異なる種類のテンソルに関連する数学的演算
数学 と 数理物理学 において 、 インデックスの上げ下げは テンソル に対する操作であり、テンソルの 型を 変更します。インデックスの上げ下げは、テンソル式における インデックス操作 の一種です 。
ベクトル、共ベクトル、計量
数学的にはベクトルは体 上の ベクトル空間 の要素であり 、物理学で使用する場合、 は通常 または で定義されます 。具体的には、 の 次元が有限である場合、 基底 を選択した後、そのようなベクトル空間を または として見ることができます 。
五
{\displaystyle V}
け
{\displaystyle K}
五
{\displaystyle V}
け =
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
ん =
薄暗い
（ 五 ）
{\displaystyle n={\text{dim}}(V)}
五
{\displaystyle V}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Ｃ
ん
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
双対 空間は 、 を写像する 線型関数 の空間です 。具体的には、行列表記では、これらは行ベクトルとして考えられ、列ベクトルに適用すると数値が得られます。これを と表記すると 、 は 線型写像 になります 。
五 → け
{\displaystyle V\rightarrow K}
五
∗
:=
ホム
（ 五 、 け ）
{\displaystyle V^{*}:={\text{Hom}}(V,K)}
α ∈
五
∗
{\displaystyle \alpha \in V^{*}}
α : 五 → け
{\displaystyle \alpha :V\rightarrow K}
次に、基底 を選択すると、ベクトルを 成分を持つベクトル として 見ることができます(ベクトルは慣例により上向きのインデックスを持つものとみなされます)。これにより 、関係 の集合によって定義されるの基底 が 選択されます 。
{
e
私
}
{\displaystyle \{e_{i}\}}
ヴ ∈ 五
{\displaystyle v\in V}
け
ん
{\displaystyle K^{n}}
v
i
{\displaystyle v^{i}}
{
e
i
}
{\displaystyle \{e^{i}\}}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
e
i
(
e
j
)
=
δ
j
i
{\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}
応用上、上げ下げは（擬似） 計量テンソル と呼ばれる構造を使って行われます（「擬似」は計量が不定であることを許すことを意味します）。正式には、これは非退化の対称双線形形式です。
g
:
V
×
V
→
K
a bilinear form
{\displaystyle g:V\times V\rightarrow K{\text{ a bilinear form}}}
g
(
u
,
v
)
=
g
(
v
,
u
)
for all
u
,
v
∈
V
(Symmetric)
{\displaystyle g(u,v)=g(v,u){\text{ for all }}u,v\in V{\text{ (Symmetric)}}}
∀
v
∈
V
s.t.
v
≠
0
→
,
∃
u
∈
V
such that
g
(
v
,
u
)
≠
0
(Non-degenerate)
{\displaystyle \forall v\in V{\text{ s.t. }}v\neq {\vec {0}},\exists u\in V{\text{ such that }}g(v,u)\neq 0{\text{ (Non-degenerate)}}}
この基底では、 は の成分を持ち 、これらの成分を持つ の対称行列として見ることができます 。 非退化により逆計量が存在し、 と表記されます。 また、 は の逆行列であるためです 。
g
(
e
i
,
e
j
)
=
g
i
j
{\displaystyle g(e_{i},e_{j})=g_{ij}}
Mat
n
×
n
(
K
)
{\displaystyle {\text{Mat}}_{n\times n}(K)}
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
ベクトルと共ベクトルの上昇と下降 上げ下げは座標で行われます。 の成分を持つベクトルが与えられた場合 、計量と縮約して 共ベクトル を取得できます。
v
i
{\displaystyle v^{i}}
g
i
j
v
j
=
v
i
{\displaystyle g_{ij}v^{j}=v_{i}}
これがインデックスを下げるという意味です。逆に、共ベクトルを逆メトリックで縮約すると、ベクトルが得られます。
g
i
j
α
j
=
α
i
.
{\displaystyle g^{ij}\alpha _{j}=\alpha ^{i}.}
このプロセスはインデックスの引き上げと呼ばれます。
同じインデックスを上げてから下げる（またはその逆）ことは逆の操作であり、これは計量テンソルと逆計量テンソルが互いに逆であることに反映されています（用語が示唆しているように）。
g
i
j
g
j
k
=
g
k
j
g
j
i
=
δ
i
k
=
δ
k
i
{\displaystyle g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\delta ^{i}}_{k}={\delta _{k}}^{i}}
ここで、 は クロネッカーのデルタ または 単位行列 です 。
δ
j
i
{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
（擬）計量を持つ有限次元実ベクトル空間は、シグネチャまで分類されます。シグネチャは、 シルベスターの慣性法則 によって明確に定義されている座標フリーの特性です。実空間上の可能な計量は、シグネチャによってインデックス付けされます 。これは、次元実空間に関連付けられた計量です 。計量がシグネチャを持つ のは、基底（ 正規直交基底 と呼ばれる）が存在し、この基底において計量が正と負 の 形式をとる場合です 。
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
n
=
p
+
q
{\displaystyle n=p+q}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
(
g
i
j
)
=
diag
(
+
1
,
⋯
,
+
1
,
−
1
,
⋯
,
−
1
)
{\displaystyle (g_{ij})={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
-ベクトルである要素を持つ具体的な空間 と、この計量の具体的な実現は と表記されます 。ここで、2 組はの基礎となるベクトル空間が である ことを明確にするためのものです 。このベクトル空間に計量を備えること で、空間は に変わります 。
n
{\displaystyle n}
R
p
,
q
=
(
R
n
,
g
i
j
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}=(\mathbb {R} ^{n},g_{ij})}
(
R
n
,
g
i
j
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g_{ij})}
R
p
,
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
R
p
,
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}
例:
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
は3次元空間のモデルです。この計量は標準的な ドット積 に相当します。
R
n
,
0
=
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n,0}=\mathbb {R} ^{n}}
は、との内積空間としての次元実空間 と同等です 。ユークリッド空間では、ベクトルと共ベクトルの成分が同じであるため、上げ下げは必要ありません。
n
{\displaystyle n}
g
i
j
=
δ
i
j
{\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}
R
1
,
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}
はミンコフスキー空間（または、正規直交基底を選択したミンコフスキー空間）であり、弱い曲率を持つ時空のモデルです。ミンコフスキー空間のテンソルを含む式を書くときはギリシャ語のインデックスを使用するのが一般的ですが、ラテン語のインデックスはユークリッド空間専用です。 よく定式化された表現は、アインシュタインの和 の規則によって制約される 。つまり、どの指数も最大2回しか現れず、さらに、指数が上がると指数が下がると縮む。これらの規則により、次のような表現がすぐにわかる。
g
i
j
v
i
u
j
{\displaystyle g_{ij}v^{i}u^{j}}
よく練られているが
g
i
j
v
i
u
j
{\displaystyle g_{ij}v_{i}u_{j}}
違います。
ミンコフスキー時空における例 共変 4位は 次のように与えられる。
X
μ
=
(
−
c
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}
コンポーネント付き:
X
0
=
−
c
t
,
X
1
=
x
,
X
2
=
y
,
X
3
=
z
{\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}
（ここで x 、 y 、 z は通常の 直交座標 ）であり、 計量シグネチャ （− + + +）
を持つ ミンコフスキー計量テンソルは次のように定義される。
η
μ
ν
=
η
μ
ν
=
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
コンポーネント内:
η
00
=
−
1
,
η
i
0
=
η
0
i
=
0
,
η
i
j
=
δ
i
j
(
i
,
j
≠
0
)
.
{\displaystyle \eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).}
インデックスを上げるには、テンソルを掛けて縮小します。
X
λ
=
η
λ
μ
X
μ
=
η
λ
0
X
0
+
η
λ
i
X
i
{\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}
λ = 0 の場合 :
X
0
=
η
00
X
0
+
η
0
i
X
i
=
−
X
0
{\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}
λ = j = 1, 2, 3 の場合 :
X
j
=
η
j
0
X
0
+
η
j
i
X
i
=
δ
j
i
X
i
=
X
j
.
{\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.}
したがって、インデックスを上げた 反変 4 位置は次のようになります。
X
μ
=
(
c
t
,
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}
この演算は行列の乗算と同等である。
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
(
−
c
t
x
y
z
)
=
(
c
t
x
y
z
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}
2 つのベクトル と が与えられた場合 、 それらの (擬似) 内積を 2 つの方法で表すことができます。
X
μ
{\displaystyle X^{\mu }}
Y
μ
{\displaystyle Y^{\mu }}
η
μ
ν
X
μ
Y
ν
.
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.}
インデックスを下げると、この式は次のように書ける。
X
μ
Y
μ
.
{\displaystyle X_{\mu }Y^{\mu }.}
これを行列表記で表すとどうなるでしょうか？最初の式は次のように書けます。
(
X
0
X
1
X
2
X
3
)
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
(
Y
0
Y
1
Y
2
Y
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}}
2番目は、の指数を下げた後 、
X
μ
{\displaystyle X^{\mu }}
(
−
X
0
X
1
X
2
X
3
)
(
Y
0
Y
1
Y
2
Y
3
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.}
抽象的な線形代数の設定において、上げることと下げることが何を意味するかを考えることは有益です。
まず定義を固定します: は体 上の有限次元ベクトル空間です 。通常は または です 。
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ϕ
{\displaystyle \phi }
は非退化双線型形式、つまり、
両方の引数が線型であるマップであり、双線型形式になります。
ϕ
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow K}
非退化 とは 、 となる各 に対して 、 となる が存在することを意味する 。
ϕ
{\displaystyle \phi }
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
v
≠
0
{\displaystyle v\neq 0}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
ϕ
(
v
,
u
)
≠
0.
{\displaystyle \phi (v,u)\neq 0.}
具体的な応用では、 はベクトル空間上の構造、たとえば内積 、 またはより一般的には 不定符号を持つことができる 計量テンソル 、またはシンプレクティック形式 と見なされることがよくあります。これらを合わせると、 が対称または反対称で ある場合をカバーしますが、一般には これらのいずれの場合でもありません。
ϕ
{\displaystyle \phi }
ω
{\displaystyle \omega }
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
に関連する部分評価マップがあります 。
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
(
⋅
,
−
)
:
V
→
V
∗
;
v
↦
ϕ
(
v
,
⋅
)
{\displaystyle \phi (\cdot ,-):V\rightarrow V^{*};v\mapsto \phi (v,\cdot )}
ここで、 は 評価される引数を表し、 は 評価が延期される引数を表します。次に、 は の要素であり 、 を送信します 。
⋅
{\displaystyle \cdot }
−
{\displaystyle -}
ϕ
(
v
,
⋅
)
{\displaystyle \phi (v,\cdot )}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
u
↦
ϕ
(
v
,
u
)
{\displaystyle u\mapsto \phi (v,u)}
この部分評価マップを最初の引数で評価されるように定義することを選択しました。2 番目の引数で定義することもでき、非退化は選択した引数に依存しません。また、に (反対称) 対称性が明確に定義されている場合、どちらの引数で評価しても同等です (反対称性のマイナス記号を除く)。
ϕ
{\displaystyle \phi }
非退化は、部分評価写像が単射であること、またはそれと同等に写像の核が自明であることを示します。有限次元では、双対空間は と等しい次元を持つ ため、非退化は写像が線型同型であると結論付けるのに十分です。 が ベクトル空間上の構造である場合、これを標準同型 と呼ぶことがあります 。
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
{\displaystyle V}
ϕ
{\displaystyle \phi }
V
→
V
∗
{\displaystyle V\rightarrow V^{*}}
したがって、逆関数が存在し 、これにより双対上の関連する双線型形式を定義するのに十分です。
ϕ
−
1
:
V
∗
→
V
,
{\displaystyle \phi ^{-1}:V^{*}\rightarrow V,}
ϕ
−
1
:
V
∗
×
V
∗
→
K
,
ϕ
−
1
(
α
,
β
)
=
ϕ
(
ϕ
−
1
(
α
)
,
ϕ
−
1
(
β
)
)
.
{\displaystyle \phi ^{-1}:V^{*}\times V^{*}\rightarrow K,\phi ^{-1}(\alpha ,\beta )=\phi (\phi ^{-1}(\alpha ),\phi ^{-1}(\beta )).}
ここで、 の繰り返し使用は、 採用された議論によって曖昧さが解消されます。つまり、 は逆写像であり、 は 双線形形式です。
ϕ
−
1
{\displaystyle \phi ^{-1}}
ϕ
−
1
(
α
)
{\displaystyle \phi ^{-1}(\alpha )}
ϕ
−
1
(
α
,
β
)
{\displaystyle \phi ^{-1}(\alpha ,\beta )}
これらの表現を座標で確認すると、インデックスを上げたり下げたりすることが抽象的に意味することが明らかになります。
テンソル テンソルの抽象的な形式主義をすぐに展開するわけではありません。形式的には、 テンソルはその構成要素を介して記述されるオブジェクトであり、 上向きの構成要素と 下向きの構成要素を持ちます。一般的な テンソルは次のように記述されます
。
(
r
,
s
)
{\displaystyle (r,s)}
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
(
r
,
s
)
{\displaystyle (r,s)}
T
μ
1
⋯
μ
r
ν
1
⋯
ν
s
.
{\displaystyle T^{\mu _{1}\cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1}\cdots \nu _{s}}.}
ベクトル インデックスを上げ下げしたり、共ベクトル インデックスを上げ下げしたのと同じように、計量テンソルを使用してテンソル インデックスを上げ下げすることができます。
例 (0,0) テンソルは体内の数です 。
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
(1,0) テンソルはベクトルです。 (0,1)テンソルは共ベクトルです。 (0,2)テンソルは双線型形式である。例としては計量テンソルが挙げられる。
g
μ
ν
.
{\displaystyle g_{\mu \nu }.}
(1,1)テンソルは線形写像である。例としてはデルタがあり、 これは恒等写像、またはローレンツ変換である。
δ
μ
ν
{\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\nu }}
Λ
μ
ν
.
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }.}
上げ下げの例 (0,2)テンソルの場合、 [1] 逆計量テンソルで2回収縮し、異なるインデックスで収縮すると、各インデックスが上昇します。
A
μ
ν
=
g
μ
ρ
g
ν
σ
A
ρ
σ
.
{\displaystyle A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.}
同様に、計量テンソルを 2 回収縮し、異なるインデックスで収縮すると、各インデックスが低下します。
A
μ
ν
=
g
μ
ρ
g
ν
σ
A
ρ
σ
{\displaystyle A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }}
これを電磁気学の理論に当てはめてみましょう。
(+ − − −) シグネチャ における 反変 電磁テンソルは [ 2] で与えられる。
F
α
β
=
(
0
−
E
x
c
−
E
y
c
−
E
z
c
E
x
c
0
−
B
z
B
y
E
y
c
B
z
0
−
B
x
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
.
{\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}
コンポーネントでは、
F
0
i
=
−
F
i
0
=
−
E
i
c
,
F
i
j
=
−
ε
i
j
k
B
k
{\displaystyle F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}
共変 テンソル F αβ を得るには 、逆計量テンソルと縮約します。
F
α
β
=
η
α
γ
η
β
δ
F
γ
δ
=
η
α
0
η
β
0
F
00
+
η
α
i
η
β
0
F
i
0
+
η
α
0
η
β
i
F
0
i
+
η
α
i
η
β
j
F
i
j
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}
そして F 00 = 0 かつ F 0 i = − F i 0 なので、これは次のように帰着する。
F
α
β
=
(
η
α
i
η
β
0
−
η
α
0
η
β
i
)
F
i
0
+
η
α
i
η
β
j
F
i
j
{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}
ここで、 α = 0 、 β = k = 1, 2, 3 の場合 ：
F
0
k
=
(
η
0
i
η
k
0
−
η
00
η
k
i
)
F
i
0
+
η
0
i
η
k
j
F
i
j
=
(
0
−
(
−
δ
k
i
)
)
F
i
0
+
0
=
F
k
0
=
−
F
0
k
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}}
反対称性により、 α = k = 1, 2, 3 、 β = 0 の場合、
F
k
0
=
−
F
k
0
{\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}
最後に、 α = k = 1, 2, 3 、 β = l = 1, 2, 3 となる。
F
k
l
=
(
η
k
i
η
l
0
−
η
k
0
η
l
i
)
F
i
0
+
η
k
i
η
l
j
F
i
j
=
0
+
δ
k
i
δ
l
j
F
i
j
=
F
k
l
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}}
（共変）下位インデックス付きテンソルは次のようになります。
F
α
β
=
(
0
E
x
c
E
y
c
E
z
c
−
E
x
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
{\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}
この演算は行列の乗算と同等である。
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
(
0
−
E
x
c
−
E
y
c
−
E
z
c
E
x
c
0
−
B
z
B
y
E
y
c
B
z
0
−
B
x
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
=
(
0
E
x
c
E
y
c
E
z
c
−
E
x
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
c
−
B
y
B
x
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}
将軍階級 n 次のテンソルの場合 、添え字は次のように増加する（上記と互換性がある）： [1]
g
j
1
i
1
g
j
2
i
2
⋯
g
j
n
i
n
A
i
1
i
2
⋯
i
n
=
A
j
1
j
2
⋯
j
n
{\displaystyle g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}
以下によって低下します:
g
j
1
i
1
g
j
2
i
2
⋯
g
j
n
i
n
A
i
1
i
2
⋯
i
n
=
A
j
1
j
2
⋯
j
n
{\displaystyle g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}
混合テンソルの場合:
g
p
1
i
1
g
p
2
i
2
⋯
g
p
n
i
n
g
q
1
j
1
g
q
2
j
2
⋯
g
q
m
j
m
A
i
1
i
2
⋯
i
n
j
1
j
2
⋯
j
m
=
A
p
1
p
2
⋯
p
n
q
1
q
2
⋯
q
m
{\displaystyle g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}={A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}}
すべてのインデックスを一度に上げたり下げたりする必要はありません。単一のインデックスを上げたり下げたりしてもまったく問題ありません。テンソルのインデックスを下げると テンソルが得られ 、インデックスを上げると が得られます ( には 適切な値があります。たとえば、 テンソルのインデックスを下げることはできません)。
(
r
,
s
)
{\displaystyle (r,s)}
(
r
−
1
,
s
+
1
)
{\displaystyle (r-1,s+1)}
(
r
+
1
,
s
−
1
)
{\displaystyle (r+1,s-1)}
r
,
s
{\displaystyle r,s}
(
0
,
2
)
{\displaystyle (0,2)}
参照
参考文献
^ ab Kay, DC (1988). テンソル計算 . Schaum's Outlines. ニューヨーク: McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6 。 ^ 注: 次のようなテキストがあります: Griffiths, David J. (1987). Introduction to Elementary Particles . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4 。 では、このテンソルは全体の係数が −1 で表示されます。これは、ここで使用されている計量テンソルの負の値 (− + + +)を使用しているためです。 計量シグネチャ を参照してください。Jackson (第 2 版) などの古いテキストでは、 ガウス単位を 使用しているため、 c の係数はありません 。ここでは SI 単位 が使用されています。
