非ユークリッド幾何学

数学において、非ユークリッド幾何学は、ユークリッド幾何学を規定する公理と密接に関連する公理に基づく2つの幾何学から構成される。ユークリッド幾何学は計量幾何学とアフィン幾何学の交点に位置するため、非ユークリッド幾何学は、平行公準を別の公準に置き換えるか、計量幾何学に関連付けられた確定二次形式以外の二次形式を考慮することによって生じる。前者の場合、双曲幾何学と楕円幾何学、すなわち伝統的な非ユークリッド幾何学が得られる。等方的な二次形式が認められる場合、平面代数に関連付けられたアフィン平面が存在し、それによって非ユークリッド幾何学とも呼ばれる運動学的幾何学が生じる。

計量幾何学における本質的な違いは、平行線の性質にある。ユークリッドの第5公準である平行線公準は、プレイフェアの公準と同等であり、2次元平面において、任意の直線lと、 l上にない点pに対して、 pを通り l と交わらない直線はただ 1 つだけ存在すると述べている。これに対し、双曲幾何学では、 pを通りlと交わらない直線は無限に存在するが、楕円幾何学では、 pを通る任意の直線はlと交わる。

これらの幾何学的形状の違いを説明する別の方法として、2次元平面上に無限に伸びる2本の直線が、同じ平面上にある3本目の直線に垂直であると考える方法がある。

• ユークリッド幾何学では、直線同士の距離は一定に保たれ（つまり、任意の点で一方の直線に垂直に引いた直線はもう一方の直線と交わり、交点を結ぶ線分の長さは一定に保たれる）、これらの直線は平行線と呼ばれます。
• 双曲幾何学では、これらの線は互いに離れ、共通の垂線との交点から離れるにつれて距離が大きくなります。これらの線はしばしば超平行線と呼ばれます。
• 楕円幾何学では、直線は互いに収束し、交差する。

ユークリッド幾何学は、いくつかの方法で公理的に記述できます。しかし、ユークリッドのオリジナルの5つの公準（公理）体系は、その1つではありません。なぜなら、彼の証明は、公理として扱われるべきいくつかの明示されていない仮定に依存していたからです。ヒルベルトの20の公理からなる体系^{[ 20 ]}は、ユークリッドのアプローチに最も近いものであり、ユークリッドのすべての証明の正当性を提供します。他の体系は、異なる未定義の用語の集合を使用して、異なる経路で同じ幾何学を得ます。しかし、すべてのアプローチには、ユークリッドの第5公準である平行線公準と論理的に同等の公理があります。ヒルベルトはプレイフェアの公理形式を使用し、例えばバーコフは、「相似だが合同ではない三角形のペアが存在する」という公理を使用しています。これらの体系のいずれにおいても、平行線公準に相当する公理を、それがどのような形式であっても取り除き、他のすべての公理をそのままにしておくと、絶対幾何学が得られる。ユークリッドの最初の28の命題（『原論』）は平行線公準やそれに相当するものを必要としないため、絶対幾何学においてはすべて真の命題である。^{[ 21 ]}

非ユークリッド幾何学を得るには、平行線公準（またはそれに相当するもの）をその否定に置き換える必要があります。プレイフェアの公理形式は複合命題（…ただ1つだけ存在する…）であるため、これを否定するには2つの方法があります。1つは、与えられた直線に平行な点を通る直線が複数存在するか、もう1つは、与えられた直線に平行な点を通る直線が存在しないかのどちらかです。  

• 最初のケースでは、平行線公準（またはそれに相当するもの）を「平面において、点 P と P を通らない直線lが与えられたとき、P を通りlと交わらない 2 つの直線が存在する」という記述に置き換え、他のすべての公理を維持すると、双曲幾何学が得られる。^{[ 22 ]}
• 2番目のケースはそれほど簡単には扱えません。平行線公準を「平面において、点PとPを通らない直線lが与えられたとき、Pを通るすべての直線はlと交わる」という命題に単純に置き換えるだけでは、一貫性のある公理系は得られません。これは、絶対幾何学では平行線が存在する^{[ 23 ]}にもかかわらず、この命題は平行線が存在しないと述べているためです。この問題は（別の形で）ハイヤーム、サッケリ、ランベルトに知られており、彼らが「鈍角の場合」として知られるものを否定した根拠となりました。平行線が存在しないというこの公理を含む一貫性のある公理系を得るには、他のいくつかの公理を調整する必要があります。これらの調整は、使用する公理系によって異なります。とりわけ、これらの調整は、線分は無限に延長できるというユークリッドの第2公準を、直線は無限であるという命題に変更する効果があります。リーマンの楕円幾何学は、この公理を満たす最も自然な幾何学として現れる。

非ユークリッド幾何学のモデルとは、与えられた直線l上にない点 A を通る直線 l に平行な直線がちょうど 1 つだけ存在する、という意味で非ユークリッド的な幾何学の数学的モデルである。対照的に、双曲幾何学モデルでは、点 A を通る直線で l に平行な直線は無限に存在し、楕円幾何学モデルでは、平行な直線は存在しない。（詳細については、双曲幾何学と楕円幾何学の項目を参照のこと。）

ユークリッド幾何学は、「平面」という概念によってモデル化されます。楕円幾何学の最も単純なモデルは球面であり、そこでは線は「大円」（地球儀上の赤道や子午線など）であり、互いに反対側にある点は同一視されます（同じ点とみなされます）。擬球面は、双曲幾何学をモデル化するのに適した曲率を持っています。

ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学は、平行性の性質に依存しない多くの類似した性質を自然に共有している。この共通性は絶対幾何学（中立幾何学とも呼ばれる）の主題である。しかし、歴史的に見ると、ある幾何学を他の幾何学と区別する性質の方がより注目されてきた。

序論で述べた、共通の垂線に対する直線の挙動に加えて、以下のことも考慮する必要があります。

• ランベルト四角形とは、3つの直角を持つ四角形のことです。ランベルト四角形の4つ目の角は、双曲幾何学の場合は鋭角、ユークリッド幾何学の場合は直角、楕円幾何学の場合は鈍角となります。したがって、長方形はユークリッド幾何学においてのみ存在します（これは平行線公準と同等の命題です）。
• サッケリ四角形とは、底辺と呼ばれる辺に垂直な2辺の長さが等しい四角形のことです。サッケリ四角形の他の2つの角は頂角と呼ばれ、大きさは等しくなります。サッケリ四角形の頂角は、双曲幾何学の場合は鋭角、ユークリッド幾何学の場合は直角、楕円幾何学の場合は鈍角になります。
• 双曲幾何学の場合、三角形の内角の和は180°未満、ユークリッド幾何学の場合は180°、楕円幾何学の場合は180°より大きくなります。三角形の欠損値は、(180° -三角形の内角の和)という数値です。この結果は、双曲幾何学における三角形の欠損値は正、ユークリッド幾何学における三角形の欠損値はゼロ、楕円幾何学における三角形の欠損値は負と言い換えることもできます。

ベルトラーミ、クライン、ポアンカレによって非ユークリッド平面のモデルが提示される以前は、ユークリッド幾何学は空間の数学的モデルとして揺るぎない地位を占めていた。さらに、総合幾何学における主題の本質は合理性の主​​要な表れであったため、ユークリッド的な観点は絶対的な権威を象徴していた。

非ユークリッド幾何学の発見は、数学や科学の境界をはるかに超える波及効果をもたらした。哲学者イマヌエル・カントの人間知識論において、幾何学は特別な役割を果たした。それは、感覚から導き出されたり論理によって演繹されたりするのではなく、空間に関する知識は生まれながらに持っている真理であるという、総合的アプリオリ知識の代表例であった。カントにとって残念なことに、この不変の真理である幾何学の概念はユークリッド幾何学に基づいていた。神学もまた、このパラダイムシフトの結果として、数学が周囲の世界と関係する絶対真理から相対真理への変化の影響を受けた。^{[ 25 ]}

非ユークリッド幾何学は、数学者や科学者が研究対象に対する見方を変えた科学史における科学革命の一例である。 ^{[ 26 ]}ロバチェフスキーの業績の革新性から、一部の幾何学者は彼を「幾何学のコペルニクス」と呼んだ。 ^{[ 27 ] [ 28 ]}

非ユークリッド幾何学の存在は、ヴィクトリア朝イングランドの知的活動に様々な形で影響を与え^{[ 29 ]} 、特にユークリッドの『原論』に基づく幾何学の教育の見直しを促した主要因の一つとなった。このカリキュラムの問題は当時激しく議論され、『不思議の国のアリス』の著者であるルイス・キャロルとしてよく知られるチャールズ・ラトウィッジ・ドジソン（1832-1898）が著した『ユークリッドとその現代のライバルたち』という本の主題にもなった。

解析幾何学では、平面はデカルト座標で記述されます。

${\displaystyle C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$

これらの点は、一般化された複素数z = x + y εで識別されることがあります。ここで ε ² ∈ { –1, 0, 1 } です。

ユークリッド平面は、ε ² = − 1、つまり虚数単位の場合に対応します。z の絶対値は次のように与えられます。

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(xy\epsilon )=x^{2}+y^{2},}$この量は、 zと原点との間のユークリッド距離の二乗である。

例えば、{ z | zz * = 1}は単位円です。

平面代数では、他の場合で非ユークリッド幾何学が生じる。ε 2 = +1 の場合、双^曲単位となる。この場合、zは分割複素数であり、慣例的にjはイプシロンに置き換えられる。

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(xy\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

そして{ z | zz * = 1}は単位双曲線です。

ε ² = 0の場合、zは双対数である。^{[ 30 ]}

この非ユークリッド幾何学へのアプローチは、非ユークリッド角を説明します。双対数平面の傾きのパラメータと分割複素平面の双曲線角は、ユークリッド幾何学の角度に対応します。実際、それらはそれぞれ複素数zの極分解で現れます。^{[ 31 ]}

双曲幾何学は、1908 年にヘルマン・ミンコフスキーによって導入された物理宇宙論とともに運動学に応用されました。ミンコフスキーは、数理物理学に世界線や固有時間などの用語を導入しました。彼は、固有時間で未来の 1 時点の事象の部分多様体が、 3 次元の双曲空間とみなせることに気づきました。 ^{[ 32 ] [ 33 ]} 1890 年代にはすでに、アレクサンダー・マクファーレンが物理学の代数と双曲四元数を通してこの部分多様体を図示していましたが、マクファーレンは 1908 年のミンコフスキーのように宇宙論的な言葉は使用しませんでした。関連する構造は現在、双曲幾何学の双曲面モデルと呼ばれています。

非ユークリッド平面代数は、平面上の運動幾何学をサポートする。例えば、分割複素数z = e ^{a jは、}ラピディティaの基準系の未来の 1 瞬間における時空事象を表すことができる。さらに、 zによる乗算は、ラピディティ 0 の基準系をラピディティaの基準系に写像するローレンツブーストに相当する。

運動学的研究では双対数を用いる${\displaystyle z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$絶対時間と絶対空間における運動の古典的な記述を表す方程式${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$線形代数におけるせん断写像に相当する。${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

2つの数値の場合、マッピングは$\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$^{[ 34 ]}

特殊相対性理論を非ユークリッド幾何学として捉える別の見解は、 1912年にEBウィルソンとギルバート・ルイスによってアメリカ芸術科学アカデミー紀要で提唱された。彼らは、分割複素数代数に内在する解析幾何学を前提と演繹の総合幾何学へと刷新した。^{[ 35 ] [ 36 ]}

非ユークリッド幾何学は、SFやファンタジー作品によく登場する。

• 1895年、H・G・ウェルズは短編小説「デイヴィッドソンの目の不思議な症例」を発表しました。この物語を理解するには、球面上の対蹠点が楕円面モデルでどのように特定されるかを知っておく必要があります。物語の中で、シドニー・デイヴィッドソンはハーロウ工科大学の電気実験室で作業中に、雷雨の最中に「波と、実に整ったスクーナー船」を目撃します。物語の終盤で、デイヴィッドソンが目撃したのはアンティポデス島沖のイギリス海軍艦艇フルマー号だったことが明らかになります。
• 非ユークリッド幾何学は、20世紀のホラー小説作家H・P・ラヴクラフトの影響と関連付けられることがある。彼の作品では、多くの不自然なものが独自の幾何学法則に従っている。ラヴクラフトのクトゥルフ神話では、沈んだ都市ルルイエは非ユークリッド幾何学によって特徴づけられている。これは単に別の幾何学モデルを使用しているのではなく、この宇宙の自然法則に従わないことの副産物として達成されたものであることが強く示唆されており、その生来の不自然さは、それを見た者を狂気に駆り立てる可能性があると言われている。^{[ 37 ]}
• ロバート・パーシグの著書『禅とオートバイ修理技術』の主人公は、作中で何度もリーマン幾何学について言及している。
• ドストエフスキーは『カラマーゾフの兄弟』の中で、登場人物のイワンを通して非ユークリッド幾何学について論じている。
• クリストファー・プリーストの小説『反転世界』は、回転する擬似球体の形をした惑星で生きる人々の苦闘を描いている。
• ロバート・ハインラインの『獣の数字』は、非ユークリッド幾何学を用いて、空間と時間、そして並行世界や架空の宇宙の間を瞬時に移動する現象を説明している。
• Zeno RogueのHyperRogueは双曲平面を舞台にしたローグライクゲームで、プレイヤーはこの幾何学の多くの特性を体験できます。多くのメカニズム、クエスト、ロケーションは双曲幾何学の特徴に大きく依存しています。^{[ 38 ]}
• FASA社のウォーゲーム、ロールプレイングゲーム、小説の舞台となるSF世界「レネゲード・リージョン」では、22世紀半ば頃に発表された謝賀（Hsieh Ho）の多次元非ユークリッド幾何学を用いることで、超光速航行や超光速通信が可能となっている。
• イアン・スチュワートの小説『フラッターランド』では、主人公のヴィクトリア・ラインがあらゆる種類の非ユークリッド世界を訪れる。

• ユークリッド空間 § その他の幾何学的空間
• 双曲空間
• レナールト球体
• 射影幾何学
• 非ユークリッド面の成長
• 平行（幾何学）§ 非ユークリッド幾何学において
• 球面幾何学 § 相似幾何学との関係

• A'Campo, Norbert ; Papadopoulos, Athanase (2012)、「非ユークリッド幾何学に関するノート」、ストラスブール幾何学マスタークラス、チューリッヒ、スイス：欧州数学会、pp. 1–182、doi：10.4171/105-1/1、ISBN  978-3-03719-105-7OCLC 776505866​ 
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• ウィキメディア・コモンズにある非ユークリッド幾何学に関連するメディア

• ロベルト・ボノラ（1912）『非ユークリッド幾何学』、オープンコート、シカゴ。
• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「非ユークリッド幾何学」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• 「非ユークリッド幾何学」 2015年7月9日にWayback Machineにアーカイブ済み（欧州数学会およびSpringer発行の数学百科事典より）
• 『合成時空』は、ウィルソンとルイスが用いた公理と証明した定理をまとめたものである。WebCiteによりアーカイブされている。