簡約されます)。複素ベクトル空間上の歪エルミート形式は、 i を乗算することでエルミートになるため、この場合は H のみが対象となります。
自己同型群 ヘルマン・ワイル、 『古典群』 の著者 。ワイルは古典群の表現論に多大な貢献をした。 最初のセクションでは、一般的な枠組みを示します。他のセクションでは、 R 、 C 、 H 上の有限次元ベクトル空間上の双線型形式とセスクイ線型形式の自己同型群として生じる質的に異なるケースを網羅します 。
オート( φ ) – 自己同型群 φが R 、 C 、 H 上の 有限次元ベクトル空間 V 上の非退化 形式である と仮定する 。自己同型群は条件（ 1 ）に基づいて次のように定義される。
A
u
t
(
φ
)
=
{
A
∈
G
L
(
V
)
:
φ
(
A
x
,
A
y
)
=
φ
(
x
,
y
)
,
∀
x
,
y
∈
V
}
.
{\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}
あらゆる A ∈ M n ( V )には、 φ に関して次式 で定義される
随伴 A φ が存在する。
この定義を条件（ １ ）に適用すると、自己同型群は次のように与えられることがわかる。
V の基底を固定する 。この基底に関して、
φ
(
x
,
y
)
=
∑
ξ
i
φ
i
j
η
j
{\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}
ここで、 ξ i 、η j は x 、 y の成分である 。これは双線型形式に適している。セスクイリニア形式も同様の表現を持ち、後で別々に扱われる。行列表記では、
φ
(
x
,
y
)
=
x
T
Φ
y
{\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}
そして
（ ２ ）より、 Φは 行列 （ φ ij ） である。非退化条件は、 Φ が逆行列であること、したがって随伴行列が常に存在することを意味する。 これを用いて表される
Aut( φ )は、
Aut
(
φ
)
=
{
A
∈
GL
(
V
)
:
Φ
−
1
A
T
Φ
A
=
1
}
.
{\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.}
自己同型群のリー代数 aut ( φ ) はすぐに書き表すことができます。抽象的には、 X ∈ aut ( φ ) であるのは、
(
e
t
X
)
φ
e
t
X
=
1
{\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}
全てのt に対して、リー代数の 指数写像の下での（ ３ ） の条件に対応し 、
a
u
t
(
φ
)
=
{
X
∈
M
n
(
V
)
:
X
φ
=
−
X
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},}
または基礎として
これは指数写像の べき級数 展開と関係する演算の線形性からわかる。逆に、X∈aut(φ)と仮定する 。 すると 、 上記 の 結果 を用いると、 φ ( Xx , y )=φ( x , Xφy )=−φ( x , Xy )となる。したがって、リー代数 は 基底や随伴関数を参照せずに次のように特徴付けることができる
。
a
u
t
(
φ
)
=
{
X
∈
M
n
(
V
)
:
φ
(
X
x
,
y
)
=
−
φ
(
x
,
X
y
)
,
∀
x
,
y
∈
V
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}
φ の正規形は、 以下の各古典群に対して与えられる。その正規形から、行列 Φは 直接読み取ることができる。したがって、随伴代数とリー代数の表現は、式( 4 )と( 5 )を使用して得ることができる。これは、ほとんどの非自明なケースで以下に示される。
双線形ケース 形式が対称な場合、 Aut( φ )は O( φ ) と呼ばれます 。歪対称な場合、 Aut( φ )は Sp( φ ) と呼ばれます 。これは実数と複素数の場合に当てはまります。四元数の場合は空です。四元数ベクトル空間には非零双線型形式は存在しないからです。 [12]
実際の事例 実際のケースは対称形式と反対称形式の 2 つのケースに分かれており、それぞれを別々に扱う必要があります。
O( p 、 q ) と O( ん ) – 直交群 φ が対称でベクトル空間が実数の場合 、基底は次のように選ばれる。
φ
(
x
,
y
)
=
±
ξ
1
η
1
±
ξ
2
η
2
⋯
±
ξ
n
η
n
.
{\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}
プラスとマイナスの符号の数は特定の基底に依存しない。 [13] V = R n の場合、 O( φ ) = O( p , q ) と書く。 ここで p はプラス符号の数、 q は マイナス符号の数で、 p + q = n で ある。q = 0 の場合、表記は O( n ) である。この場合、
行列 Φ は
Φ
=
(
I
p
0
0
−
I
q
)
≡
I
p
,
q
{\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}
必要に応じて基底を並べ替えた後、随伴演算（ 4 ）は次のようになる。
A
φ
=
(
I
p
0
0
−
I
q
)
(
A
11
⋯
⋯
A
n
n
)
T
(
I
p
0
0
−
I
q
)
,
{\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}
これはp または q が0のとき通常の転置に簡約される。 リー代数は式( 5 )と適切な仮定(これは Sp( m , R ) の場合について 以下に詳述する)を使って求められる。
o
(
p
,
q
)
=
{
(
X
p
×
p
Y
p
×
q
Y
T
W
q
×
q
)
|
X
T
=
−
X
,
W
T
=
−
W
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}
そして（ ３ ）による群は 次のように与えられる。
O
(
p
,
q
)
=
{
g
∈
G
L
(
n
,
R
)
|
I
p
,
q
−
1
g
T
I
p
,
q
g
=
I
}
.
{\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}
群 O( p , q ) と O( q , p ) は写像を通して同型である。
O
(
p
,
q
)
→
O
(
q
,
p
)
,
g
→
σ
g
σ
−
1
,
σ
=
[
0
0
⋯
1
⋮
⋮
⋱
⋮
0
1
⋯
0
1
0
⋯
0
]
.
{\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}
例えば、ローレンツ群のリー代数は次のように書ける。
o
(
3
,
1
)
=
s
p
a
n
{
(
0
1
0
0
−
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
,
(
0
0
−
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
,
(
0
0
0
0
0
0
1
0
0
−
1
0
0
0
0
0
0
)
,
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
)
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}
当然、 q ブロックが左上（または他のブロック）になるように並べ替えることもできます 。ここで、「時間コンポーネント」は、物理的な解釈では 4 番目の座標となり、より一般的な最初の座標にはなりません。
スピー( メートル , R) – 実シンプレクティック群 φ が歪対称でベクトル空間が実数ならば 、基底が存在し、
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
η
m
+
1
+
ξ
2
η
m
+
2
⋯
+
ξ
m
η
2
m
=
n
−
ξ
m
+
1
η
1
−
ξ
m
+
2
η
2
⋯
−
ξ
2
m
=
n
η
m
,
{\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}
ここで n = 2 m である。Aut ( φ ) の場合、 Sp( φ ) = Sp( V ) と書き、 V = R n = R 2 m の場合は、 Sp( m , R ) または Sp(2 m , R ) と書きます 。通常の形式から、
Φ
=
(
0
m
I
m
−
I
m
0
m
)
=
J
m
.
{\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}
仮説を立てることで
V
=
(
X
Y
Z
W
)
,
{\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}
ここで、 X 、 Y 、 Z 、 Wは m 次元行列 であり、( 5 )を考慮すると、
(
0
m
−
I
m
I
m
0
m
)
(
X
Y
Z
W
)
T
(
0
m
I
m
−
I
m
0
m
)
=
−
(
X
Y
Z
W
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}
Sp( m , R ) のリー代数を求めると 、
s
p
(
m
,
R
)
=
{
X
∈
M
n
(
R
)
:
J
m
X
+
X
T
J
m
=
0
}
=
{
(
X
Y
Z
−
X
T
)
|
Y
T
=
Y
,
Z
T
=
Z
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}
そしてその群は次のように与えられる。
S
p
(
m
,
R
)
=
{
g
∈
M
n
(
R
)
|
g
T
J
m
g
=
J
m
}
.
{\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}
複雑なケース 実際の場合と同様に、対称の場合と反対称の場合の 2 つのケースがあり、それぞれが古典群の族を生み出します。
O( ん , C) – 複素直交群 φ が対称でベクトル空間が複素数の場合 、基底
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
η
1
+
ξ
1
η
1
⋯
+
ξ
n
η
n
{\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}
プラス記号のみのものは使用できる。自己同型群は、 V = C n の場合にO(n, C ) と呼ばれる。リー代数は、 o ( p , q ) の場合の単なる特別な場合である 。
o
(
n
,
C
)
=
s
o
(
n
,
C
)
=
{
X
|
X
T
=
−
X
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}
そしてその群は次のように与えられる。
O
(
n
,
C
)
=
{
g
|
g
T
g
=
I
n
}
.
{\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}
単純リー代数の分類 では 、 so ( n ) は、 n が奇数でルート系が B n の クラス と n が偶数でルート系が D n の クラス の 2 つに分けられます 。
スピー( メートル , C) – 複素シンプレクティック群 φが 対称でベクトル空間複素数
の場合、同じ式で、
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
η
m
+
1
+
ξ
2
η
m
+
2
⋯
+
ξ
m
η
2
m
=
n
−
ξ
m
+
1
η
1
−
ξ
m
+
2
η
2
⋯
−
ξ
2
m
=
n
η
m
,
{\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}
は実際のケースと同様に適用される。Aut ( φ )の場合、 Sp( φ ) = Sp( V ) と書く 。その場合、 Sp( m , ) または Sp(2 m , ) と書く 。リー代数は sp ( m , ) のリー代数と平行しており、
V
=
C
n
=
C
2
m
{\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
s
p
(
m
,
C
)
=
{
X
∈
M
n
(
C
)
:
J
m
X
+
X
T
J
m
=
0
}
=
{
(
X
Y
Z
−
X
T
)
|
Y
T
=
Y
,
Z
T
=
Z
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}
そしてその群は次のように与えられる。
S
p
(
m
,
C
)
=
{
g
∈
M
n
(
C
)
|
g
T
J
m
g
=
J
m
}
.
{\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}
セスクイリニアケース セスクイリニアの場合、基底の観点から形式に対して若干異なるアプローチをとる。
φ
(
x
,
y
)
=
∑
ξ
¯
i
φ
i
j
η
j
.
{\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}
修正される他の表現は
φ
(
x
,
y
)
=
x
∗
Φ
y
,
A
φ
=
Φ
−
1
A
∗
Φ
,
{\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}
[14]
Aut
(
φ
)
=
{
A
∈
GL
(
V
)
:
Φ
−
1
A
∗
Φ
A
=
1
}
,
{\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}
もちろん、実際のケースでは何も新しいことは起こりません。複素数と四元数の場合については、以下で検討します。
複雑なケース 定性的な観点からは、歪エルミート形式（同型性を除く）を考慮しても新しいグループは得られません。i による乗算により 歪 エルミート形式はエルミートになり、逆もまた同様です。したがって、エルミートの場合のみを考慮する必要があります。
あなた( p 、 q ) と U( ん ） – ユニタリ群 非退化エルミート形式は通常形式を持つ
φ
(
x
,
y
)
=
±
ξ
1
¯
η
1
±
ξ
2
¯
η
2
⋯
±
ξ
n
¯
η
n
.
{\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}
双線型の場合と同様に、シグネチャ ( p , q ) は基底に依存しません。自己同型群は U( V ) 、または V = C n の場合は U ( p , q )と表記されます 。q = 0 の場合は U( n ) と表記されます 。この場合、 Φ は 次の形式になります。
Φ
=
(
1
p
0
0
−
1
q
)
=
I
p
,
q
,
{\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}
そしてリー代数は次のように与えられる。
u
(
p
,
q
)
=
{
(
X
p
×
p
Z
p
×
q
Z
p
×
q
¯
T
Y
q
×
q
)
|
X
¯
T
=
−
X
,
Y
¯
T
=
−
Y
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}
このグループは次のように与えられる。
U
(
p
,
q
)
=
{
g
|
I
p
,
q
−
1
g
∗
I
p
,
q
g
=
I
}
.
{\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}
ここで、g は一般的な nxn 複素行列であり、 g の共役転置として定義され、物理学者はこれを と呼びます 。
g
∗
{\displaystyle g^{*}}
g
†
{\displaystyle g^{\dagger }}
比較として、ユニタリ行列U(n)は次のように定義される。
U
(
n
)
=
{
g
|
g
∗
g
=
I
}
.
{\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}
同じである ことに注目してください
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n)}
U
(
n
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}
四元数の場合 空間 H n は 、 H 上の 右 ベクトル空間とみなされます 。このように、 四元数 h 、四元数列ベクトル v 、四元数行列 Aに対して、 A ( vh ) = ( Av ) h です。 H n がH 上の左 ベクトル空間 である場合、線型性を維持するために、行ベクトルの 右 からの行列乗算が 必要になります。これは、基底が与えられている場合のベクトル空間上のグループの通常の線型演算、つまり列ベクトルの 左 からの行列乗算には対応しません。したがって、これ以降、 V は H 上の右ベクトル空間になります。それでも、 H の非可換性のために注意が必要です 。複素表現が使用されるため、（ほとんど明らかな）詳細は省略します。
四元数群を扱う場合、複素2×2行列を 使って四元数を表すと便利である 。
この表現では、四元数の乗算は行列の乗算になり、四元数の共役はエルミート随伴を取ることになります。さらに、複素符号化 q = x + j y による四元数が列ベクトル ( x , y ) T として与えられた場合、四元数の行列表現による左からの乗算により、正しい四元数を表す新しい列ベクトルが生成されます。この表現は、四元数の 記事にあるより一般的な表現とは少し異なります 。より一般的な規則では、同じことを実現するために行行列の右からの乗算が強制されます。
ちなみに、上記の表現から、 単位四元数群（ αα +ββ = 1=detQ ） がSU(2) と同型であることが明らかです 。
四元数 n × n 行列は、明らかな拡張により、 複素数の2n×2nブロック行列で表すことができます。 [16] 四元数n × 1 列 ベクトル を、上記のエンコーディングに従って複素数を持つ2n×1列ベクトルで表すことに合意した場合 、 上位 n が αi 、 下位 n が βi となり 、 四元 数 n × n 行列 は 、αとβn×n行列を含む、上記とまったく同じ形式の複素数 2n × 2n 行列 に なり ます 。 より 正式には
行列 T∈GL (2n , C ) が( 8 )に示す形を持つの は、JnT=TJn の とき のみ で ある。これら の 識別により、
H
n
≈
C
2
n
,
M
n
(
H
)
≈
{
T
∈
M
2
n
(
C
)
|
J
n
T
=
T
¯
J
n
,
J
n
=
(
0
I
n
−
I
n
0
)
}
.
{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}
空間 M n ( H ) ⊂ M 2 n ( C ) は実代数ですが、 M 2 n ( C ) の複素部分空間ではありません。要素ごとの四元数乗算を使用して M n ( H ) の iを（左から）乗算し、次に M 2 n ( C ) の像にマッピングすると、 M 2 n ( C ) で直接 i を 要素ごとに乗算する場合とは異なる結果が得られます 。四元数乗算規則では、 i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) となり、新しい X と Y は 括弧内になります。
四元数行列の四元数ベクトルへの作用は複素数で表現されますが、それ以外は「通常の」行列やベクトルの場合と同じです。四元数グループは M 2 n ( C ) に埋め込まれます。ここで n は 四元数行列の次元です。
この表現では、四元数行列の行列式は、その代表行列の通常の複素行列式として定義されます。四元数乗算の非可換性は、行列の四元数表現ではあいまいになります。M n ( H ) が M 2 n ( C ) に 埋め込ま れる 方法 は 一意 ではありませんが、そのような埋め込みはすべて、 A ∈ O(2 n , C ) に対して g ↦ AgA −1 、 g ∈ GL (2 n , C ) を介して関連しており、行列式は影響を受けません。 [17] この複素形式での SL( n , H ) の名前は SU ∗ (2 n ) です。
C の場合とは対照的に 、エルミートの場合も歪エルミートの場合も、 H を考慮すると何か新しいものが導入されるため、これらのケースは別々に検討されます。
GL( ん , H) および SL( ん 、H) 上記の識別に基づき、
G
L
(
n
,
H
)
=
{
g
∈
G
L
(
2
n
,
C
)
|
J
g
=
g
¯
J
,
d
e
t
g
≠
0
}
≡
U
∗
(
2
n
)
.
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}
その リー代数 gl ( n , H )は 、 上記 の
写像 Mn ( H )↔M2n ( C ) の 像にあるすべての行列の集合である。
g
l
(
n
,
H
)
=
{
(
X
−
Y
¯
Y
X
¯
)
|
X
,
Y
∈
g
l
(
n
,
C
)
}
≡
u
∗
(
2
n
)
.
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}
四元数特殊線型群は次のように与えられる。
S
L
(
n
,
H
)
=
{
g
∈
G
L
(
n
,
H
)
|
d
e
t
g
=
1
}
≡
S
U
∗
(
2
n
)
,
{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}
ここで、行列式はC 2 n の行列上にとられる。あるいは、これを デュドネ行列式 の核として定義することもできる 。リー代数は
G
L
(
n
,
H
)
→
H
∗
/
[
H
∗
,
H
∗
]
≃
R
>
0
∗
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}
s
l
(
n
,
H
)
=
{
(
X
−
Y
¯
Y
X
¯
)
|
R
e
(
Tr
X
)
=
0
}
≡
s
u
∗
(
2
n
)
.
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}
スピー( p 、 q ） – 四元数ユニタリ群 複素数の場合と同様に、正規形は
φ
(
x
,
y
)
=
±
ξ
1
¯
η
1
±
ξ
2
¯
η
2
⋯
±
ξ
n
¯
η
n
{\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}
プラス記号の数は基底に依存しない。 この形式で V = H n のとき、 Sp( φ ) = Sp( p , q ) 。この表記の理由は、上記の規定を使用して、署名 (2 p , 2 q ) [18] の複素エルミート形式を保存する Sp( n , C )の部分群としてグループを表すことができるためである 。p または q = 0 の場合、 グループは U( n , H )と表記されます。これは ハイパーユニタリー群 と呼ばれることもあります 。
四元数表記では、
Φ
=
(
I
p
0
0
−
I
q
)
=
I
p
,
q
{\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}}
つまり、次の 形式の
四元数行列は
満足する
Φ
−
1
Q
∗
Φ
=
−
Q
,
{\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}
u ( p , q ) のセクションを参照してください 。四元数行列の乗算を扱う際には注意が必要ですが、ここでは I と - I のみが関係しており、これらはすべての四元数行列と交換可能です。ここで、 各ブロックに
処方箋 ( 8 ) を適用します。
X
=
(
X
1
(
p
×
p
)
−
X
¯
2
X
2
X
¯
1
)
,
Y
=
(
Y
1
(
q
×
q
)
−
Y
¯
2
Y
2
Y
¯
1
)
,
Z
=
(
Z
1
(
p
×
q
)
−
Z
¯
2
Z
2
Z
¯
1
)
,
{\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},}
そして（ ９ ）の関係 は、
X
1
∗
=
−
X
1
,
Y
1
∗
=
−
Y
1
.
{\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}
リー代数は
s
p
(
p
,
q
)
=
{
(
[
X
1
(
p
×
p
)
−
X
¯
2
X
2
X
¯
1
]
[
Z
1
(
p
×
q
)
−
Z
¯
2
Z
2
Z
¯
1
]
[
Z
1
(
p
×
q
)
−
Z
¯
2
Z
2
Z
¯
1
]
∗
[
Y
1
(
q
×
q
)
−
Y
¯
2
Y
2
Y
¯
1
]
)
|
X
1
∗
=
−
X
1
,
Y
1
∗
=
−
Y
1
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}
このグループは次のように与えられる。
S
p
(
p
,
q
)
=
{
g
∈
G
L
(
n
,
H
)
∣
I
p
,
q
−
1
g
∗
I
p
,
q
g
=
I
p
+
q
}
=
{
g
∈
G
L
(
2
n
,
C
)
∣
K
p
,
q
−
1
g
∗
K
p
,
q
g
=
I
2
(
p
+
q
)
,
K
=
diag
(
I
p
,
q
,
I
p
,
q
)
}
.
{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.}
Sp( p , q ) の φ ( w , z ) の通常の形に戻り、 u, v, x, y ∈ C n で w → u + jv および z → x + jy と置き換えます 。すると
φ
(
w
,
z
)
=
[
u
∗
v
∗
]
K
p
,
q
[
x
y
]
+
j
[
u
−
v
]
K
p
,
q
[
y
x
]
=
φ
1
(
w
,
z
)
+
j
φ
2
(
w
,
z
)
,
K
p
,
q
=
d
i
a
g
(
I
p
,
q
,
I
p
,
q
)
{\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)}
C 2 n 上のH 値形式 として見ることができる 。 [19] したがって、 C 2 n の線形変換として見た場合、 Sp( p , q )の要素は、署名 (2 p , 2 q ) のエルミート形式と非退化の歪対称形式の両方を保存します。両方の形式は純粋に複素数値を取り、2番目の形式の j の因子により 、それらは別々に保存されます。これは、
S
p
(
p
,
q
)
=
U
(
C
2
n
,
φ
1
)
∩
S
p
(
C
2
n
,
φ
2
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)}
これはグループの名前と表記法の両方を説明します。
お ∗ （2 ん ) = O( ん , H)- 四元数直交群 歪エルミート形式の正規形は次のように与えられる。
φ
(
x
,
y
)
=
ξ
1
¯
j
η
1
+
ξ
2
¯
j
η
2
⋯
+
ξ
n
¯
j
η
n
,
{\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}
ここで、 jは 順序付けられたリスト ( 1 , i , j , k ) の3番目の基底四元数である。この場合、 Aut( φ ) = O ∗ (2 n ) は、上記の複素行列符号化を使用して、署名 ( n , n ) の非退化複素スキューエルミート形式を保存する O(2 n , C ) のサブグループとして実現できる。 [20] 通常の形式から、四元数表記では
Φ
=
(
j
0
⋯
0
0
j
⋯
⋮
⋮
⋱
0
⋯
0
j
)
≡
j
n
{\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}
そして（ ６ ）から次のことが導かれる。
V ∈ o (2 n ) の場合 。ここで
V
=
X
+
j
Y
↔
(
X
−
Y
¯
Y
X
¯
)
{\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}
処方箋（ ８ ）に従って 。同じ処方箋は Φ に対しても成り立ち、
Φ
↔
(
0
−
I
n
I
n
0
)
≡
J
n
.
{\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}
（ ９ ）の最後の条件を 複素表記で表すと、
(
X
−
Y
¯
Y
X
¯
)
∗
=
(
0
−
I
n
I
n
0
)
(
X
−
Y
¯
Y
X
¯
)
(
0
−
I
n
I
n
0
)
⇔
X
T
=
−
X
,
Y
¯
T
=
Y
.
{\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}
リー代数は
o
∗
(
2
n
)
=
{
(
X
−
Y
¯
Y
X
¯
)
|
X
T
=
−
X
,
Y
¯
T
=
Y
}
,
{\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}
そしてその群は次のように与えられる。
O
∗
(
2
n
)
=
{
g
∈
G
L
(
n
,
H
)
∣
j
n
−
1
g
∗
j
n
g
=
I
n
}
=
{
g
∈
G
L
(
2
n
,
C
)
∣
J
n
−
1
g
∗
J
n
g
=
I
2
n
}
.
{\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.}
SO ∗ (2 n ) 群は 次のように特徴付けられる。
O
∗
(
2
n
)
=
{
g
∈
O
(
2
n
,
C
)
∣
θ
(
g
¯
)
=
g
}
,
{\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},}
[21] ここで 、 写像 θ :GL(2n , C ) →GL(2n , C ) は g↦ − J2ngJ2n で 定義 さ れる 。
また、群を決定する形式は C 2 n 上のH 値形式として見ることができる 。 [22] 式の式に
x → w 1 + iw 2 と y → z 1 + iz 2 を代入すると、
φ
(
x
,
y
)
=
w
¯
2
I
n
z
1
−
w
¯
1
I
n
z
2
+
j
(
w
1
I
n
z
1
+
w
2
I
n
z
2
)
=
φ
1
(
w
,
z
)
¯
+
j
φ
2
(
w
,
z
)
.
{\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}
形式 φ 1 はシグネチャ( n , n ) のエルミート ( 左辺の最初の形式は歪エルミート ) です 。シグネチャは、基底が ( e , f )から (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ) に変更されることによって明らかになります。 ここで、 e 、 f は それぞれ最初の n 基底ベクトルと最後の n 基底ベクトルです。2 番目の形式 φ 2は対称正定値です。したがって、因子 j により 、 O ∗ (2 n ) は両方を別々に保存し、次のように結論付けることができます
。
O
∗
(
2
n
)
=
O
(
2
n
,
C
)
∩
U
(
C
2
n
,
φ
1
)
,
{\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),}
「O」という表記について説明します。
一般体または代数上の古典群 代数学においてより広く考えれば、古典群は特に興味深い 行列群 を提供する。行列群の係数の 体 F が実数または複素数のいずれかである場合、これらの群は単なる古典リー群である。基底体が 有限体 である場合、古典群は リー型 の群である。これらの群は、 有限単純群の分類 において重要な役割を果たしている 。また、 F 上の単位 結合代数 R 上の古典群を考えることもできる。ここで、 R = H (実数上の代数) は重要なケースを表す。一般性を保つため、この記事では R 上の群について言及する。ここで、 R は 基底体 F 自体であってもよい。
抽象群論を考慮すると、多くの線型群は「 特殊 」な部分群を持ち、通常は基底体上の 行列式 1の要素で構成され、そのほとんどには「 射影 」商が関連付けられています。これは、群の中心による商です。特性 2 の直交群の場合、「S」は異なる意味を持ちます。
グループ名の前の「 一般 」という単語は、通常、グループが固定されたままにするのではなく、ある種の形式に定数を掛けることができることを意味します。下付き文字 n は 通常、グループが作用する モジュール の次元を示します。 R = F の場合は ベクトル空間 です。注意: この表記は、ランクである Dynkin 図の
n と多少衝突します。
一般線型群と特殊線型群 一般 線型群 GL n ( R ) は、 R n のすべての R 線型自己同型群の群である 。サブグループとして 特殊線型群 SL n ( R ) があり、その商として 射影一般線型群 PGL n ( R ) = GL n ( R )/Z(GL n ( R )) と 射影特殊線型群 PSL n ( R ) = SL n ( R )/Z(SL n ( R )) がある。体 F 上の射影特殊線型群 PSL n ( F ) は、 n = 2 で体の位数が [ 明確化が必要 ] 2 または 3 で
ある 2 つの場合を除いて、 n ≥ 2に対して単純である。
ユニタリグループ ユニタリ 群 U n ( R ) は、モジュール上で 半直線形を 保存する群です。 特殊ユニタリ群 SU n ( R ) というサブグループがあり、その商として 射影ユニタリ群 PU n ( R ) = U n ( R )/Z(U n ( R )) と 射影特殊ユニタリ群 PSU n ( R ) = SU n ( R )/Z(SU n ( R ))
があります。
シンプレクティック群 シン プレクティック群 Sp 2 n ( R )は 、モジュール上で 歪対称形式を保存します。これは商、 射影シンプレクティック群 PSp 2 n ( R ) を持ちます。 一般シンプレクティック群 GSp 2 n ( R ) は、歪対称形式に何らかの可逆スカラーを乗じたモジュールの自己同型で構成されます。 有限体上の射影シンプレクティック群 PSp 2 n ( F q ) は、2 元および 3 元の体上の
PSp 2 の場合を除いて、 n ≥ 1 に対して単純です。
直交群 直交 群 O n ( R ) は、モジュール上の非退化二次形式を保存します。 特殊直交群 SO n ( R ) という部分群と、商である 射影直交群 PO n ( R ) と、 射影特殊直交群 PSO n ( R ) があります。特性 2 では行列式は常に 1 であるため、特殊直交群は、 ディクソン不変量 1の元の部分群として定義されることがよくあります 。
スピノルノルム が 1の直交群の元から構成される、しばしば Ω n ( R )と表記される無名群があり 、対応する部分群および商群は SΩ n ( R )、PΩ n ( R )、PSΩ n ( R ) です。(実数上の正定値二次形式の場合、群 Ω は直交群と同じになりますが、一般にはより小さくなります。) Ω n ( R ) の二重被覆もあり、 ピン群 Pin n ( R ) と呼ばれ、 スピン群 Spin n ( R ) と呼ばれる部分群があります。 一般の直交群 GO n ( R ) は、二次形式に何らかの可逆なスカラーを乗じたモジュールの自己同型から構成されます。
表記規則
例外的なリー群との対比 古典的なリー群とは対照的に、 例外的なリー群 であるG 2 、 F 4 、 E 6 、 E 7 、 E 8 は、古典的なリー群の抽象的な性質を共有しているが、その馴染みやすさは共有していない。 [23]これらは、1890年頃に ヴィルヘルム・キリング と エリー・カルタン による複素数上の単純リー代数の分類で初めて発見された 。
注記
^ ここで、 特殊 とは、要素が行列式 1 を持つ完全自己同型群の部分群を意味します。 ^ ロスマン2002年94ページ。 ^ ワイル 1939 ^ ロスマン2002年91ページ。 ^ ロスマン 2002年 94ページ ^ ロスマン 2002年 103ページ ^ Goodman & Wallach 2009 第1章の最後を参照 ^ ロスマン 2002年93ページ。 ^ ロスマン 2002年 105ページ ^ ロスマン 2002年 91ページ ^ ロスマン 2002年 92ページ ^ ロスマン 2002年 105ページ ^ ロスマン2002年107ページ。 ^ ロスマン 2002年 93ページ ^ ロスマン 2002年 95ページ。 ^ ロスマン2002年94ページ。 ^ Goodman & Wallach 2009 演習14、セクション1.1。 ^ ロスマン2002年94ページ。 ^ Goodman & Wallach 2009演習11、第1章。 ^ ロスマン2002年94ページ。 ^ グッドマン＆ウォラック 2009年11ページ。 ^ Goodman & Wallach 2009 演習12第1章。 ^ Wybourne, BG (1974). 物理学者のための古典群、Wiley - Interscience。ISBN 0471965057 。
参考文献 
![{\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8161773f48312c017992eadc5c7b1a9a3defc7a3)
![{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c5e5d75838e64b04062c4e891277dc37472efb)
