ホロスフィア

双曲幾何学において、ホロスフィア（またはパラスフィア）は、双曲n空間内の特定の超曲面です。ホロスフィアは、ホロボールの境界、つまり、（片側で）接超平面とその接点を共有する増加するボールの列の極限です。n = 2 の場合、ホロスフィアはホロサイクルと呼ばれます。

ホロスフィアは、半径が無限大に近づくにつれて、特定の点で接線超平面を共有する超球の限界として説明することもできます。ユークリッド幾何学では、このような「無限半径の超球」は超平面になりますが、双曲幾何学ではホロスフィア (曲面) になります。

この概念は、1816年にFLワヒターが師ガウスに宛てた手紙の中で表現した概念に由来する。ユークリッド幾何学において球の半径が無限大に近づく極限は平面であることに注目し、ワヒターは、たとえ第5公準が間違っていたとしても、通常の平面と同一の幾何学が表面には存在するであろうと断言した。^[1]ホロスフィアとホロサイクル という用語はロバチェフスキーに由来する。彼は、ホロサイクルと双曲空間におけるホロスフィアの幾何学がユークリッド空間における線と平面の幾何学と同等であることを示すさまざまな結果を確立した。^{[2] 「ホロボール」という用語は}ウィリアム・サーストン に由来する。彼はこの用語を双曲3次元多様体に関する研究で使用した。ホロスフィアとホロボールという用語は、3次元双曲幾何学でよく使用される。

共形球モデルでは、ホロスフィアは地平線球に接する球として表されます。上半空間モデルでは、ホロスフィアは地平線面に接する球として、または地平線面に平行な平面として現れます。双曲面モデルでは、ホロスフィアは漸近円錐に法線がある平面として表されます。

ホロスフィアには臨界量の（等方性の）曲率があります。曲率がこれ以上大きいと表面は閉じて球面になり、曲率がこれ以上小さいと表面は（N  −1）次元のハイパーサイクルになります。

• 付録、空間理論ヤノシュ・ボヤイ、1987年、p.143