一貫性

以下の数学的論理の文脈では、回転式改札機のシンボルは${\displaystyle \vdash }$「～から証明可能」という意味です。つまり、${\displaystyle a\vdash b}$読み方: bはaから証明可能である(特定の形式体系において)。

• 一連の数式${\displaystyle \Phi }$一階述語論理では一貫性がある（${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$) 式がない場合${\displaystyle \varphi }$そのため${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$そして${\displaystyle \Phi \vdash \lnot \varphi }$。 さもないと${\displaystyle \Phi }$矛盾している（書かれた）${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$)
• ${\displaystyle \Phi }$式が存在しない場合に、単純に一貫していると言われます。${\displaystyle \varphi }$の${\displaystyle \Phi }$、 両方${\displaystyle \varphi }$そして否定​${\displaystyle \varphi }$定理は${\displaystyle \Phi }$。
• ${\displaystyle \Phi }$言語の少なくとも 1 つの式が、絶対的に一貫しているか、ポスト一貫していると言われます。${\displaystyle \Phi }$は定理ではない${\displaystyle \Phi }$。
• ${\displaystyle \Phi }$最大限に一貫していると言われるのは、${\displaystyle \Phi }$一貫性があり、すべての式に対して${\displaystyle \varphi }$、${\displaystyle \operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})}$暗示する${\displaystyle \varphi \in \Phi }$。
• ${\displaystyle \Phi }$は、次の形式のすべての式に対して、証人を含むと言われます。${\displaystyle \exists x\,\varphi }$用語が存在する${\displaystyle t}$そのため${\displaystyle (\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi }$、 どこ$\displaystyle \varphi {t \over x}}$各置換を表す${\displaystyle x}$で${\displaystyle \varphi }$によって${\displaystyle t}$; 参照：一階述語論理。

1. 以下は同等です。
   1. ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
   2. すべての人にとって${\displaystyle \varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .}$
2. 充足可能なすべての式の集合は一貫性があり、式の集合は${\displaystyle \Phi }$は、モデルが存在する場合に限り充足可能である。${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$そのため${\displaystyle {\mathfrak {I}}\vDash \Phi }$。
3. すべての人にとって${\displaystyle \Phi }$そして${\displaystyle \varphi }$:
   1. そうでない場合${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$、 それから${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$;
   2. もし${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$そして${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$、 それから${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$;
   3. もし${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$、 それから${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$または${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$。
4. させて${\displaystyle \Phi }$を最大限に一貫性のある式の集合とし、それが証拠を含んでいると仮定する。すべての${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \psi }$:
   1. もし${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$、 それから${\displaystyle \varphi \in \Phi }$、
   2. どちらか${\displaystyle \varphi \in \Phi }$または${\displaystyle \lnot \varphi \in \Phi }$、
   3. ${\displaystyle (\varphi \lor \psi )\in \Phi }$かつその場合に限り${\displaystyle \varphi \in \Phi }$または${\displaystyle \psi \in \Phi }$、
   4. もし${\displaystyle (\varphi \to \psi )\in \Phi }$そして${\displaystyle \varphi \in \Phi }$、 それから${\displaystyle \psi \in \Phi }$、
   5. ${\displaystyle \exists x\,\varphi \in \Phi }$項が存在する場合に限り${\displaystyle t}$そのため${\displaystyle \varphi {t \over x}\in \Phi }$。

させて${\displaystyle S}$を記号の集合とする。${\displaystyle \Phi }$最大限に一貫性のあるセットである${\displaystyle S}$-証​​人を含む式。

同値関係を定義する${\displaystyle \sim }$撮影現場で${\displaystyle S}$-利用規約$t_0 \sim t_1$もし$\displaystyle \;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi }$、 どこ${\displaystyle \equiv }$は等号を表す。$\displaystyle {\overline {t}}}$を含む項の同値類を表す${\displaystyle t}$; そして${\displaystyle T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\mid t\in T^{S}\}}$どこ${\displaystyle T^{S}}$は記号の集合に基づく用語の集合です${\displaystyle S}$。

定義する${\displaystyle S}$-構造${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\Phi }}$以上$\displaystyle T_{\Phi }}$、また、に対応する項構造とも呼ばれる。${\displaystyle \Phi }$、 による：

1. 各${\displaystyle n}$-項関係記号${\displaystyle R\in S}$、 定義する${\displaystyle R^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}{\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}}$もし${\displaystyle \;Rt_{0}\ldots t_{n-1}\in \Phi$ ;} ^{[ 9 ]}
2. 各${\displaystyle n}$-項関数記号${\displaystyle f\in S}$、 定義する${\displaystyle f^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}({\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}):={\overline {ft_{0}\ldots t_{n-1}}};}$
3. 各定数記号について${\displaystyle c\in S}$、 定義する${\displaystyle c^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}:={\overline {c}}.}$

変数代入を定義する${\displaystyle \beta _{\ファイ }}$による${\displaystyle \beta _{\Phi }(x):={\bar {x}}}$各変数について${\displaystyle x}$。 させて${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }:=({\mathfrak {T}}_{\Phi },\beta _{\Phi })}$用語の解釈に関連付けられる${\displaystyle \Phi }$。

次に、それぞれについて${\displaystyle S}$-式${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$かつその場合に限り${\displaystyle \;\varphi \in \Phi .}$

確認すべき点がいくつかあります。まず、${\displaystyle \sim }$これは実際には同値関係です。次に、(1)、(2)、(3)が適切に定義されていることを検証する必要があります。これは、${\displaystyle \sim }$これは同値関係であり、(1)と(2)が選択に依存しないことの証明も必要とする。$t_0, ..., t_n-1$クラス代表。最後に、${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$数式に関する帰納法によって検証できる。